2019届高三上期末数学分类汇编解析（31）随机事件的概率及古典概型与几何概型

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）9.如图所示，正方形的四个顶点 ， ， ， ，及抛物线和 ，若将一个质点随机投入正方形 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【详解】 A（1，1） ， B（1，1） ， C（1，1） ， D（1，1） ，正方体的 ABCD 的面积 S224，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S2 1 dx2（ x3） 2（1 ）02 ，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 故选： B【点睛】本

2、题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）9.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 ， ， ，四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线围城的各区域上分别标有数字 ， ， ， 的四色地图符合四色定理，区域 和区域 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机

3、取一点，则恰好取在标记为 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令 B 为 1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可。【详解】A,B 只能有一个可能为 1，题目求最大，令 B 为 1，则总数有 30 个，1 号有 10个，则概率为 ，故选 C。【点睛】本道题考查了古典概型计算公式，难度较小。（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）7.如图，边长为 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B.

4、C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可【详解】如图所示，边长为 a 的正六边形，则 OAOB ABa，设小圆的圆心为 O，则 OCOA，OC a，OC a，OO a，OD a，S 阴影 12 a a （ a）2（ ）a2，S 正六边形 a2，点恰好取自阴影部分的概率 P ，故选：C【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）13.在区间 上随机取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率是_【答案】【解析】【分析】用辅助角公式

5、化简题目所给不等式，解三角不等式求得 点的取值范围，利用几何概型的概率公式求得所求的概率.【详解】由 得 ， ，故，解得 ，根据几何概型概率计算公式有概率为 .【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查三角函数辅助角公式，考查几何概型的计算，属于基础题.（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨设小正方形的边长为 1，则两个等腰直角三角

6、形的边长为 ,一个等腰直角三角形的边长为 ，两个等腰直角三角形的边长为 2，2， ，即最大正方形边长为P= ,选 B.（四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题）11.博览会安排了分别标有序号为“1 号” “2 号” “3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P 2，则（ ）A. P1P2 B. P1P 2 C. P1+P2 D. P1P 2【答案】C【解析】【分

7、析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1 ；方案二坐车可能：312、321，所以，P 1 ；所以 P1+P2故选 C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.（四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题）9.在边长为 2 的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于 1 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出满足条件的正三角形 AB

8、C 的面积，再求出满足条件正三角形 ABC 内的点到三角形的顶点 A、 B、 C 的距离均不小于 1 的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案【详解】满足条件的正三角形 ABC 如下图所示：其中正三角形 ABC 的面积 S 三角形 4满足到正三角形 ABC 的顶点 A、 B、 C 的距离至少有一个小于 1 的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为 1 的半圆，则 S 阴影 则使取到的点到三个顶点 A、 B、 C 的距离都大于 1 的概率是P 故选： A【点睛】本题考查几何概型概率公式，涉及三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于基础题（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测

9、文科数学试题）4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于 5 分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔 60 分，等待的时间不多于 5 分钟，根据几何概型的概率公式可求【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间 x，由题意可得，0x 60，等待的时间不多于 5 分钟的概率为 P ，故选：B【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）10.2002 年在北京召开的国际数学家大

10、会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） ，如果大正方形的面积为 ，直角三角形中较小的锐角为 ， ，在大正方形内取一点，则此点取自中间小正方形的概率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件得到小正方形的边长，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】大正方形的面积为 ，则正方形的边长为 ,即,则直角三角形中较短的边为 较长边为=4 ,则中间小正方形的边长为 4故点取自中间小正方形的概率为 .故选：A.【点睛】本题考查“面积型”的几何概型，解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面

11、积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分， （1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3 ）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）13.某频率分布表（样本容量为 ）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 内的频率为 ，则估计样本在 的数据个数之和是_ 分组频数【答案】【解析】【分析】根据题目所给样本在 内的频率，计算得 内数据个数，结合表格数据计算得内的数据个数

12、之和.【详解】由于样本容量为 ，故在 内的频数为 ，故在 内的数据个数之和为 .【点睛】本小题主要考查样本、频数与频率之间的关系，考查分析和解决问题的能力，属于基础题.（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）7.太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 被 的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼” ，已知小圆的半径均为 ，现在

