2019届高三上期末数学分类汇编解析（24）空间点、直线、平面的位置关系

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（文科）试题）8.已知直线 表示不同的直线， 表示不同的平面，下列命题：若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ，且 ，则 ；若 ， ，则 .其中正确的命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】由直线 l， m 表示不同的直线， 表示不同的平面，知：在中，若 1 ， m l，则 m 或 m，故 错误；在中， l，则 l 或 l，故 错误；在中，若 l ，且 ，则 l 或 l，故错误；在中，若 l ，则由线面垂直的判定定理得 l，故正确故选

2、： A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）10.若四面体的三视图如图所示，则以下判断中，正确的是（ ）A. 该四面体的所有对棱都互相垂直B. 该四面体恰有三个面是直角三角形C. 该四面体中，棱与面互相垂直的恰有两对D. 该四面体中，面与面互相垂直的恰有四对【答案】C【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，分析，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到：图中 O-ABC 即为原图，A 选项错误，如 AB 和 OC 不垂直；B 选项四个面都是直角三角形，

3、错误；C 选项棱和面互相垂直的有 AO 与平面 OCB,BC 和平面 ABO，故正确；D 选项面面垂直有 2 对，故错误。故选 C。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较小。（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）11.如图，在等腰 中，斜边 ， 为直角边 上的一点，将 沿直线 折叠至 的位置，使得点 在平面 外，且点 在平面 上的射影 在线段 上设，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】推导出 ACBC1，ACB 90，AC1AC1，CDC 1D（0，1），AC1D90，CH平面ABC，从而 AHAC 11，当 CD1 时，B 与 D

4、 重合，AH ，当 CD1 时，AH，由此能求出 x 的取值范围【详解】解：在等腰 RtABC 中，斜边 AB ，D 为直角边 BC 上的一点，ACBC1， ACB90，将ACD 沿直 AD 折叠至AC 1D 的位置，使得点 C1 在平面 ABD 外，且点 C1 在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设 AH x，AC1AC1， CDC 1D（0，1），AC1D90 ，CH平面 ABC，AHAC 11，故排除选项 A 和选项 C；当 CD1 时，B 与 D 重合， AH ，当 CD1 时，AH ，D 为直角边 BC 上的一点，CD（0，1），x 的取值范围是（ ，1）故选：B【点睛】

5、本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）16.如图，在四棱锥 中， 底面 ，若 为棱 上一点，满足 ，则 _【答案】【解析】【分析】过 作 ，交 于 ，连接 ，根据 ，可得 平面 ，通过解三角形求得 的值，也即求得 的值.【详解】过 作 ，交 于 ，连接 ，根据 ，可得 平面 ，故，由于 ，所以 .由于 ，所以 .在直角三角形中， ，所以 ，而 ，故 .根据前面证得，可得 .【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考

6、查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.（广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）9.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为矩形， E， F 分别为 PA， PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论：直线 BE 与直线 CF 异面； 直线 BE 与直线 AF 异面； 直线 平面 PBC； 平面平面 PAD其中正确的结论个数为 A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个【答案】C【解析】【分析】把平面展开图还原回立体图形，根据异面直线的概念和线面关系的判定，依次判断各个选项，得到正确结论的个数。【详解】将平面展开图还

7、原后可得立体图形如图所示： 为 中点 ，又四边形 为矩形 四点共面直线 与 共面，不是异面直线，即错误 平面 ， 平面 ， ， 平面直线 与直线 为异面直线，即正确 ， 平面 ， 平面平面 ，即正确假设平面 平面 ，即平面 平面又平面 平面 ，作 ，垂足为 ，可得 平面但实际无法证得 平面 ，故假设不成立，即错误本题正确选项：【点睛】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系。关键在于熟悉异面直线的概念、线面平行和垂直关系的判定定理。（山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）8.若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C

8、. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】试题分析：对于选项 A,当且仅当 平面 的交线的时，命题才成立，即原命题不成立；对于选项 B，若 ，则直线 可能异面，可能平行还可能相交，所以原命题为假命题；对于选项 C，由 ，可得平面 内一定存在直线与直线 平行，进而得出该直线垂直于平面 ，所以原命题为真命题；对于选项 D，若 ，则平面与平面 相交或垂直，所以原命题为假命题，故应选 考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系（西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学）3.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 、F 分别为 BC、BB 1的中点，则下列直线

