2019届高三上期末数学分类汇编解析（27）椭圆

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1、（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）12.已知动点 P 在椭圆 上,若点 A 的坐标为(3,0),点 M 满足 ,则的最小值是A. 4 B. C. 15 D. 16【答案】B【解析】设 P(x,y),A(3,0)为焦点，所以 = ，而焦半径 ，所以 ，选 B.【点睛】切线长的平方=半径平方+ 点到圆心距离平方，同时焦半径范围 ，是解本题的关键。20.设椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ， 为圆 的圆心（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，过 且与 垂直的直线 与圆 交于 ，两点，求四边形 面积的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解

2、析】试题分析：（）由题意求得 a，b 的值即可确定椭圆方程；（）分类讨论，设直线 l 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围试题解析：（1）由题意知 ，则 ， 圆 的标准方程为 ，从而椭圆的左焦点为 ，即 ，所以 ，又 ，得 所以椭圆的方程为： . （2）可知椭圆右焦点 （）当 l 与 x 轴垂直时，此时 不存在，直线 l： ，直线 ，可得： ， ，四边形 面积为 12. （）当 l 与 x 轴平行时，此时 ，直线 ，直线 ，可得： ， ，四边形 面积为 . （iii）当 l

3、与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ，并设 ， .由 得 . 显然 ，且 ， . 所以 . 过 且与 l 垂直的直线 ，则圆心到 的距离为 ，所以 . 故四边形 面积： .可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 (12, ). 综上，四边形 面积的取值范围为 （湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）20.已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，过 且垂直于 轴的直线 交椭圆 于 、 两点，若 .（1）求椭圆 的方程；（2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，且分别交直线 和直线 于 、 两点，试求的值.【答案】 （1） （2） 为定值【解析】【分析】（1）由通

4、径公式得出 ，结合已知条件得出 ，再由 c1，可求出 a、b 的值，从而得出椭圆的方程；（2）设切点为（x 0，y0） ，从而可写出切线 m 的方程为 ，进而求出点 M、N 的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出 x0 与 y0 之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案【详解】 （1）由题得 解得椭圆 的方程为（2）设切点为 则令 得 即令 得 即 为定值【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（文科）试题）19.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆 的长轴长与焦距之比为 ，过 且斜率不为 的直线 与 交于

5、 ， 两点.（1）当 的斜率为 时，求 的面积；（2）若在 轴上存在一点 ，使 是以 为顶点的等腰三角形，求直线 的方程.【答案】 （1）12（2）【解析】【分析】(1)结合椭圆的基本性质,分别计算 a,b,c 的值，代入直线方程，即可。 （2）代入直线方程，结合等腰三角形底边和高相互垂直，建立等式，计算 k， 得到直线 l 的方程，即可。【详解】解：（1）依题意，因 ，又 ，得 ，所以椭圆 的方程为 ，设 、 ，当 时，直线 ：将直线与椭圆方程联立 ，消去 得， ，解得 ， ， ，所以 .（2）设直线 的斜率为 ，由题意可知 ，由 ，消去 得， ，恒成立， ，线段 的中点 ，则 ， ，若 是

6、以 为顶点的等腰三角形，则 ，得 ，整理得： .故直线 的方程为 .【点睛】本道题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆的基本性质，难度偏难。（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）19.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆 的长轴长与焦距之比为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点.（1）当 的斜率为 时，求 的面积；（2）当线段 的垂直平分线在 轴上的截距最小时，求直线 的方程.【答案】 （1）12（2）【解析】【分析】（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合，计算面积，即可。 （2）设出直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用 ，建立关于 k，m 的

7、式子，计算最值，即可。【详解】解：（1）依题意，因 ，又 ，得 ，所以椭圆 的方程为 ，设 、 ，当 时，直线 ：将直线与椭圆方程联立 ，消去 得， ，解得 ， ， ，所以 .（2）设直线 的斜率为 ，由题意可知 ，由 ，消去 得 ，恒成立， ，设线段 的中点，设线段的中点 ，则 ， ，设线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，则 ，得 .，整理得： ， ，等号成立时 .故当截距 最小为 时， ，此时直线 的方程为 .【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大。（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）19.已知椭圆 ，点 在椭圆 上，椭圆 的离心率是 .（1

