2019届高三上期末数学分类汇编解析（32）离散型随机变量的分布列 期望与方差

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1、（广东省东莞市 2019 届高三上学期期末调研测试数学理试题）3.假设东莞市市民使用移动支付的概率都为 ，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知 是其中 10 位市民使用移动支付的人数，且 ，则 的值为（ ）A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8【答案】C【解析】【分析】由已知得 X 服从二项分布，直接由期望公式计算即可.【详解】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，满足 XB （10，p）， =6,则 p=0.6故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法，属于基础题.（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）20.在创新“全

2、国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ， 近似为这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记 （单位：元）为该市民参加问卷调查

3、获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式： ,若 ，则 ， .【答案】 （1） 0.8185（2 ） 详见解析【解析】【分析】（1）由题意计算平均值，根据 Z N（ ， ）计算 的值；（2）由题意知 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【详解】 （1）由题意得： ， ， ，综上，（2）由题意知， ，获赠话费 的可能取值为 20,40,50,70,100；，；的分布列为：【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）20.某钢铁加工厂新生产

4、一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组 频数 频率合计（1）求 ， ；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于 或小于 为不合格，钢管内径尺寸在 或 为合格，钢管内径尺寸在 为优等.钢管的检测费用为 元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.（i）若从这批钢管中随机抽取 根，求内径尺寸为优等钢管根数 的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有 根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除 根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以 元/根售出；

5、第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管 元/根，优等钢管 元/根. 请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.【答案】 （1） , （2） （i）分布列见解析，期望为 0.9（ii）当 时，按第一种方案，时，第一、二种方案均可， 时，按第二种方案.【解析】【分析】（1）结合列联表和频率直方图运用，计算 b、a 值，即可。 （2） （i）分别计算 X=0,1,2,3对应的概率，列出分布列，计算期望，即可。 （ii）分别计算每种方案对应的利润，然后相减，计算出 m 的范围，即可。【详解】 （1）由题意知： ，所以 ，所以 .（2） （i）由

6、（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为 ， 所有可能的取值为 ， ， ，故 的分布列为（ii）按第一种方案： ，按第二种方案： ，若 时， ，则按第一种方案，若 时， ，则第一、第二方案均可，若 时， ，则按第二种方案，故当 时，按第一种方案，时，第一、二种方案均可，时，按第二种方案.【点睛】本道题考查了离散型随机变量分布列，难度中等。（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取 个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示） ，已知成绩在 的学生人数为 ，且有个女生的成绩在 中，则 _；现由成绩在 的样

7、本中随机抽取 2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为 ，则 的数学期望是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先利用频率和为 求得 的值.根据 的学生人数及频率，计算出 的值.根据的频率计算出该组的总人数，利用超几何分布概率计算公式求得 分布列，由此求得 的数学期望.【详解】由 ，解得 .依题意 ，则 .成绩在 的人数为 ，其中 个为女生， 个为男生. 的可能取值为 . ，故.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查超几何分布的概率计算公式，考查分布列的期望求法.属于中档题.对于频率分布直方图，要注意的有以下两点：一个是小长方形的面积和为 ，二个是频率分布直方图的纵坐

8、标为 .超几何分布的计算公式，类似于古典概型的计算公式.（安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）18.2015 年 11 月 27 日至 28 日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到 2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中

9、扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为 ,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为 .（）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为 X,求 X 的分布列；（）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有 1 人走访”.请问：他说的是真的吗？【答案】() ()详见解析（）真的【解析】【分析】()由 n 次独立重复事件的概率公式得 ；() 随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，列出分布列即可；（）由分布列求出期望，与 1 比较大小即可判断真假。【详解】() 设帮扶

10、责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为 A， 则帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 . （）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3. ；. 随机变量 X 的分布列为. X 0 1 2 3P（） ,所以 所以杨老汉说的是真的。【点睛】本题考查了事件的概率，分布列及期望的求法，属于中档题。（湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题）19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)从本市随机抽取了 10

