2019届高三上期末数学分类汇编解析（21）二元一次不等式（组）与简单的线性规划

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）13.若 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转 化求解目标函数的最值即可【详解】 x， y 满足约束条件 的可行域如图：由 解得 A（1，2） 由可行域可知：目标函数经过可行域 A 时，z x+2y 取得最大值：5故答案为：5【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力（山东省潍坊市 201 9 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）5.若实数 ， 满足 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合不

2、等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。【详解】结合不等式组，建立可行域，如图图中围成的封闭三角形即为可行域，将 转化成 从虚线处平移，要计算 z 的最大值，即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到 A(-1,-1)点时候，z 最小，计算出z=1,故选 B。【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等。（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测 数学理科试题）5.已知点 ， 为不等式组 所表示平面区域上的任意一点，则 的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】本道题结合不等式组，绘制可行域，则 最小值即为点 A 到 距离，即可。【详解】结合

3、不等式组，绘制可行域，则 的最小值即为点 A 到 距离，利用点到直线距离公式 ，故选 B。【点睛】本道题考查了线性规划问题，难度中等。（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）13.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数 z3x+4y 的几何意义，求解目标函数的最大值【详解】作出 x，y 满足约束条件 ，所示的平面区域，如图：作直线3x+4y 0，然后把直线 L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点 A 时 z 最大，由 可得 A（1，2） ，此时 z5故答案为：5【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数

4、的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值 .（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）15.实数 ， 满足 ，目标函数 的最大值为_【答案】-1【解析】原式变形为 ，根据不等式组画出可行域，得到一个开放性的区域目标函数化简为 ，当目标函数过点 时，截距最小，目标函数最大，代入得到-1.故答案为：-1.（山

5、东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）7.已知变量 x、 y 满足 则 的最小值是A. 1 B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数是以（0，0）为圆心，圆的半径的平方，当过（1，1）点时圆半径最小，此时半径为 ，所以最小值为 2， 选 C.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若 ，当 的最值情况和 z的一致；若 ，当 的最值情况和 的相反；（2）斜率型： 与 的斜率，常见的变形： ， .（3）点点距离型： 表示 到 两点距离的平方；（4）点线距离型： 表示 到直线 的距离的 倍.（广西

6、桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）14.已知实数 满足 则 的取值范围是_【答案】【解析】不等式组 ，表示一个三角形区域（包含边界） ，三角形的三个顶点的坐标分别为 ， 的几何意义是点 与 连线的斜率，由于 的斜率为 ， 的斜率为 .所以 的取值范围是 .即答案为 【点睛】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义（江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）6.已知 x，y 满足不等式组 则 z=“2x“ +y 的最大值与最小值的比值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D来源:Zxxk.Com【解析

7、】解：因为 x，y 满足不等式组 ，作出可行域，然后判定当过点（2,2）取得最大，过点（1,1）取得最小，比值为 2，选 D（湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题）16.已知二次函数 ，且 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】本道题利用换元法，将题目所求式子转化成二元线性规划问题，结合数形思想，计算斜率范围，得到 z 的范围，即可。【详解】结合题意,建立不等式组,得到 ,处理该不等式得到令 ,建立新不等式组得到 ,绘制可行域,得到可行域是画虚线位置,处理目标函数转化成直线可得 ,因而该直线过定点 ,因此该直线斜率介于 1 号和 2 号直线之间,

8、,设该直线与曲线的切点为 ,斜率为 ,得到方程为,过定点 ,代入,解得 ,因而 ,解得A 的坐标为 ,因而 PA 的斜率为 ,得到 ,解得,综上所述,z 的范围为【点睛】本道题考查了线性规划以及过曲线切线斜率计算方法，难度较大。（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）6.若 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件 画出可行域如图， 即 y=2x-z,由图得当 z2xy 过点 O（0，0）时

9、，纵截距最大，z 最小为 0当 z2xy 过点 B（1，-1）时，纵截距最小，z 最大为 3故所求 z2xy 的取值范围是故选：A【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求 出最值，从而得到范围.（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）5.设 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A. 1 B. 16 C. 20 D

10、. 22【答案】B【解析】【分析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解，得到答案。【详解】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域如图所示，结合图象可知当 平移到过点 A 时，目标函数取得最大值，又由 ，解得 ，此时目标函数的最大值为 ，故选 B。【点睛】本题主要考查了简单的线性规划求目标函数的最大值问题，其中解答中准确作出约束条件所表示的平面区域，结合可行域，确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于基础题。（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）5.若 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A.