8、）求椭圆 的标准方程；（2）设点 为椭圆长轴的左端点， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线斜率分别为 ，若 ，请判断直线 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】 （1） （2）过定点【解析】【分析】（1）由点 M（1， ）在椭圆 C 上，且椭圆 C 的离心率是 ，列方程组求出 a2， b ，由此能求出椭圆 C 的标准方程（2）设点 P， Q 的坐标分别为（ x1， y1） ， （ x2， y2） ，当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ的方程为 y kx+m，联立 ，得：（4 k2+3） x2+8kmx+（4 m212）0，利用根的判别式、韦达定理，结合已

9、知条件得直线 PQ 的方程过定点（1，0） ；再验证直线 PQ 的斜率不存在时，同样推导出 x01，从而直线 PQ 过（1，0） 由此能求出直线 PQ 过定点（1，0） 【详解】 （1）由点 在椭圆 上，且椭圆 的离心率是 ，可得 ，可解得：故椭圆 的标准方程为 .（2）设点 的坐标分别为 ，（）当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：， ，（）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立 ，消去 得： ，由 ，有 ，由韦达定理得： ， ，故 ，可得： ，可得： ，整理为： ，故有 ，化简整理得： ，解得： 或 ，当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 不合题意，当 时直线

10、的方程为 ，即 ，过定点 ，综上，由（） （）知，直线 过定点 .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题（四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题）16.已知椭圆 C： 的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若椭圆C 上存在一点 P，使得PAPF8，则 m 的最大值是_【答案】25【解析】【分析】设椭圆的左焦点为 F（2，0） ，由椭圆的定义可得 2 | PF|+|PF|，即|PF| 2 | PF|，可得| PA| PF|82 ，

11、运用三点共线取得最值，解不等式可得m 的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围【详解】椭圆 C： 的右焦点 F（2，0） ，左焦点为 F（2，0） ，由椭圆的定义可得 2 | PF|+|PF|，即| PF|2 | PF|，可得| PA| PF|82 ，由| PA| PF|AF|2，可得282 2，解得 ，所以 ,又 A 在椭圆内，所以 ,所以 8m-16 3, , 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确 P 在短轴端点处 的面积最大是关键.（河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题）11.已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于不同

12、的 ， 两点，且 为钝角（其中 为坐标原点） ，则直线 斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线 ，代入 ，得 ，利用韦达定理表示 ，结合 即可得到直线 斜率的取值范围.【详解】设直线 ，代入 ，得 ，因为直线 与椭圆交于不同的 ， 两点，所以 ，解得 且 .设 ， ，则 ， ，因为 为钝角，所以 ，解得 ， .综上所述： .故选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的斜率，考查运算求解能力.（河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）11.已知 , 为椭圆 的左右焦点，过原点 且倾斜角为 30的直线与椭圆 的一个交点为

13、，若 , ，则椭圆 的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，过原点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 的一个交点为 ，可知 ，求得 ,代入椭圆的方程，再由 和 ，即可求解 的值，得到椭圆的方程.【详解】由题意，过原点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 的一个交点为 ，且 ，且 ，则可知 ，设 ，则 ，即 ,代入椭圆的方程可得 又由 ，则 ，解答 ，且 ，解得 ，所以椭圆的方程为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据题设条件，设出点 A 的坐标，代入椭圆的方程，以合理运用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.（河南省九师

14、联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题）11.设椭圆 ： 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为 ，则 即 ，又椭圆 E 上存在一点 P 使得 ， ，即 ， ， ，即 ，解得 ， 本题选择 C 选项.（安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题）15.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ，以 为圆心作半经为 1 的圆 ，为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则 的取值范围为_ .【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义，将问题转化为求解 的最值问题

15、，通过三角形三边关系可知，可得最大值和最小值.【详解】由椭圆方程可知：由椭圆定义得： 又 且本题正确结果：【点睛】本题考查利用椭圆定义求解最值问题，关键在于能够通过定义将问题转化为三角形三边关系，确定当 三点共线的时候取得最值.（陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）13.椭圆 的焦距为_.【答案】【解析】【分析】直接利用椭圆的方程求出 ， ，然后求出 ，即可得结果.【详解】因为椭圆： ，所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆的焦距为 2，故答案为：2.【点睛】该题考查的是有关椭圆的焦距的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求，椭圆中 三者之间的关系，属于简单题目.（安

