2019届高三上期末数学分类汇编解析(26)直线与圆
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1、(山东省德州市 2019 届高三期末联考数学(理科)试题)15.在平面直角坐标系 中,已知过点 的直线 与圆 相切,且与直线 垂直,则实数 _【答案】【解析】因为 在圆 上,所以圆心与切点 的连线与切线 垂直,又知 与直线与直线 垂直,所以圆心与切点 的连线与直线 斜率相等,所以 ,故填: (山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学(文科)试题)14.若直线 与两坐标轴分别交于 , 两点, 为坐标原点,则 的内切圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】结合三角形面积计算公式,建立等式,计算半径 r,得到圆方程,即可。【详解】设内切圆的半径为 r,结合面积公式则 因而圆心坐标为 ,圆的方
2、程为【点睛】本道题考查了圆方程计算方法,难度较小。(福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题)13.过圆 : 的圆心,且斜率为 1的直线方程为 _【答案】【解析】【分析】本道题先计算圆心坐标,结合点斜式,写出方程,即可。【详解】结合 满足圆心坐标为则该圆方程圆心坐标为 ,而该直线斜率为 1,所以方程为,得到【点睛】本道题考查了点斜式直线方程计算方法,较容易。(山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学(文)试题)20.已知动圆 C与圆 外切,并与直线 相切(1)求动圆圆心 C的轨迹(2)若从点 P(m,-4)作曲线 的两条切线,切点分别为 A、B,求证:直线
3、AB恒过定点。【答案】 (1) ;(2)【解析】【分析】(1)由两圆外切,圆心距等于半径和,圆与直线相切,圆心到直线的距离等于半径。先列出几何关系,建立几何等式,或转化为定义,或代数化。 (2)由(1 )知曲线为抛物线,应用导数求过 , 的切线方程,两式结构一样,且都过 P(m,-4)点,可知 为方程 的两个根,再结合直线 的方程为 .与抛物线方程组方程组中的韦达定理,得 , .所以 的方程为 .过定点。【详解】 (1)由题意知,圆 的圆心 ,半径为 .设动圆圆心 ,半径为 .因为圆 与直线 相切,所以 ,即 . 因为圆 与圆 外切,所以 ,即 .联立,消去 ,可得 . 所以 点的轨迹 是以
4、为焦点, 为准线的抛物线. (2 ) 由已知直线 的斜率一定存在 .不妨设直线 的方程为 .联立 ,整理得 ,其中设 ,则 , . 由抛物线的方程可得: , .过 的抛物线的切线方程为 , 又 代入整得: .切线过 ,代入整理得: , 同理可得 . 为方程 的两个根, . 由可得, , 所以 , . 的方程为 .所以直线 恒过定点 .【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数
5、统消,定点、定值显现.(四川省绵阳市 2019 届高三第二次(1 月)诊断性考试数学理试题)8.已知 O : 与O 1: 相交于 A、B 两点,若两圆在 A点处的切线互相垂直,且AB=4 ,则O 1的方程为( )A. 20 B. 50C. 20 D. 50【答案】C【解析】【分析】根据两圆相交,在 A 处的切线互相垂直,即可得到结论【详解】依题意,得 O(0,0) ,R ,O 1( ,0) ,半径为 r两圆在 A点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如下图,OC ,OAO 1A,OO 1AB,所以由直角三角形射影定理得:OA 2OCOO 1,即 51OO 1,所以 O
6、O15, rAO 1 2 ,即 5,得 5,所以,圆 O1的方程为: 20,故选: C【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用,根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键(湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题)11.已知两点 , 以及圆 : ,若圆 上存在点 ,满足,则 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知:以 AB为直径的圆与圆 有公共点,从而得出两圆圆心距与半径的关系,列出不等式得出 的范围【详解】 , 点 在以 , 两点为直径的圆上,该圆方程为: ,又点 在圆 上, 两圆有公共点。两圆的圆心距解得:故选:D【点睛】本题考查了圆
7、与圆的位置关系,还考查了向量垂直的数量积表示,属于中档题(湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题)14.已知直线 与圆 : 相交于 、 两点,则_【答案】【解析】【分析】明确圆 的圆心与半径,求出圆心 C到直线 的距离,进而得到弦长 ,即可得到 的值.【详解】圆 : 的圆心 C: ,半径 r=2,圆心 C到直线 的距离为 ,三角形 ABC为等边三角形, .故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查垂径定理,属于基础题.(河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题)14.已知直线 与圆 相切,则实数 _【答案】2 或 12【解析】【分析】首先将圆的方程整理为
8、标准型,然后结合直线与圆的位置关系得到关于实数 b 的方程,解方程即可求得最终结果【详解】圆的标准方程即:( x1) 2+( y1 ) 21,由题意可得圆心(1,1)到直线 3x+4y b0 的距离为 1,即: ,解得: b2 或 b12故答案为:2 或 12【点睛】本题考查了圆的标准方程,直线与圆的位置关系等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题(河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学(文)试题)15.经过点 作圆 的切线,设两个切点分别为 , ,则_【答案】【解析】【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径,进而可以求出 , ,从而求出的值,由 ,利用二倍角的正切公
9、式,可以求出 的值.【详解】圆的方程可化为 ,则圆心为 ,半径为 r=1,设 , , ,则 , .【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的性质,考查了两点间的距离公式,二倍角的正切公式,属于基础题。(福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题)14.直线 与圆 交于 两点,则 _【答案】【解析】【分析】根据题意,求得圆心到直线 点距离为 ,再由圆的弦长公式,即可求解.【详解】根据题意,圆 的圆心为 ,半径为 ,则圆心到直线 点距离为 ,则 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,以及弦长的计算,其中解答中熟记点到直线的距离公式和圆的弦长公式,准确计算是解答的关
10、键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.(福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题)9.设 为坐标原点,直线 交圆 于 , 两点,则 面积的最大值是( )A. 1 B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】本道题分别计算出三角形 OAB的底和高,结合三角形面积计算公式,计算面积最值,即可。【详解】设直线 OA和 x轴夹角为 ,则 高为 ,所以,而 ,所以 S的最大值为 2,故选 C。【点睛】本道题考查了用三角函数计算面积求最值问题,难度中等。(福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学(理科)试题)5.若直线 与曲线 有且只有一个公共点,则实数 的取值
11、范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用几何意义,当直线与半圆相切或者只有一个公共点时满足题意【详解】 表示半圆,如图所示:直线 与曲线 有且只有一个公共点, ,解得 , (舍去)代入(-1,0)可得代入(1,0 )可得结合图象,综上可得 或故选 C【点睛】本题考查了直线与半圆之间的位置关系,为满足题意中只有一个交点,则需要进行分类讨论,运用点到直线距离和点坐标代入计算出结果(安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测(一模)数学(理)试题)4.直线 与 轴的交点为 ,点 把圆 的直径分为两段,则较长一段比上较短一段的值等于 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D.