13、大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得 的周期，得出大圆的半径，然后利用几何概型求得“点投放到“鱼眼”部分的概率”.【详解】函数 的最小正周期为 ，故大圆的直径为 ，半径为 ，故“点投放到“鱼眼”部分的概率”为 .【点睛】本小题主要考查正弦型函数的周期性，考查利用几何概型面积计算公式计算概率，属于基础题.（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）6.如图，矩形 中曲线的方程分别是 ，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用定积分计算得

14、阴影部分的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】依题意的阴影部分的面积 ，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为 ，故选 A.【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查几何概型的识别以及其概率计算公式，属于基础题.（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得两项都合格以及两项都不合格的概率，用 减去这两个概率求得恰有一项合格的概率.【详解】两项都合格的概

15、率为 ，两项都不合格的概率为 ，故恰有一项合格的概率为 .故选 D.【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算公式，考查利用补集的思想求事件的概率，属于基础题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）15.如图，圆柱 O1 O2 内接于球 O，且圆柱的高等于球 O 的半径，则从球 O 内任取一点，此点取自圆柱 O1 O2 的概率为_ ； 【答案】【解析】【分析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.【详解】设球的半径为 ，依题意可知，圆柱底面半径 ，故圆柱的体积为，而球的体积为

16、 ，故所求概率为 .【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）6.在区间 上随机取一个实数 ，使 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦函数的单调性可以求出不等式 在区间 上的解，然后由几何概型的公式求解即可。【详解】由 在区间 上单调递增，在 上单调递减，则不等式 在区间上的解为 ，

17、故 的概率为 .故选 B.【点睛】本题考查了几何概型，考查了余弦函数的单调性，属于基础题。（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）6.已知 为长方形， ， ， 为 的中点，在长方形 内随机取一点，取到的点到 的距离大于 1 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据几何概型得：取到的点到 O 的距离大于 1 的概率：.在长方形 内随机取一点，取到的点到点 的距离不大于 的概率为 .（吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题）4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各图的半径依次加 1，在靶中随机取一点，则

18、此点取自黑色部分（7 环到 9 环）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选 A.（湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题）8.在矩形 ABCD 中，AB8，AD6，若向该矩形内随机投一点 P，那么使ABP 与ADP 的面积都小于 4 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以 AB 为底边，由ABP 与ADP 的面积都小于 4，得到两个三角形的高即为 P 点到 AB 和 AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】以 AB 为底边，要使面积都小

19、于 4，由于 ABh4h4，则点 P 到 AB 的距离 h1，同样， ADd3d4，P 点到 AD 的距离要小于 ，满足条件的 P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 1 使得ABP 与ADP 的面积都小于 4 概率为：p 故选：A【点睛】本题考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题（湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 11，323，4334 等.在所有小于150 的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于 3 的概率为（ ）A. B.

20、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出所有小于 150 的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于 3 的个数即可求解。【详解】列出所有小于 150 的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有 10 种情况如下：（101,111） ， （101, 121） ， （101, 131） ， （101, 141） ，（111, 121） ， （111, 131） ， （111, 141） ， （121,131） ， （121,141） ， （131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于 3 的有：（121,131）

21、 ， （121,141） ， （131,141）共 3 种情况.两个回文数的三位数字之和均大于 3 的概率为： .故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。（安徽省淮南市 2019 届高三第一次模拟考试数学（文）试题）7.如图为我国数学家赵爽 约 3 世纪初 在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，它是由 4 个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，现向大正方形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是 时，则该黄豆落入小正方形内的概率为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由勾股定理得：设小正方形的边长为 ，大正方形的边

22、长为： ，由正方形的面积公式及几何概型中的面积型有： ，得解【详解】设小正方形的边长为 ，由每个直角三角形的两直角边之比都是 2：3，则直角三角形的两边长分别为： ，则大正方形的边长为： ，设事件 A 为“向大正方形内丢一粒黄豆，黄豆落入小正方形内” ，则 ，故选：D【点睛】本题考查了正方形的面积公式，勾股定理及几何概型中的面积型，属中档题（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷）6.某公司有包括甲、乙在内的 4 名员工参加 2018 年上海进博会的服务，这 4 名员工中 2 人被分配到食品展区，另 2 人被分配到汽车展区，若分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一展