11、 户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数 X 的分布列与数学期望；（）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若抽到 户月用水量为一阶的可能性最大，求 的值【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（）由茎叶图计算，可得第二阶段水量的户数 的可能取值为 ，求解随机变量取每个值对应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式，求解数学期望；（）设 为从全市抽取的 10 户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得 ，根据概率公式，列出不等式组，求得实数 的范围，即可求解 的值，得到答

12、案.【详解】 （）由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 3 户，二阶的有 5 户，三阶的有 2 户第二阶段水量的户数 的可能取值为 0，1，2，3， ， ，所以 的分布列为0 1 2 3的数学期望 .（）设 为从全市抽取的 10 户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得 ，由 ，解得 ，又 ，所以当 时概率最大即从全市依次随机抽取 10 户，抽到 3 户月用水量为一阶的可能性最大.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，得到随机变量 的取值，利用排列组合的知识得到随机变量取每个值对应的概率，合理利用公式计算是解答的关键，着重考

13、查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.（河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）19.有编号为 1，2，3n 的 n 个学生，入座编号为 1，2，3n 的 n 个座位，每个学生规定坐一个座位, 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 , 已知 时, 共有 6种坐法.（1）求 的值；（2）求随机变量 的概率分布列及数学期望 【答案】 （1） ；（2）分布列详见解析， .【解析】试题分析：（1）解题的关键是 =2 时，共有 6 种坐法，写出关于 n 的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去（2 ）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，由题意知 的可能取值是

14、0， 2，3，4，当变量是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是 2 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 2 个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望解：（1）当 =2 时，有 Cn2 种坐法，Cn2=6，即 ，n2n12=0，n=4 或 n=3（舍去） ，n=4（2 ） 学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，由题意知 的可能取值是 0， 2，3，4 ，当变量是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是 2 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 2 个相同，当变量是 3 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 1 个相同，当变量是 4 时表示学生所

15、坐的座位号与该生的编号有 0 个相同， ， 的概率分布列为： 0 2 3 4P 考点：离散型随机变量及其分布列（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试；方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试公司有多个班组，每个班组 60 人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀第一周 第二周 第三周 第四周甲组 20 25 10 5乙组 8 16 20 16（1）在甲组内任选两人，

16、求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为 、 ，求 、 的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率【答案】 （1） （2）（i）见解析（ ii）【解析】【分析】（1）甲组 人中有 人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得 “甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2） 可能取值有 ，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值. 的所有可能取值为 ，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，

17、由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为 ，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”【详解】解：（1）甲组 60 人中有 45 人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为 ；（2） （i） 的分布列为5 10 15 20P，的分布列为4 8 12 16P， ，公司应选培训方式一；（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为 ，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为 【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.（湖南省湘潭市 2019 届高三上

18、学期第一次模拟检测数学（理）试题）19.某工厂共有男女员工 500 人，现从中抽取 100 位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：每月完成合格产品的件数（单位：百件）频数 10 45 35 6 4男员工人数 7 23 18 1 1（1）其中每月完成合格产品的件数不少于 3200 件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“生产能手”与性别有关？非“生产能手” “生产能手” 合计男员工女员工合计（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额 2600 件以内的，计件单价为 1 元；超出 件的部分，累进计

19、件单价为 1.2 元；超出 件的部分，累进计件单价为 1.3 元；超出 400 件以上的部分，累进计件单价为 1.4 元.将这 4 段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取 1 人，女员工中随机选取 2 人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于 3100 元的人数为，求的分布列和数学期望.附： ，.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）利用列联表求得 的观测值 ，即可判断.（2）设 2 名女员工中实得计件工资不少于 3100 元的人数为 ，1 名男员工中实得计件工资在 3100 元以及以上的人数为 ，则 ， ,根据 X、Y

