2019届高三上期末数学分类汇编解析（35）选修4系列

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知直线 与曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值.【答案】 （1） 的普通方程 ； 的直角坐标方程是 ；（2 ）【解析】【分析】（1）把直线 l 的标准参数方程中的 t 消掉即可得到直线 的普通方程，由曲线 C 的极坐标方程为 2 sin（ ） ，展开得 （sin+cos） ，利用 即可得出曲线 的直角坐标方程；（

2、2）先求得圆心 到直线 的距离为 ，再用垂径定理即可求解【详解】 （1）由直线 的参数方程为 ，所以普通方程为由曲线 的极坐标方程是 ，所以 ，所以曲线 的直角坐标方程是（2）设 的中点为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则 ，圆 ，则 ， ，,由点到直线距离公式，解得 ，所以实数 的值为 .【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；（2）当 时，求 的解集

3、.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）通过讨论 a 的范围，求出不等式的解集，结合对应关系求出 a 的值即可；（2）代入 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可【详解】 （1）由 得 ，当 时，由 ，得 ，当 时，由 ，无解所以 .（2）当 时，原不等式化为 ，所以 ；当 时，原不等式化为 ，所以 （舍） ；当 时，原不等式化为所以，不等式的解集为 .【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（文科）试题）22.已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为

4、参数） ，以 轴的非负半轴为极轴，原点 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和 分别与曲线 相交于 、 两点（ ， 两点异于坐标原点）.（1）求曲线 的普通方程与 、 两点的极坐标；（2）求直线 的极坐标方程及 的面积.【答案】 （1） ， .（2）【解析】【分析】（1）消参，即可得到曲线 C 的普通方程，结合 ， ，得到曲线 C 的极坐标方程，计算 A,B 坐标，即可。 （2）结合 ， ，即可得到直线 AB 的极坐标方程，分别计算 OA,OB 的长，结合三角形面积计算公式，即可。【详解】解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，所以消去参数 得曲线 的普通方程为 ，因

5、为 ， ，代入曲线 可得 的极坐标方程： .将直线 ， 代入圆的极坐标方程可知: ， ， 故 、 两点的极坐标为 ， .（2）由 ， 得： ， ，根据两点式可知直线 的方程为：，所以的极坐标方程为： .所以 的极坐标方程为 .可知直线 恰好经过圆的圆心，故 为直角三角形，且 ， ，故 .【点睛】本道题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程互相转化，难度中等。（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（文科）试题）23.设函数 .（1）证明： ；（2）若不等式 的解集为 ，求实数 的值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】(1)利用 ,同时结合基本不等式 ,即可.(2)针对 a 取

6、不同范围讨论，去绝对值，即可。【详解】 （1）证明： ，所以 .（2）由 可得 ，当 时， ， ，这与 矛盾，故不成立，当 时， ， ，又不等式的解集为 ，所以 ， 故 .【点睛】本道题考查了基本不等式以及不等式证明，难度偏难。（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为（ 为参数），以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；（）设直线 交曲线 于 ， 两点，交曲线 于 ， 两点，求 的长.【答案】

7、（）曲线 的极坐标方程为： ； 的直角坐标方程为：；（）【解析】【分析】（I）消去参数，即可得到曲线 的直角坐标方程，结合 ，即可得到曲线 的极坐标方程。 （II）计算直线 l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算 长，即可。【详解】解法一：（）曲线 ： （ 为参数）可化为直角坐标方程：，即 ，可得 ，所以曲线 的极坐标方程为： .曲线 ： ，即 ，则 的直角坐标方程为： .（）直线 的直角坐标方程为 ，所以 的极坐标方程为 .联立 ，得 ，联立 ，得 ，.解法二：（）同解法一（）直线 的直角坐标方程为 ，联立 ，解得 ，联立 ，解得 ，所以 .【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基

8、础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）23.已知函数 .（）当 时，求不等式 的解集；（）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （） 或 （）【解析】【分析】（I）把 代入 中，结合 x 取不同范围，去绝对值，建立不等式，计算 x 的范围，即可。 （II）计算 最小值，建立不等式，计算 a 的范围，即可。【详解】解：（）当 时， ，所以 ，所以 ，或 ，或 ，解得： 或 ，综上，不等式 的解集为： 或 .（）即 .由 ，故 ， 或 ，解得 或 ，综上， .【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法

9、与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等.（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数） ，直线 （ 为参数） ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 与直线 的极坐标方程（极径用 表示，极角用 表示） ；（2）若直线 与曲线 相交，交点为 、 ，直线 与 轴也相交，交点为 ，求 的取值范围.【答案】 （1）曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转