23、区的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】基本事件总数 n 6，甲、乙两人同时被安排到同一展区的基本事件个数 m=2，由古典概型的概率计算即可【详解】有甲、乙在内 4 名员工，随机安排 2 人到食品展区，另 2 人到汽车展区的基本事件总数 n 6，甲、乙两人同时被安排到同一展区的基本事件个数 m=2，由古典概型的计算公式得概率 p 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题（广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题）5.影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁如图是一面影壁的示意图，该图形

24、是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正八边形的边长为 a，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由几何概型知概率是面积比得答案【详解】设正八边形的边长为 a，则其面积为= 中间正方形的面积为 2a2由几何概型知概率为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是 故选：A【点睛】本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题（广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题）5.我国古代数学家刘徽在九章算术中提出“割圆”之说：“割之弥细

25、，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点不落在圆内接正方形内部的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的概率公式分别求出正方形的面积和圆的面积即可【详解】设圆的半径为 ，则圆与正方形面积分别为 ， ，所以此点不落在圆内接正方形内部的概率为 ，故选：C.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据定义求出相应的面积是解决本题的关键（广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题）8.右图为中国古代刘徽的九

26、章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC=2，AC=4，在ABC 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出正方形 DEFC 的面积，再根据几何概型概率求结果.【详解】设正方形 DEFC 的边长为 ，则 ，因此所求概率为 ，选B.【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解（广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题）8.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分

27、割点，具体方法如下：（l）取线段 ，过点 作 的垂线，并 用圆规在垂线上截取 ，连接 ；（2）以 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；（3）以 为圆心，以 为半径画弧，交 于点 则点 即为线段 的黄金分割点若在线段 上随机取一点 F，则使得 的概率约为（参考数据： ）A. 0.236 B. 0.382 C. 0.472 D. 0.618【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可得 ，由图可得 ，由长度比的几何概型可得概率为的概率为 ，即可求解。【详解】由勾股定理可得 ，由图可知 ，则 ，由长度比的几何概型，可得概率为 的概率为 ，故选 A。【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中

28、正确理解题意，利用勾股定理求得 ，利用长度比求解概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。（河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题）9.如图，圆 O： 内的正弦曲线 与 x 轴围成的区域记为 图中阴影部分 ，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx 与 x轴围成的区域记为 M 的面积为 S=2 0sinxdx=2cosx| 0=4，代入几何概率的计算公式可求【详解】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积

29、为 3正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M，根据图形的对称性得：面积为 S=2 0sinxdx=2cosx| 0=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率 P=故选：B【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比（山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）6.在区间 上随机取一个数 ，

30、则 的值介于 0 到 之间的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解 得到 x 的范围，然后利用几何概型个概率公式计算即可.【详解】所有的基本事件构成的区间长度为 ，由 ，解得：，则 ，所以由几何概型的概率公式得 的值介于 0 到 之间的概率为 ，故选:D【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分， （1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.（河北省唐山市 2019 届高三下学期第

31、一次模拟考试数学（理）试题）4.算法统宗 中有一图形称为“方五斜七图” ，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 ，当内方的边长为 5 时， 外方的边长为 ， 略大于 7如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合题意可计算出 ， ，根据几何概型概率公式计算即可【详解】由题意可得 ， ，则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为 ，故选 A【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题（河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1

32、月份联考试题）8.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为 3，圆中弓形面积为（ 为弦长， 为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长 ， ，质点 随机投入此圆中，则质点 落在该弓形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用圆中弓形面积为 ,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径 ，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为 可知：弓形的面积 .设圆的半径为 ，则 ，解得 ，所以圆的面积 ，所以质点落在弓形内的概率为 ,故选 C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题

33、常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2 ）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.（河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）6.在边长为 1 的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间距离大于 1 的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在在边长为 1 的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点

34、，共有 10 种不同的取法，又由正五边形共有 5 条对角线满足两个顶点间距离大于 1，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，在在边长为 1 的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有 10 种不同的取法，又由正五边形共有 5 条对角线满足两个顶点间距离大于 1，所以所求概率为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中根据题意得到基本事件的总数，利用古典概型及概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.（河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题）14.如图， 是半径为 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点