20、的相应取值求得 Z 的相应取值时的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望.【详解】 （1）非“生产能手” “生产能手” 合计男员工 48 2 50女员工 42 8 50合计 90 10 100因为 的观测值 ，所以有 的把握认为“生产能手”与性别有关.（2）当员工每月完成合格产品的件数为 3000 件时，得计件工资为 元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于 3100 元的概率为 ，女员工实得计件工资不少于 3100 元的概率为 ，设 2 名女员工中实得计件工资不少于 3100 元的人数为 ，1 名男员工中实得计件工资在3100 元以及以上的人数为 ，则 ， ，的所有可能取值为 ， ， ，

21、 ，所以 的分布列为0 1 2 3故 .【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了二项分布及期望的求法，考查转化思想以及计算能力（江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）18.现有 4 名学生参加演讲比赛，有 两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被 3 整除的数则选择 题目，掷出其他的数则选择 题目.（1）求这 4 个人中恰好有 1 个人选择 题目的概率；（2）用 分别表示这 4 个人中选择 题目的人数，记 ，求随机变量 的分布列与数学期望 .【答案】 （1） ；（2）分布列见解析，期望为 【解析】试题分析：（1

22、）本题为二项分布模型，由题可知，选择 题目的概率为 ，选择 题目的概率为 ，则 ，所以这 4 人中恰有一人选择 题目的概率为；（2） 的所有可能取值为 0，3，4， ，写出分布列，并求期望。试题解析：由题意知，这 4 个人中每个人选择 题目的概率为 ，选择 题目的概率为 ，记“这 4 个人中恰有 人选择 题目”为事件 ， ，（1）这 4 人中恰有一人选择 题目的概率为 .（2） 的所有可能取值为 0，3，4，且，. 的分布列是所以 .（广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）18.在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况

23、，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分(满分 100 分)统计结果如下表所示.组别频数 25 150 200 250 225 100 50（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这 1000 人得分的平均值值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求 ；（2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：:（）得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；（）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：赠送的随机话费（单元：

24、元）20 40概率 0.75 0.25现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式，若 ，则 ； ； .【答案】 （1）0.8186.（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意结合题意可得 ， ，结合正态分布图像的对称性可得.（2）由题意可知 的可能取值为 ， ， ， .且 ； ； ；.据此可得分布列，结合分布列计算数学期望可得 .【详解】 （1）.故 ， ， ，. .综上， .（2）易知 ，获奖券面值 的可能取值为 ， ， ， .； ； .的分布列为： .【点睛】本题主要考查正态分布的应用，概率分布列和数学期望的求解等

25、知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学(理) 试题）19.“共享单车”的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来一定方便，可是，国人的整体素养待提高，伤痕累累等不文明行为也遍及大江南北某市建立了共享单车服务系统，初次交押金时个人积分为 100 分，当积分低于 60 分时，借车卡将自动锁定，禁止借车共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定三条如下：i共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣 1 分；ii闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣 2 分；iii损坏共享单车、私自上锁、私藏，扣 5 分已知甲

26、、乙两人独立出行，各租用共享单车一次：甲、乙扣 1 分的概率分别是 0.4 和0.5；甲、乙扣 2 分的概率分别是 0.4 和 0.3；租用共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）若甲、乙两人在初次租用共享单车一次后所剩下的积分之和为 X，求随机变量 X 的数学期望【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）记“甲扣 1 分、2 分、3 分”， “乙扣 1 分、2 分、3 分” 为事件 ，由题意可知各个事件相互独立，且易知每个事件的概率，据此计算甲、乙两人所扣积分相同的概率即可.（2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之

27、后所扣积分之和为 ，易知 的可能取值为2，3，4，6，7，10 求得相应的概率值得到分布列，然后计算数学期望即可.【详解】 （1）记“甲扣 1 分” 为事件 ， “甲扣 2 分”为事件 ， “甲扣 5 分”为事件 ， 记“乙扣 1 分”为事件 ， “乙扣 2 分”为事件 ， “乙扣 5 分”为事件 ， 据题设知， 彼此相互独立记“甲、乙两人所扣积分相同”为事件 ，则 （2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为 ，则 的可能取值为 2，3，4，6，7，10 所以 的分布列为：2 3 4 6 7 10P 0.2 0.32 0.12 0.18 0.14 0.04故 【点睛】本题主要考查