9、中与直线 EF 相交的是（ ）（A）直线 AA1 （B）直线 A1B1（C）直线 A1D1（D）直线 B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有 与 在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中直线与 都是异面直线，故选D考点：异面直线（安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题）10.如图所示，正方体 中，点 ， ， ， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点.则下列叙述中正确的是（ ）A. 直线 平面B. 直线 平面C. 平面 平面D. 平面 平面【答案】B【解析】【分析】将平面 扩展，可作出过 的正方体的截面，易证得 平面 .【详解】过点 的截面如图所示（ 分别为 的中点

10、）， 平面 ， 平面平面本题正确选项：【点睛】本题考察了直线与平面、平面与平面的平行的判定，关键在于能够准确地找到截面，从而判断出结果.（陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）6.设 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若 ， ，则B. 若 ， ， ，则C. 若 ， ，则D. 若 ， ， ，则【答案】D【解析】【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论.【详解】对于 A 项，平行于同一平面的两条直线的位置关系可以是平行、相交、异面的，所以不正确；对于 B 项，分别位于两个互相平行的平面内的两条直线可以是平行、相交、异面的，所以不正

11、确；对于 C 项，平行于同一条直线的两个平面可以是相交的，可以是平行的，所以不正确；对于 D 项，根据两个平面的法向量垂直时，两个平面是垂直的，可以得出若 ， ，则 ，所以是正确的；故选 D.【点睛】该题考查的是有关空间关系的命题的正确性的判断问题，涉及到的知识点有线面平行、面面平行以及垂直的判定和性质定理，依次分析选项，可得答案.（四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）7.设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A 可能垂直也可能不垂直，平行都有可能；B ；D 可能垂直，不垂直，或是平行都有可能；

12、C ， ，那么 ， ，那么 ，故 C 正确考点：线线，线面，面面位置关系（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）18.如图，三棱台 的底面是正三角形，平面 平面 ， ， .（）求证： ；（）若 和梯形 的面积都等于 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （I）见证明；（II）【解析】【分析】（）取 的中点为 ，连结 ，可证明四边形 为平行四边形，得 ，由等腰三角形的性质得 ，可得 ，由面面垂直的性质可得 平面 ，从而可得结果；（）由三棱台 的底面是正三角形，且 ，可得 ，由此， .根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】 （）取 的中点为 ，连结 .由

13、是三棱台得，平面 平面 ， . ， ，四边形 为平行四边形， . ， 为 的中点， ， .平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ， 平面 ，而 平面 ， .（）三棱台 的底面是正三角形，且 ， ， ， .由（）知， 平面 .正 的面积等于 ， ， .直角梯形 的面积等于 ， ， ， .【点睛】本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（ 2）利用判定定理的推论；

14、（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题）19.如图，ABCD 为矩形，点 A、E、B、F 共面，且 和 均为等腰直角三角形，且90（）若平面 ABCD 平面 AEBF，证明平面 BCF 平面 ADF；（）问在线段 EC 上是否存在一点 G，使得 BG平面 CDF，若存在，求出此时三棱锥 G-ABE 与三棱锥 G-ADF 的体积之比【答案】 （）见证明；（）见解析【解析】【分析】（）根据 为矩形，结合面面垂直性质定理可得 平面 ，即

15、，结合，即可得 平面 ，最后根据面面垂直判定定理可得结果；（）首先易得平面 ，再证 平面 ，进而面面平行，延长 到点 ，使得 ，可得是平行四边形，过点 作 的平行线，交 于点 ，此 即为所求，通过可得结果.【详解】 （）ABCD 为矩形，BCAB，又平面 ABCD平面 AEBF，BC 平面 ABCD，平面 ABCD平面 AEBF=AB，BC平面 AEBF， 又AF 平面 AEBF，BCAF. AFB=90，即 AFBF，且 BC、BF 平面 BCF，BCBF=B，AF平面 BCF又AF 平面 ADF，平面 ADF 平面 BCF. （2）BCAD，AD 平面 ADF，BC平面 ADF. 和 均为