16、徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）7.已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，以线段 为直径的圆交线段 的延长线于点 ，若 ，则该椭圆离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点 在以线段 为直径的圆上，可知 ，再由 ，可得 ，且是等腰直角三角形，结合 ，所以 ，可求出离心率。【详解】因为点 在以线段 为 直径的圆上，所以 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 是等腰直角三角形，因为 ，所以 ， ， 所以该椭圆的离心率 【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。（安徽省合肥市 2

17、019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）16.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，且，若 关于 平分线的对称点在椭圆 上，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断 为正三角形，且 轴，设 ，可得，从而可得结果.【详解】因为 关于 的对称点 在椭圆 上，则 ， ，为正三角形， ，又 ，所以 轴，设 ，则 ，即 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出 ;构造的齐次式，求出 ;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解

18、（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题）21.如图， C、 D 是离心率为 的椭圆的左、右顶点， 、 是该椭圆的左、右焦点， A、 B是直线 4 上两个动点，连接 AD 和 BD，它们分别与椭圆交于点 E、 F 两点，且线段 EF恰好过椭圆的左焦点 . 当 时，点 E 恰为线段 AD 的中点（）求椭圆的方程；（）求证：以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切【答案】 （） （）见证明【解析】【分析】（）由题意可得 ，结合 可求出 ，进而可求得椭圆的方程；（）设EF 的方程为： ，E（ ） 、F（ ） ，与椭圆联立，运用韦达定理得 ，又设 ，由三

19、点共线得 ， ，求出 中点 坐标 ，求出点 M 到直线EF 的距离 ，进而证得结果.【详解】 （）当 时，点 E 恰为线段 AD 的中点， ，又 ，联立解得： ， ， ， 椭圆的方程为 .（）设 EF 的方程为： ，E（ ） 、F（ ） ，联立得： ， （*）又设 ，由 A、E、D 三点共线得 ，同理可得 .，. 设 AB 中点为 M，则 M 坐标为（ ）即（ ） ，点 M 到直线 EF 的距离 .故以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，考查了学生的计算能力，计算量较大， “设而不求，整体代换”的思想，直线与圆相

20、切即圆心到直线的距离等于圆的半径，有一定难度.（四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）20.已知椭圆 : 的左右焦点分别是 ，抛物线 与椭圆 有相同的焦点，点 为抛物线与椭圆 在第一象限的交点，且满足（1）求椭圆 的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线 ，与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，线段的垂直平分线与 轴交于点 ，求直线 斜率的最小值.【答案】 （） ；（） .【解析】【分析】(1)首先可以通过抛物线 与椭圆 有相同的焦点得出椭圆 的焦点坐标，然后通过列出等式 并解出 的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果；(2)首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将

21、切线方程与椭圆方程联立，设 两点坐标为 并根据切线方程与椭圆交于 两点并求出 的值，然后根据 的值写出 的中点坐标以及 的垂直平分线方程，最后写出 并得出结果。【详解】(1)因为抛物线 与椭圆 有相同的焦点，所以椭圆 的焦点 ， ，设点 P 的坐标为 则 ，解得 （舍去） ，将 点坐标代入抛物线方程式可得 ，又 ，联立可解得 ，所以椭圆的方程为 ；(2)设与抛物线相切的切点坐标为 ，则 ，整理得直线 ，与椭圆方程联立可得 ，设 ，所以 ， 的中点坐标为 ，所以 的垂直平分线方程为 ，即 ，因为 所以 ，最小值为 。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质、抛物线的相关性质

22、、两点间距离公式、抛物线与直线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性，提高了学生对于圆锥曲线综合的理解，是难题。（陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）20.已知 、 为椭圆 （ ）的左右焦点，点 为其上一点，且.（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 交椭圆 于 、 两点，且原点 在以线段 为直径的圆的外部，试求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得 a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出 A、B 的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出 ，代入得到关于 k 的不等式，解不等式即可得 k 的取值范围。【详解】解：（1）由题可知 ，解得 ，所以椭圆的标准方程为： .（2）设 ， 由 ，得，