28、独立事件概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题）18.2018 年是中国改革开放的第 40 周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的 100 名市民进行调查，将他们的年龄分成 6 段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在 内的人员中按分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8人中随机抽取 3 人进行座谈，用 表示年龄在 内的人数，求 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取

29、 20 名市民进行调查，其中有 名市民的年龄在 的概率为 .当 最大时，求 的值.【答案】 （1）分布列见解析； ；（2）7.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在 内的人数，可得 的可能取值为 0，1 ， 2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望；（2）设年龄在 内的人数为 ，则 ，设 ,可得若 ，则 ， ；若，则 ， ，从而可得结果.【详解】 （1）按分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在 内的人数为 人，年龄在 内的人数为 人，年龄在 内的人数为 人.所以 的可能取值为 0，1，2，所以 ，所以 的分布

30、列为0 1 2.（2）设在抽取的 20 名市民中，年龄在 内的人数为 ， 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在 内的频率为 ，所以 ，所以 .设 ，若 ，则 ， ；若 ，则 ， .所以当 时， 最大，即当 最大时， .【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关； （2 ）概率计算关；（3）公式应用关.（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月

31、教学质量检测理科数学试题）20.某公司销售部随机抽取了 1000 名销售员 1 天的销售记录，经统计，其柱状图如图该公司给出了两种日薪方案方案 1：没有底薪，每销售一件薪资 20 元；方案 2：底薪 90 元，每日前 5 件的销售量没有奖励，超过 5 件的部分每件奖励 20 元（1）分别求出两种日薪方案中日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：（）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪 X（单位：元）的数学期望及方差；（）如果你要应聘该公司的销售员，结合（）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由【答案】 （1）见

32、解析；（2） （）见解析；（）见解析【解析】【分析】（1）分别写出方案 1、方案 2 的日工资 y 与销售件数 n 的函数关系式即可；（2） （）根据柱状图写出方案 1 的日薪 X1的分布列，计算数学期望和方差； 写出方案 2 的日薪 X2的分布列，计算数学期望和方差；【详解】 （1）方案 1：日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的函数关系式为：y=20n， n N；方案 2：日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的函数关系式为 y= ；（2） （）根据柱状图知，日销售量满足如下表格；日销售（件）3 4 5 6 7概率 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1所以方案 1 的日薪 X1的分

33、布列为，X1 60 80 100 120 140P 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1数学期望为 E（ X1）=600.05+800.2+1000.25+1200.4+1400.1=106，方差为 D（ X1）=0.05（60-106） 2+0.2（80-106） 2+0.25（100-106） 2+0.4（120-106） 2+0.1（140-106） 2=444；方案 2 的日薪 X2的分布列为，X290 110 130P 0.5 0.4 0.1数学期望为 E（ X2）=900.5+1100.4+1300.1=102，方差为 D（ X2）=0.5（90-102） 2+0.4（110

34、-102） 2+0.1（130-102） 2=176；（）答案 1：由（）的计算结果可知， E（ X1） E（ X2） ，但两者相差不大，又 D（ X1） D（ X2） ，则方案 2 的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案 2答案 2：由（）的计算结果可知， E（ X1） E（ X2） ，方案 1 的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案 1【点睛】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题（陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）18.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续六个

35、月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 （单位：百万元）与月份代码 之间的关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 ， 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对 ， 两种型号的新型材料对应的产品各 件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命材料类型个月 个月 个月 个月 总计经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来 万元收入，不