16、等腰直角三角形，且 90，FAB=ABE=45，AFBE，又 AF 平面 ADF，BE平面 ADF，BCBE=B，平面 BCE平面 ADF.延长 EB 到点 H，使得 BH =AF，又 BC AD，连 CH、HF，易证 ABHF 是平行四边形，HF AB CD，HFDC 是平行四边形，CHDF.过点 B 作 CH 的平行线，交 EC 于点 G，即 BGCHDF， （DF 平面 CDF）BG平面 CDF，即此点 G 为所求的 G 点.又 BE= ，EG= ，又 ，故 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，强调“线线垂直” “线面垂直” “面面垂直”之间可以相互转化，通过线线平行得到线面平行，等体

17、积法求三棱锥的体积，考查了空间想象能力，属于中档题.（河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题）19.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， 是棱 的中点（）证明：平面 平面 ；（）若 ，求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明 ， ，则 ，所以 ；（2 ）利用 ，求得 。试题解析：（1）在矩形 ABCD 中， 又 又 （2 ） 在 中， ， 是棱 的中点， 由（1）知 平面 ， . 又 ， 平面 , , 面 ,而 面 ,所以，在 中， 设点 到平面 的距离为所以点 到平面 的距离为 （河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试

18、数学（文）试题）19.在直角三角形 中， 的中点，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置且 .（1）求证： ；（2）求 点到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）在直角三角形中，求得 ，再由题意得 ，利用线面垂直判定定理，即可求解；（2）利用等价法，把点 到平面 转化为三棱锥的高，即可求解 .【详解】 （1）直角三角形 ABC 中，ABBC2，D 为 AC 的中点，BDCD，又PBCD，BDPBB，CD平面 PBD，又因为 PD平面 PBD，PDCD （2）ADBD，PDBD又PDCD，BDCDD，PD平面 BCD 在直角三角形 ABC 中，ABBC2，所以 PD

19、AD ，PBPCBC2SABC 2，S PBC ，设 A 点到平面 PBC 的距离为 d，由 VP-ABCV A-PBC得，SABC PD SPBC d，d 即 A 点到平面 PBC 的距离为 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及点到平面的距离的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及利用等积法求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.（山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）18.如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， E、 F 分别为 和 BC 的中点求证：平面 平面 ；求证： 平面 AB

20、E【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】通过证明 平面 ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 平面；取 AC 的中点 G，连结 G、FG，通过证明平面 平面 EAB，利用平面与平面平行的性质定理证明 平面 ABE【详解】证明： 平面 ABC， 平面 ABC，又 ， ，平面而 平面 ABE，平面 平面取 AC 的中点 G，连结 G、FG，为 BC 的中点，又 E 为 的中点 ，且四边形 为平行四边形，因为 AB AE=A, =G,平面 平面 EAB，而 平面 ，平面 EAB【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的判定和性质定理的应用，考查空间想象

21、能力以及逻辑推理能力（河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）19.如图，在三棱锥 中， 面 ，BAC= ，且 =1，过 点作平面 ，分别交 于 点.（1）若 求证： 为 的中点；（2）在（1）的条件下，求点 到平面 的距离【答案】(1)见证明(2)【解析】【分析】（1）取 中点 ，连接 ,证明 面 ，进而 ， ；（2）利用 等体积转化即可.【详解】 （1）取 中点 ，连接 ， 面 ， ，又为 的中点， 为 的中点（2）设点 到平面 的距离为 ， 为 的中点，又 ， ， ， 又 ， ，AM= ，可得 边 上的高为 ，由 h=【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到

22、面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.（西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学）19.如图，多面体 中，底面 是菱形， ，四边形 是正方形且平面 .（1）求证： 平面 ；（2）若 ，求多面体 的体积 .【答案】 （1）证明详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理先证明平面 平面 ，进而可得 平面 ；（2）将多面体 拆成两个四棱锥，由四棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】 （1）证明： 是菱形， .又 平面 ， 平面 ， 平面 .又 是正方形， .平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 ， 平面平面 平面 ， 平面 .（2）解：连接 ，记 .是菱形， ，

23、且 .由 平面 ， 平面 ， .平面 ， 平面 ， ，平面 于 ，即 为四棱锥 的高.由 是菱形， ，则 为等边三角形，由 ，则， ， ， ，【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及几何体的体积，证明线面垂直，有时需要先证面面垂直，熟记判定定理以及体积公式即可，属于常考题型.（山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）19.如图 1，在平行四边形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 的中点，分别沿 将 和 折起，使得平面 平面 （点 在平面的同侧） ，连接 ，如图 2 所示（1）求证： ；（2）当 ，且平面 平面 时，求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】【分