11、 B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，又 表示可行域内一点 与点 连线的斜率，结合图像即可得出结果.【详解】画出可行域，如图所示， 表示可行域内一点 与点 连线的斜率，由图可知，当 ， 时， 取得最大值 3.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需掌握目标函数的几何意义，即可求解，属于基础题型.（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题）14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用直线平移法进 行求解即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由 zx+

12、y，得 yx+z 表示，斜率为 1 纵截距为 Z 的一组平行直线，平移直线 yx+z ，当直线 yx +z 经过点 A 时 ，直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大，此时x+y6，即此时 z6，故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题）13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用直线平移法进行求解即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由 zx+y，得 yx+z 表示，斜

13、率为 1 纵截距为 Z 的一组平行直线，平移直线 yx+z ，当直线 yx +z 经过点 A 时 ，直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大，此时x+y6，即此时 z6，故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）13.设变量 ， 满足约束条件： ，则目标函数 的最大值为_【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z x+2y 过点A（ ， ）时， z 最大值即可【详解】作出变量 x， y 满足约束条件： 可行域如

14、图，由 z x+2y 知， y x ，所以动直线 y x 的纵截距 取得最大值时目标函数取得最大值由 得 A（ ， ） 结合可行域可知当动直线经过点 A（ ， ）时，目标函数取得最大值 z 2 故答案为： 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基本知识的考查（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）14.设变量 ， 满足的约束条件 ，则目标函数 的最大值为_【答案】【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不等式组 对应的平面区域如图由

15、得到 ，平移直线 ，由图象可知当 经过点 B 时，直线 的截距最大，此时 z 最大， 由 解得 B(1,3)此时 z1+3 722，故答案为：22【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2 ）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值 .（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）4.若 x,y 满足约束条件 的取值范围是A. 0,6 B. 0,4 C. 6

16、, D. 4, 【答案】D【解析】解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图：目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，由 解得 C（2，1） ，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4，+） 故选：D（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）10.若 满足约束条件 ，则 的最小值为( )A. -1 B. -2 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线 到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 处取得最小值，且最大值为 .故选 D.【点睛】本小题主要

17、考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是 求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）6.若 满足约束条件 ，则 的最小值为( )A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线 到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 处取得最小值，且最大值为 .故

18、选 D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题）4.若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. B. 1 C. 5 D. 11【答案】C【解析】【分析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，结合图形，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数 ，得 ，

19、当直线 过点 A 时，此时在 y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由 ，解得 ，此时目标函数的最大值为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划求解目标函数的最大值问题，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合图形，确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题）4.若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 0 B. C. 12 D. 27【答案】C【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，在利用目标函数的几何意义，结合图象找出最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所

20、表示的可行域，如图所示，又由目标函数 ，则 ，平移直线 过点 A 时，此时在 y 轴上的截距最大，此时 取得最大值，又由 ，解得 ，所以目标函数的最大值为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求目标函数的最大值问题，其中解答中准确画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定最优解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）7.若 ， 满足约束条件 则 的最大值为（ ）A. 3 B. 5 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求

21、z 的最大值【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+2y 得 y=- x+ z 平移直线 y=- x+ z,由图象可知当直线 y=- x+ z,经过点 A 时，直线y=- x+ z 的截距最大，此时 z 最大联立两直线方程得 A（1，3） ，代入目标函数 z=x+2y得 z=1+23=7 故选 D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行可以求目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）6.已知实数 ， 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析

22、】【分析】本道题结合不等式组,绘制可行域,将 转化为 ,在可行域平移,计算 的范围,即可.【详解】绘制出可行域将 转化为 即该直线从虚线位置平移,平移到 A(1,1),该直线此时截距最大,对应 z 最小，此时 ，当平移到 B（3,0 ） ，此时截距最小，对应 z 最大，z=3-0=3,所以 ,故选 C.【点睛】本道题考查了线性规划问题,题目难度一般.（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）7.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）A. -6 B. -4 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】目标函数可化为 ，纵截距的大小与 相反，在点 处，

