2019届高三上期末数学分类汇编解析（16）平面向量的数量积及其应用

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）7.设 ， ， ，若 ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算得： （0， ） ，由数量积表示两个向量的夹角得：cos ， 可得结果.【详解】由 （1， ） ， （1，0） ， 则 （1+ k， ） ，由 ，则 0，即 k+10，即 k1，即 （0， ） ，设 与 的夹角为 ，则 cos ，又 0，所以 ，故选： A【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）14.边长为 6的正三角形 中，点

2、满足 ，则 的值为_【答案】30【解析】【分析】本道题利用向量 表示 ,结合向量运算,即可.【详解】 ,所以【点睛 】本道题考查了向量的线性运算,难度较小.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）11. 中， ，点 是 内（包括边界）的一动点，且，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用向量数量积的运算，求得 的大小，由余弦定理计算 的长度，由此判断三角形为直角三角形.利用向量加法的平行四边形法则，判断 点的位置，从而确定 取得最大值时 点的位置，由此计算出 的长.【详解】依题意 ， .

3、由余弦定理得，故 ，三角形 为直角三角形.设，过 作 ，交 于 ，过 作 ，交 于 .由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知， 点位于线段 上，由图可知 最长时为 .由于 ，所以 .所以 .故选 C.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理解三角形，考查平面向量加法的平行四边形法则，综合性较强，属于中档题.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）14.已知向量 ( ) ， ，则 夹角的余弦值为_ .【答案】【解析】【分析】设 ，根据向量共线和向量垂直的条件得到 的值，进而得到向量的坐标，然后可求出 夹角

4、的余弦值【详解】设 ，则 ，( ) ， ， ，即 又 ， , 由 ，解得 ， 设 的夹角为 ，则 ，即 夹角的余弦值为 故答案为 【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量 的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题（四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题）5.设 是互相垂直的单位向量，且（ ）（ 2 ） ，则实数 的 值是（ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于 0，列出方程求出 【详解】依题意，有： ab1，且 ab0，又（ a b）（ a2b ）

5、，所以， （ ab） （ a2b ） 0，即a22b 2（2 1） ab 0，即 20，所以， 2故选 B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于 0；单位向量的定义，属于基础题.（江西省新余市 20 19 届高三上学期期末考试数学（理）试题）14.已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在 方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算 ，得出 ，再代入投影公式计算【详解】解： ， ，在 方向上的投影为 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查投影的计算公式，属于基础题（湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题）7.在 中， ， ，

6、 ，且 是 的外心，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，分别计算出 B,A,O 坐标，代入，结合向量数量积坐标表示，即可。【详解】建立坐标系，以 C 为原点， ， ,则所以 ，故选 D。【点睛】本道题考查了向量数量积坐标表示，难度中等。（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）10.在 中， ， ， ，且 是 的外心，则 （ ）A. 16 B. 32 C. -16 D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】 ，又 是 的外心，由投影的定义可知则故选 .【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投

7、影定义的简单应用，属于基础题.（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）13.已知向量 ，向量 ，若 ，则向量 与 的夹角为_【答案】 【解析】【分析】由向量的夹角公式可得 ，从而可得夹角.【详解】 ，则向量 的夹角为 .【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题型.来源 :学科网（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题）5.已知 ， ，且 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量 积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解【详解】 ，即：又 ， 向量 与向量 的夹

8、角的余弦为 ，向量 与向量 的夹角为：故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力来源:学科网（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）16.已知两个单位向量 ， 的夹角为 ， ，若 ，则 _【答案】4【解析】【分析】由向量的数量积运算得 t （2 t） 0，即 t （2 t） 20，又| | |1，且 ，代入可计算得解【详解】因为 t （2 t） ，当 0，则 t （2 t） 0，即 t （2 t） 20 ，又 | | |cos60 ，| | |1 ，所以 2 t0，解得： t4，故答案为：4【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了