12、 5【答案】A【解析】【分析】先求出 点坐标,然后求出点 与圆心的距离,结合半径可以求出答案。【详解】令 代入 可得 ,圆心坐标为 ,则 与圆心的距离为 ,半径为 6,可知较长一段为 8,较短一段 4,则较长一段比上较短一段的值等于 2。故答案为 A.【点睛】本题考查了直线与圆的方程,圆的半径,圆心坐标,属于基础题。(辽宁省丹东市 2018 年高三模拟(二)理科数学试题)3.圆心为 的圆 与圆 相外切,则 的方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:由两圆外切得圆心距为半径和从而得解.详解:圆 ,即 .圆心为 ,半径为 3设圆 的半径为 .由两圆外切知,圆心距为 .所以 .的
13、方程为 ,展开得: .故选 D.点睛:此题主要考查解析几何中圆的标准方程,两圆的位置关系,以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能,以属于中低档题型,也是常考考点.判断两圆的位置关系,有两种方法,一是代数法,联立两圆方程,消去其中一未知数,通过对所得方程的根决断,从而可得两圆关系;一是几何法,通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较,从而可得两圆位置关系.(河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学(文)试题)16.已知双曲线 C: (a0,b0) ,圆 M: 若双曲线 C 的一条渐近线与圆 M 相切,则当 取得最小值时,C 的实轴长为 _【答案】4【解析】【分析】设渐近线方程
14、为 ,由点到直线的距离公式可得 ,则,利用导数研究函数的单调性可得 在 上递减,在上递增, 时, 有最小值,从而可得结果.【详解】设渐近线方程为 ,即 ,与 相切,所以圆心到直线的距离等于半径,时, ; 时, ,在 上递减,在 上递增,时, 有最小值,此时实轴 ,故答案为 4.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、直线与圆的位置关系以及利用导数研究函数的单调性与最值,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于难题. 解答直线与圆的位置关系的题型,主要是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系.(吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学(文)试题)8.已知圆 : 与圆 关于 轴对称
15、, 为圆 上的动点,当 到直线 的距离最小时, 的横坐标为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆 的方程为: ,过 M(3,-4)且与直线 y=x+2 垂直的直线方程为y=-x-1,代入 ,得 ,故当 Q 到直线 y=x+2 的距离最小时,Q的坐标为 (山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学(文)试题)15.已知抛物线 的准线为 与圆 相交所得弦长为 ,则_【答案】【解析】【分析】利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论;【详解】抛物线 y ax2( a 0)的准线 l: y ,圆心(3,0)到其距离为 d=.故答案为 .【点睛】本题考查抛物线的性质
16、和圆中垂径定理的应用,考查学生的计算能力,属于中档题(河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检(四)理科数学试题)1.直线 的倾斜角是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意,取得直线的斜率 ,进而可求得倾斜角,得到答案【详解】由题意得 ,故倾斜角为 .故选 B.【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角,以及三角函数的求值,其中解答中根据直线的方程,求得直线的斜率是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题(河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检(四)理科数学试题)8.已知动圆 P过定点 A(3,0),并且在定圆 B:(x3) 2y 264 的内部与定圆相
17、切,则动圆的圆心 P的轨迹是( )A. 线段 B. 直线C. 圆 D. 椭圆【答案】D【解析】【分析】设切点为 M,根据题意,列出点 P 满足的关系式即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=86则P 点的轨迹是椭圆即得解 【详解】设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M动点 P 到定点 A(3 ,0)和定圆圆心B(3 , 0)距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB |=|PM|+|PB|=|BM|=86点 P 的轨迹是以 A,B 为两焦点,半长轴为 4 的椭圆,b= = 点 P 的轨迹方程为 故答案为:D【点睛】本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨
18、迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法,应该熟练并灵活运用(湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学(文科)试题)10.过点( 0,1)的直线 被圆 所截得的弦长最短时,直线 的斜率为( )A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A【解析】试题分析:点 在 圆内,要使得过点 的直线 被圆 所截得的弦长最短,则该弦以 为中点,与圆心和 连线垂直,而圆心和 连线的斜率为 ,所以所求直线斜率为 1,故选择 A考点:直线与圆的位置关系(湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题)15.已知圆 ,圆 圆 与圆 相切,并且两圆的一条外公切线的斜
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