10、换；（2）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可得到 的取值范围【详解】 （1）曲线 即 即 即 或由于曲线 过极点 曲线 的极坐标方程为直线 即即 即直线 的极坐标方程为（2）由题得设 为线段 的中点，圆心到直线 的距离为则 它在 时是减函数 的取值范围【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）画出函数 的图象；（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.【答案

11、】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）写出 f（x）的分段函数式，画出图象；（2）由题意可得 2m+1f（x）x 的最小值，对 x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围【详解】 （1）f（x ）|2x +1|x2|， 的图像如图（2）由（）得当 时，题设等价于 即【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐

12、标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线的极坐标方程为 .（1）把曲线 的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线 与曲线 交于点 ，与曲线 交于点 ，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）利用 消去参数，求得 的普通方程，再利用 转为极坐标方程.（2）将 分别代入 的极坐标方程，求得 两点对应的极坐标，由此求得的值.【详解】解：（1）曲线 的普通方程为 ，即 ，由 ，得 ，曲线 的极坐标方程为 ；（2）设点 的极坐标为 ，点 的极坐标为 ，则 ， .【点睛】本小题主要考查将圆的参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求解有关弦长的问题，属于基础

13、题.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）23.设函数 .（1）解不等式 ；（2 ）当 时，证明： .【答案】 （1）解集为 ；（2）见解析.【解析】【分析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1 ）知，, ，之后利用均值不等式可证明.【详解】 （1）由已知可得： ，当 时， 成立； 当 时， ，即 ，则 所以 的解集为 .（2）由（1）知， ，由于 ，则 ，当且仅当 ，即时取等号，则有 【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题

14、的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）22.已知直线 l 的参数方程为 为参数） ， 椭圆 C 的参数方程为 为参数） 。在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 A的极坐标为(2, (1)求椭圆 C 的直角坐标方程和点 A 在直角坐标系下的坐标(2)直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,求APQ 的面积【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：(1)消去参数，即可得到椭圆的直角坐标方程，利用极坐

15、标与直角坐标的互化公式，即可求解点 的直角坐标；（2）将直线的参数方程代入椭圆的方程，得到 , ，即可求得 ，再求得点到直线的距离，即可求解面积.试题解析：(1)由 得 . 因为 的极坐标为 ,所以 ， .在直角坐标系下的坐标为 . （2）将 代入 ，化简得 ,设此方程两根为 ,则 , . . 因为直线 的一般方程为 ,所以点 到直线 的距离 . 的面积为 .（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）23.已知函数 .(1)当 a=0 时,求不等式 f(x)0)和|axb| c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用

16、“ 零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想（吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题）22.在直角坐标坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为.（1）求曲线 的普通方程；（2）若 与曲线 相切，且 与坐标轴交于 两点，求以 为直径的圆的极坐标方程.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）利用公式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用 与曲线 相切，结合一元二次方程的解法求出结果详解：（1）由

17、 ，得 ，即 ，故曲线 的普通方程为 （2）由 ，当 ，联立 得 ，因为 与曲线 相切，所以 ， ，所以 的方程为 ，不妨假设 ，则 ，线段 的中点为 所以 ，又 ，故以 为直径的圆的直角坐标方程为 点睛：把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法.（吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题）23.已知函数 ， .（1）求不等式 的解集；（2）若存在 ，使得 和 互为相反数，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）分 ， ，和 三种情况去掉绝对值，解不等式即可.（2）由题存在 ，使得 成

18、立，即.又 ，由（1）可知 ，所以 ，可解得 的取值范围.试题解析：（1）由题意可得 ，当 时， ，得 ，无解；当 时， ，得 ，即 ；当 时， ，得 .综上， 的解集为 .（2）因为存在 ，使得 成立，所以 .又 ，由（1）可知， ，则所以 ，解得 .故 的取值范围为 .（山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题）22.在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为 ( 为参数，0 )，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为(I)求曲线 C 的直角坐标方程；()设点 M 的坐标为(1，0)，直线 l 与曲线 C 相交于

19、A，B 两点，求 的值.【答案】(I) () 【解析】【分析】（I）直接利用转换关系把极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（）利用方程组建立一元二次方程根与系数的关系进行应用【详解】 （）曲线 ，即 曲线 C 的直角坐标方程为 即()将 代入 并整理得， .【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数， t 可正、可负、可为 0)若 M1， M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1， t2，则(1)M1， M2 两点的坐标分别是( x0 t1cos ， y0 t1sin )，( x0 t2cos ， y0 t2sin

20、).(2)|M1M2| t1 t2|.(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| |t| .(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1 t20.（山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题）23.设函数 (I)当 a=1 时，求不等式 的解集；()已知 的取值范围【答案】() 或 . () 【解析】【分析】（）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；（）求出 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 a 的范围，求出 f（x）的最小值即可【详解】 （）当 时，不等式 即 ，当 时， 或此时， ，当 时， 或此时，