9、运算能力，属于简单题来源:Zxxk.Com（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）11.圆 ：与 轴正半轴交点为 ，圆 上的点 ， 分别位于第一、二象限，并且，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】来源:学科网【分析】由 ，可知 ，设 的坐标为 ，根据向量的关系列方程求解即可。【详解】由题意知， ，设 的坐标为 ,则 , , ,因为 ，所以 ，即 ，又 ，联立 解得 或 ，因为 在第二象限，故只有 满足，即 .故答案为 B.【点睛】本题考查了单位圆的性质，考查了向量的坐标表示，向量的数量积，考查了方程思想，属于基础题。（福建省厦

10、门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题）来源:学科网8.在 中， ， ， 为 的中点，则 （ ）A. B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，求得 ，代入计算，即可求解.【详解】由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，可得 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中利用平面向量的基本定理，转化为向量 和 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.（河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题）6.设 是边长为 2的正三角形， 是 的中点， 是 的 中点，则

11、 的值为（ ）A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A【解析】【分析】用 表示 ,在利用向量数量积的运算，求得 的值.【详解】 ，故选 A.【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题.（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）3.下列命题中是假命题的是（ ）A. ，函数 都不是偶函数B. ，C. ，使D. 若向量 ，则 在 方向上的投影为 2【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等对四个选项逐一进行判断，可以得到正确的结论【详解】选项 A,当 时，f（x ）sin（2

12、x+）cos2 x 是偶函数，故 A 错误；选项 B,由 0 ，可得 sin、tan 都是正实数,设 f（）=-sin，求导f（）=1-cos0,f（）=-sin 在 （0， ）上是增函数，则有 f（）=-sinf（0）=0，即 sin同理，令 g（）=tan-，则 g（）=,所以，g（）=tan- 在 （0， ）上也是增函数，有 g（）=tan-g（0）=0，即 tan综上，当 （0， ）时，sintan故 B正确；选项 C，当 0 时，sin0，cos（+）cos=cos+sin，故 C 正确；选项 D,根据向量数量积的几何意义知，向量 在 上的投影为 ，故 D 正确；来源:学科网ZXXK

13、故选：A.【点睛】本题考查正弦函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等知识的综合考查，属于基础试题（湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题）12.设 ， 是抛物线 上的两点， 是坐标原点，若 ，则以下结论恒成立的结论个数为（ ） ；直线 过定点 ； 到直线 的距离不大于 1.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意，根 向量的运算，求得 ，得到 ，再根据向量的模的计算公式，化简得到正确；直线 的斜率求得直线方程，可判定直线不一定过点 ，错误；利用点到直线的距离公式，可判定正确，即可得到答案.【详解】设 ， ， ， ，正确；直线 的斜率 ，

14、方程为 ，过定点 ，错误；原点到直线 ： 的距离 ，正确故选 C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积 和向量模的运算，以直线的方程及点到直线的距离公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用向量的运算公式和直线方程 的相关知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.（广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）7.在 中， ， ，则 ( )A. 3 B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得： ，展开得： ，又因为，所以可得： ，因为 所以 .故本题正确答案为（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文

15、）试卷）14.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】先求出 ， ， 再代入向量的投影公式计算即可【详解】因为 -1 ， ， 向量 在向量 方向上的投影 故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和模长及投影公式，属于基础题（陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模 拟检测（二）数学 （文科）试题）16.在ABC 中，AB5，AC3，BAC60，点 D是 BC的中点，E 是线段 AD的中点，则BE_ _【答案】【解析】【分析】运用向量数量积的定义和中点向量表示，以及向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算可得所求值【详解】AB5，AC3，BAC60，得 53

16、 ，D是边 BC的中点， （ ） ，E是线段 AD的中点，（ ），又 （ ） ，代入中得到，平方得 = ， BE= ，故答案为.【点睛】本题考查向量中点表示，以及向量数量积的运算和应用，考查了向量法解决几何问题的方法，考查运算能力，属于中档题（陕西 省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）4.设向量 ， ，若 与 垂直，则实数 k的值等于（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2【答案】B【解析】分析：由两个向量垂直得向量的数量积为 0，利用向量的坐标表示计算即可 .详解：向量 ，则若 与 垂直，则 .解得 .故选 B.点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础