35、，连接 ，则弦的长度不超过 的概率是_【答案】【解析】【分析】先根据题意，先找出弦 的长度不超过 对应的点，其构成的区域是点 M 两侧各 圆周，既而求得概率.【详解】根据题意，满足条件“弦 的长度不超过 ”对应的点，其构成的区域是点M 两侧各 圆周，所以弦 MN 的长度不超过 的概率是 故答案为【点睛】本题主要考查了几何概型的意义，关键是找出满足条件弦 MN 的长度不超过的图形测度，再带入公式求解.（陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）10.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有

36、一人被录取的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为 ，所以三人中至少有一人被录取的概率为 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.（广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）16.已知 ，点 的坐标为 ，则当 时，且满足的概率为_【答案】【解析】【分析】根据题意，满足|x|2 且|y|2 的点 P 在如图的正方形 ABCD 及其内部运

37、动，而满足（x2） 2+（ y2） 24 的点 P 在以 C 为圆心且半径为 2 的圆及其外部运动因此，所求概率等于阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率【详解】如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部满足（x2） 2+（y2） 24 的点位于的区域是以 C（2，2）为圆心，半径等于 2 的圆及其外部P 满足（x2） 2+（y2） 24 的概率为P1= = = 故答案为：【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来

38、描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题）5.影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分

39、析】设正八边形的边长为 a，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由几何概型知概率是面积比得答案【详解】设正八边形的边长为 a，则其面积为= 中间正方形的面积为 2a2由几何概型知概率为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是 故选：A【点睛】本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）6.若在 所围区域内随机取一点，则该点落在 所围区域内的慨率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】不等式 表示的区域面积为 ， 表示的区域的面积为 ，利用几何概型概率公式即可得出结论.【详解】不等式 表示的区域是半径为

40、 1 的圆，面积为 ，且满足不等式 表示的区域是边长为 的正方形，面积为 ，在 所围区域内随机取一点，则该点落在 所围区域内的慨率 ，故选 B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.（河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）18.进入 月份，香港大学自主招生开始报名， “五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素

41、质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前 名同学中，推荐 人参加自主招生考试，若已知名同学中有 名理科生，2 名文科生，试求这 3 人中含文科生的概率.【答案】(1) 平均值为 (2)【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从 6 人中选出 3 人，所有的可能的结果共 20 种， 含有文科学生的有 16 种，求解即可.【详解】 （1）依题意可知：，所以综合素质成绩的的平均值为 . （2）设这 名同学分别为 其中设 为文科生，从 6 人中选出 3 人，所有的可能的结果共 20 种， 其中含有文科学生的有16 种所以含文科生的概率为 .【点睛】本题

42、考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.（湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）18.随着经济的发展，个人收入的提高，自 2019 年 1 月 1 日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后）免征额 3500 元 免征额 5000 元级数 全月应纳税所得额税率（%）级数 全月应纳税所得额 税率（%）1 不超过 1500 元部分 3 1 不

43、超过 3000 元部分 32超过 1500 元至 4500 元的部分10 2超过 3000 元至 12000 元的部分103超过 4500 元至 9000 元的部分20 3超过 12000 元至 25000 元的部分20. . . . . .（1）假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于 8000 元，记 表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后 关于 的函数表达式；（2）某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）人数 30 40 10 8 7 5先从收入在 及 的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 2 人

44、作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为 7500 元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？【答案】 （1）调整前 关于 的表达式为 ，调整后关于 的表达式为（2）（3）220 元【解析】【分析】（1）对收入 的范围分类，求出对应的表达式即可。（2）列出 7 人中抽取 2 人共 21 种情况，找出不在同一收入人群的有 12 种结果，问题得解。（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为 元，小红按调整起征点后应纳个税为 元，问题得解。【详解】解：（1）调整前 关于 的表达式为 ，调整后 关于 的表达式为 .（2）由频数分布表可知从 及 的人群中按分层抽样抽取 7 人，其中中占 3 人，分别记为 ， 中占 4 人，分别记为 1，2，3，4，再从这 7 人中选 2 人的所有组合有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，12，13，14，23，24，34，共 21 种情况，其中不在同一收入人群的有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共