23、满足题意。【详解】画出 满足的可行域（见下图） ，目标函数可化为 ，联立 ，解得 ，当目标函数过 点时， 取最大值为 .故选 C.【点睛】本题考查了线性规划，属于基础题。（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）13.已知实数 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】20【解析】【分析】运用线性规划的知识先画出可行域，然后改写目标函数，结合几何意义求出最大值【详解】如图，由约束条件画出可行域 ，则 ，由图可得：当 ，即 时，,故答案为 20【点睛】本题考查了运用线性规划知识求解最值问题，解题一般步骤：先画出可行域，改写目标函数，运用直线几何意义求出最值，需要掌握解

24、题方法。来源:Z*xx*k.Com（安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）9.已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将 转化为定点 与动点 间的斜率关系，求解即可。【详解】画出 满足的可行域，如下图:由 ，解得 ，由 解得， ， 可看作定点 与动点 间的斜率，当动点 P 在 时， 取最小值为 ，当 动点 P 在 时， 取最大值为 ，故 ，故答案为 A.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、

25、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.（辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题）10.若点 满足不等式组 ，则 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：将不等式组的可行域表示在平面直角坐标系中，进而利用 ，即 ，转化为区域内的点和定点 连线的斜率即可.详解：如图所示，图中阴影部分为可行域.由点 ，即 ，所以 .表示可行域内点 和点 连线的斜率.由图可知， .所以 .故选 A.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意 前面的系数为负时，截距越大， 值越小；分式型，其几何意义是已

26、知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.（河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题）14.已知 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 _【答案】 来源:Zxxk.Com【解析】【分析】画出可行域，当直线 的截距最大时， 取得最大值，若 ，则目标函数在 点取得最大值，若 ，则目标函数在 点取得最大值，分别求解即可得到答案。【详解】画出 ， 满足的可行域（见下图阴影部分） ，目标函数可化为 ，若 ，则目标函数在 点取得最大值，解方程 ，得 ，则 ，解得 ，不满足题意；若 ，则目标函数在

27、 点取得最大值，解方程 ，得 ，则 ，解得 ，满足题意。故答案为 2.来源:学科网 ZXXK【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档题。（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）4.若 x， y 满足 则 x + 2y 的最大值为A. 1 B. 3C. 5 D. 9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为 的一组平行线，当 过点 时，目标函数取得最大值，故选 D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为 ：一画、二移、三求常见的目标函数

28、类型有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值时常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如 ，而本题属于截距形式.（湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题）6.若实数 ， 满足 且 的最小值为 3，则实数 的值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数 过点 时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数 过点 时取得最小值，由 得 ，则 ，解得 .故选 C.【点睛】本题主要考查简单线性

29、规划求解目标函数的最值问题解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答 的关键（吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题）6.若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】约束条件 对应的可行域为三角形区域，三个顶点为 当直线 经过点（2，-1）时取得最大值为 4.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条

30、件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.（山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题）3.已知 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值【详解】由已知得到可行域如图：目标函数 的几何意义是区域内的点到原点距离，所以原点到图中 OP 的距离即为所求，d ，所以目标函数 的最小值为： ；故选：B【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的

31、几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.（江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试数学（文） ）11.已知 x， y 满足不等式组 ，则 的最小值等于_【答案】2【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由 ，得 ，平移直线 ，由图象知当直线经过点 A 时，直线 的截距最小，此时 z 最小，由 ，得 ，即 ，此时 ，故答案为：2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合图象，利用数形结合是

32、解决本题的关键（湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题）13.已知实数 满足不等式组 ，则 是最小值为 _.【答案】-13【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数 z2x+y 对应的直线进行平移，可得当 xy1 时，z2x +y 取得最小值【详解】作出不等式组 表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由 解得 B（11，2）设 zF（x，y）x+y，将直线 l：zx+y 进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值，z 最小值 F（11，2）13故答案为：13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题（江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题）