17、题.（广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题）13.已知向量 ，若 ，则 _【答案】0【解析】【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，这样进行数量积的坐标运算即可求出 x【详解】 ；解得 故答案为：0【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算（广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题）3.已知向量 ，若 ，则 的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求 ，再根据向量数量积得方程，解得 的值.【详解】因为 ，所以由 得 ，选 A.【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.（

18、河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）11.在锐角三角形 中， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系可得 ，结合两角和差正余弦公式可知 ，利用余弦定理可得 ，最后利用平面向量数量积的定义求解数量积即可.【详解】由同角三角函数基本关系可得 ，则 ，由余弦定理可得 ,则 ，结合平面向量数量积的定义可得： .本题选择 A 选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用（河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸

19、底考试数学（理）试题）7.如图，在 中， ，若在边 AC上存在点 D，使 成立，则 （ ）A. B. 12 C. D. 8【答案】D【解析】,选 D来源:学。科。网（西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学）13.已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 _【答案】1【解析】【分析】根据题意，设| | t， （ t0） ，由数量积的计算公式可得 ，进而由| | ，平方可得 9+3t+t213，解得 t的值，即可得答案【详解】根据题意，设| | t， （ t0） ，向量 与 的夹角为 60，| |3，则 ，又由| | ，则（ ） 2 2+2 29+3 t+t213，变形可得： t2+3t4

20、0，解可得 t4 或 1，又由 t0，则 t1；故答案为 1【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第一次联考数学（理）试题）9.已知扇形 ， ，扇形半径为 ， 是弧 上一点，若 ，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到 cos ，即可求得结果.【详解】由 ，两边同时平方得 = ，则有 3=4+1+2 =5+2 2cos ，cos ， ，故选 D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于

21、基础题.（晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学( 理)试题）13.已知 ，则向量 与 夹角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值 ，然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可.【详解】 ，【点睛】本题主要考查平面向量的夹角，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）13.已知向量 ，则向量 在 上的 投影为_.【答案】【解析】【分析】求出 利用投影公式计算即可.【详解】 ，则向量 在 上的投影为故答案为【点睛】本题考查

22、向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.（河北省唐山市 2019 届高三上学 期第一次摸底考试数学（文）试题）15.已知 的两个单位向量，且 ，则 _.【答案】1【解析】【分析】由题 意，向量 的两个单位向量，且 ，求得两向量的夹角满足 ，再由模的计算公式和向量的数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，向量 的两个单位向量，且 ，则 ，所以 ，来源:Zxxk.Com所以 .【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件

23、，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题 转化为向量的数量积来解决（河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题）9.在 中， ， ， 是 所在平面上的一点，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据题意，用 表示出 ，然后再利用数量积的运算求得结果即可.【详解】由题可知， 所以故选 A【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理和数量积的运算，易错在于用 表示出，属于较为基础题.（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）13.已知向量 与 满足 ，则 则 与 的夹角为_。【答案】【解析】试题分析:有题意得，考点：求

24、平面向量的夹角.【此处有视频，请去附件查看】（广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）13.已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，则_【答案】 1【解析】【分析】来源:Z*xx*k.Com由已知求出 的值，再由（m ） ，得（m ） =0，展开后得答案【详解】向量 与 的夹角为 120，且| |=2，| |=4， ，又（m ） ，（ m ） = ，解得 m=1故答案为：1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题（江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题）13.已知向量 满足 ,且 ,则向量 与 的夹角为

25、_.【答案】【解析】【分析】由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解.【详解】由题 cos ,所以故答案为【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.来源:学科网（四川省成都市实验 外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）6.已知向量 与 的夹角为 ， =2， =5，则 在 方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出 ，再根据投影的定义可得所求结果【详解】 =2， =5，向量 与 的夹角为 ， ， 在 方向上的投影为 故选 B【点睛】解答本题的关键利用投影的定义求解，其中先求出两个向量的数量积是必须的步骤，考查数量积的定义和数量积的运算，属于基础题（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题）6.两个非零向量 满足 ，则向量 与 夹角为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平方，将已知等式平方，可得 ， ，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角.【详解】两个非零向量 ， 满足 ，两边平方可得， ，化简得 ， ，则 ，由 ，可得向量 与 夹角为 ，故选 A.【点睛】本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角，考查了学生的计算能力，属于中档题.