36、考虑除采购成本之外的其他成本，A 材料每包的成本为 10 万元，B 材料每包的成本为 12 万元。假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据： ， .参考公式：回归直线方程为 ，其中.【答案】 （1） ，预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为 百万元（2）见解析【解析】【分析】（1）根据数据求得 b、a 即可得回归直线方程，代入预测月份对应的自变量 x 的值，即可得预测值。（2）分别计算两种情况下的数学期望，比较大小即可得出结论。【详解】解（1）由折线图可

37、知统计数据 共有 组，即 ， ， ， ， ， ，计算可得 ，所以 ，所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为 .当 时， .故预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为 百万元。（2）由频率估计概率，每包 型新材料可使用 个月， 个月， 个月和 个月的概率分别为. ， ， 和 ，所以每包 型新材料可产生的利润期望值.由频率估计概率，每包 型新材料可使用 个月， 个月， 个月和 个月的概率分别为 ， 和 ，所以每包 型新材料可产生的利润期望值.所以应该采购 型新材料。【点睛】本题考查了应用回归方程分析实际问题，数学期望的求法，试题阅读量大，数据处理较为复杂，属于中档题。（四川省成都市实验外

38、国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）18.2018 年 12 月 18 日上午 10 时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放 周年大会. 年众志成城，40 年砥砺奋进， 年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展得壮丽史诗.会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放 年变化的老照片，并从众多照片中抽取了 张照片参加“改革开放 年图片展” ，其作者年龄集中在 之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：（1）求这位 作者年龄的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（2）央视媒体平台从年龄在 和 的作者中，按照分层抽样的方法，抽出来人参加“纪念改革开

39、放 年图片展”表彰大会，现要从中选出 人作为代表发言，设这位发言者的年龄落在区间45，55的人数是 ，求变量 的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)首先可以通过频率分布直方图得出每个年龄段所对应的概率，然后通过平均数以及方差的计算公式即可得出结果；(2)首先可以通过题意以及分层抽样的相关性质得出在 以及 年龄段的人数，然后得出 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率，即可列出分布列并计算出数学期望。【详解】 这 位作者年龄的样本平均数 和样本方差 分别为，；根据分层抽样的原理，可知这 人中年龄在 内有三人，在 内有 人，故 可能的取值为 ：，

40、， ，所以 的分布列为：Y 0 1 2 3P所以 的数学期望为 。【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列以及数学期望的相关性质，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及根据分层抽样的原理得出每一组的人数，考查推理能力与计算能力，是中档题。（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，

41、超过 4 次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器.为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数 0 1 2 3台数 5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率.记 表示这 2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.（）求 的分布列；（）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【答案】 （）见解析；（）选择延保方案二较合算【解析】【分析】（） 所有可能的取值为 0，1，2，3 ，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（）求出两种方案下

42、所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案。【详解】解：（） 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6， ， ， ， 的分布列为0 1 2 3 4 5 6（）选择延保一，所需费用 元的分布列为：7000 9000 11000 13000 15000（元）.选择延保二，所需费用 元的分布列为：10000 11000 12000（元）. ，该医院选择延保方案二较合算.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题。（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第一次联考数学（理）

43、试题）19.今有 9 所省级示范学校参加联考，参加人数约 5000 人，考完后经计算得数学平均分为113 分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为 12.（1）计算联考成绩在 137 分以上的人数.（2）从所有试卷中任意抽取 1 份，已知分数不超过 123 分的概率为 0.8.求分数低于 103 分的概率.从所有试卷中任意抽取 5 份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同, 表示抽到成绩低于 103 分的试卷的份数，写出 的分布列，并求出数学期望 .参考数据：， ，.【答案】 （1）114 人； （2） .【解析】【分析】（1）利用正态分布的概率公式求得满足条件的概率，再乘以总人数，可得结果.（2）直接利用正态分布曲线的对称性求得结果.由题意易知 找到 x 的取值，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和E（ X） 【详解】 （1）设本次联考成绩为 ，由题意知在正态分布 中， ， ，因为 ，所以 ，故所求人数为 （人）.（2） .由题意易知故 ， ， ，0 1 2 3 4 5