24、析】（1）由已知可得 CBF 为等边三角形，连接 EF，由已知可得 BEF 为等边三角形取 BF的中点 O，连接 OC， OE，可得 CO BF， EO BF从而得到 BF平面 COE，则 BF CE；（2）由（1）知， CO BF，结合条件可证 OE BF，求得 ，利用锥体体积公式求解即可.【详解】 （1）四边形 为平行四边形， ，点 是 的中点， ，又 ， 为等边三角形，连接 ，由 ， ，得 为等边三角形取 的中点 ，连接 ，则 平面 ，则 ；（2）由（1）知， ，又平面 平面 ，则 平面 ，又 ， ， 三棱锥 的体积 【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考查空间想

25、象能力与思维能力，是中档题（山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）18.如图，在四棱柱 中， 底面 ， ，四边形 是边长为 4 的菱形， ， 分别是线段 的两个三等分点.（1）求证： 平面 ；（2）求四棱柱 的表面积.【答案】 （1）见证明；（2）【解析】【分析】(1) 连接 与 交于点 ，则 为 的中点，连接 ，由比例关系可得 ，由线面平行的判定定理即可得到证明；（2）分别求出四棱柱各个面的面积求和即可.【详解】 （1）证明：连接 与 交于点 ，则 为 的中点，连接 ，因为 分别是线段 的两个三等分点，所以 是线段 的中点，又因为 是线段 的中点，所以 ，又因为

26、平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）解：因为四边形 是边长为 4 的菱形， ，且 底面 ，所以侧面为四个全等的矩形，所以四个侧面的面积为因为 平面 ，连接 ，所以四边形 是矩形，又 ，所以四边形 是正方形，所以 ，所以所以所以四棱柱 的表面积为【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查柱体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.（广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题）18.如图，在四边形 ABED 中，AB/DE，AB BE，点 C 在 AB 上，且 AB CD，AC=BC=CD=2，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE .

27、 （1）求证：平面 PBC 平面 DEBC；（2）求三棱锥 P-EBC 的体积.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得 PCCD，根据平几知识得 BE/CD，即得 PCBE，再利用线面垂直判定定理得 EB平面 PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论， （2）先根据线面垂直EB平面 PBC 得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.【详解】 （1）证明：ABBE，ABCD，BE/CD，ACCD，PCCD，PCBE， 又 BCBE，PCBC=C，EB平面 PBC， 又EB 平面 DEBC，平面 PBC 平面 DEBC；（2）解法 1：AB/DE，结合 CD/

28、EB 得 BE=CD=2，由（1）知 EB平面 PBC，EBPB，由 PE 得 ,PBC 为等边三角形， , . 解法 2：AB/DE，结合 CD/EB 得 BE=CD=2， 由（1）知 EB平面 PBC，EBPB，由 PE ，得 , PBC 为等边三角形，取 BC 的中点 O，连结 OP，则 ,POBC，PO平面 EBCD， .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.（广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题）18

29、.如图，直三棱柱 中， ， 是 中点证明： 平面 ；线段 上是否存在点 ，使三棱锥 的体积为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由【答案】 （1）证明见解析；（2） 为 的中点.【解析】【分析】连接 ，与 交于点 O，连接 OD， ，由三角形中位线定理可得 ，再由线面平行的判定可得 平面 ；连接 ，假设线段 上存在点 N，使得三棱锥 的体积为 ，设 N 到平面的距离为 h，由三棱锥 的体积为 求得 h，进一步求得N 为 的中点得结论【详解】 证明：如图，连接 ，与 交于点 O，连接 OD， ，在 中，O 和 D 分别是 和 CB 的中点，则 ，又 平面 ，平面 ；解：连接 ，假设线段

30、上存在点 N，使得三棱锥 的体积为 ，设 N 到平面 的距离为 h，由题意可知， 为等边三角形，又 D 为 BC 的中点， 又三棱柱 为直三棱柱， ，故 AD 平面 ，为直角三角形， ， ，的面积为 ，由三棱锥的体积公式可知， ，又 平面 ， 平面 平面 ，故点 N 到平面 的距离与点 N 到直线 的距离相等，又 为等腰直角三角形， 点 C 到直线 的距离为 又点 B 与点 C 到到平面 的距离相等，故点 B 到直线 的距离也为 ，当 N 为 的中点时，点 N 到平面 的距离为 ，三棱锥 的体积为 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积

31、，是中档题（陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）19.如图所示：在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形，ADDE1，ADE90，ADCDCB120（）求证：平面 ABCD平面 EDCF；（）求三棱锥 ABDF 的体积【答案】 （1）见解析：（2）【解析】【分析】（1）推导出 ADDE，CDDE，从而 DE平面 ABCD，由此能证明平面 ABCD平面EDCF， （2）三棱锥 ABDF 的体积 VABDF V FABD ，由此能求出结果【详解】 （1）证明：在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形，ADE90，ADDE，CDDE，ADCD

32、D，DE平面 ABCD，DE平面 EDCF，平面 ABCD平面 EDCF（2） 由()知 DE平面 ，所以 平面 . 等腰三角形又 DCEF， 平面 ABFE， 平面 ABFE，所以 DC平面 ABFE.又平面 ABCD平面 ABFE=AB，故 ABCD.所以四边形 为等腰梯形.又 AD=DE，所以AD=CD，由 ,在等腰 中由余弦定理得， ，所以三棱锥 的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷）19.如图所

33、示，在边长为 2 的菱形 中， ，现将 沿 边折到 的位置（1）求证： ；（2）求三棱锥 体积的最大值【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，由线面垂直的判定定理即可证出.（2）由体积相等转化为 即可求出.【详解】 （1）如图所示，取 的中点为 ，连接 ，易得 ， ,又面 （2）由（1）知，=,当 时， 的最大值为 1.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.（湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）19.如图，在多边形 中（图 1） ， 为长方形， 为正三角形 ，现以 为折痕将 折起，

34、使点 在平面 内的射影恰好在 上（图 2）.（）证明： 平面 ；（）若点 在线段 上，且 ，当点 在线段 上运动时，求三棱锥 的体积.【答案】 （）详见解析（）3【解析】【分析】（）利用点 在平面 内的射影恰好在 上，过 P 作 AD 的垂线段 PO，由此证得，再计算出 ， ，从而证得 ，命题得证。（）求出点 到底面 的距离 ，利用 计算，问题得解。【详解】解：（）过点 作 ，垂足为 .由于点 在平面 内的射影恰好在 上， 平面 . .四边形 为矩形， .又 ， 平面 ， .又由 ， ，可得 ，同理 .又 ， ， ，且 ， 平面 .（）设点 到底面 的距离为 ，则 .由 ，可知 ， .又 ，

35、.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算，考查计算能力，属于基础题。（湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题）19.如图所示的几何体中，ABC-A 1B1C1 为三棱柱，且 AA1 平面 ABC， AA1=AC，四边形ABCD 为平行四边形，AD=2CD=4 ，ADC=60 .（）求证： ；（）求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）推导出 AC1A 1C，ACAB ，AA 1AB，从而 AB平面 ACC1A1，进而 A1B1AC 1，由此能证明 AC1平面 A1B1CD（2）由 CD2，得

36、AD4， ACAA 1 2 ，三棱谁 C1A 1CD 的体积：，由此能求出结果【详解】(1) 为三棱柱，且 平面 ABC， ，四边形 ABCD 为平行四边形， ， 是正方形， ，设 ，则 ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 解：(2) ， ， ，三棱谁 的体积：，【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）18.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 3,E,F 分别为 CC1,BB1 上的的点,且 EC=3FB=3,点M 是线段 AC 上的动点(1)试确定点 M 的位置,使 BM/平面 AEF,并说明理由(2)若 M 为满足(1)中条件的点,求三棱锥 M 一 AEF 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）在 AE 上找一点 N,及 AC 上点 M，使得 BFNM 是平行四边形，即满足条件，即在平面 AEF 中找一条直线 FN/BM.(2) .,平面 ,所以 。试题解析：（1）当点 是线段 靠近点 的三等分点时， 平面 . 事实上，在 上取点 ,使 ,于是 ,所以 且 .