2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题14:直线与圆(1)(含解析)
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1、专题 14 直线与圆(1)【自主热身,归纳总结】1、 在平面直角坐标系 xOy中,已知过点 A(2,1)的圆 C与直线 xy1 相切,且圆心在直线 y2x上,则圆 C的标准方程为_【答案】: (x1) 2(y2) 22 解法 1(几何法) 点 A(2,1)在直线 xy1 上,故点 A是切点过点 A(2,1)与直线 xy10 垂直的直线方程为 xy3,由 解得 所以圆心 C(1,2)x y 3,y 2x, ) x 1,y 2, )又 AC ,( 2 1) 2 ( 1 2) 2 2所以圆 C的标准方程为(x1) 2(y2) 22.2、 在平面直角坐标系 xOy中,直线 x2 y30 被圆( x2)
2、 2( y1) 24 截得的弦长为 【答案】: .2555【解析】 圆心为(2,1),半径 r2.圆心到直线的距离 d ,|2 2 1 3|1 4 355所以弦长为 2 2 .r2 d222 355 2 25553、 若直 线 与圆 始终有公共点,则实数 m的取值范围是 【答案】:0 m10.【解析】 因为 ,所以由题意得: ,化简得 5即 0 m10.4、 在平面直角坐标系 xOy中,以点 )0,1(为圆心且与直线 ( R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 【答案】:( x1) 2 y22.【解析】 由直线 mx y2 m10 得 m(x2)( y1)0,故直线过点(2,1)当切线与
3、过(1,0),(2,1)两点的直线垂直时,圆的半径最大,此时有 r ,故所求圆的标准方程为( x1)1 1 22 y22.5、圆心在抛物线 y x2上,并且和该抛物线的准线及 y轴都相切的圆的标准方程为_12【 答案】: ( x1)2 21 (y12)思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径,根据圆与抛物线的准线以及与 y轴都相切,得到圆心的一个等式,再根据圆心在抛物线上,得到另一个等式,从而可求出圆心的坐标,由此可得半径因为圆心在抛物线 y x2上,所以设圆心为( a, b),则 a22 b.又圆与抛物线的准线及 y轴都相切,故12b | a| r,由此解得 a1, b , r1,所以所
4、求圆的方程为( x1)2 21.12 12 (y 12)解后反思 凡涉及抛物线上点到焦 点的距离或到准线的距离时,一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理,本题中充分运用抛物线定义实施转化,其关键在于求圆心的坐标6、在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 C1:( x4) 2( y8) 21,圆 C2:( x6) 2( y6) 29,若圆心在x轴上的圆 C同时平分圆 C1和圆 C2的圆周,则圆 C的方程是_7、. 在平面直角坐标系 xOy中,已知过点 M(1,1)的直线 l与圆( x1) 2( y2) 25 相切,且与直线ax y10 垂直,则实数 a_.【答案】: 12思路分析 可
5、用过圆上一点的切线方程求解;也可用垂直条件,设切线方程( x1) a(y1)0,再令圆心到切线的距离等于半径因为点 M在圆上,所以切线方程为(11)( x1)(12)( y2)5,即 2x y10.由两直线的法向量(2,1)与( a,1)垂直,得 2a10,即 a .12思想根源 以圆( x a)2( y b)2 r2上一点 T(x0, y0)为切点的切线方程为( x0 a)(x a)( y0 b)(y b) r2.8、 若直线 l1: y x a和直线 l2: y x b将圆( x1) 2( y2) 28 分成长度相等的四段弧,则a2 b2_.【答案】: 18 9、 若直线 3x4ym0 与
6、圆 x2y 22x4y40 始终有公共点,则实数 m的取值范围是_【答案】: 0,10【解析】: 圆的标准方程为( x1) 2( y2) 21,故圆心到直线距离 d 1.| 3 8 m|32 42即| m5|5,解得 0 m10.10、在平面直角坐标系 xOy中,过点 P(2,0)的直线与圆 x2 y21 相切于点 T,与圆( x a)2( y )323 相交于点 R, S,且 PT RS,则正数 a的值为_【答案】: 4【解析】: 因为 PT与圆 x2 y21 相切于点 T,所以在 Rt OPT中, OT1, OP2, OTP ,从而2 OPT , PT ,故直线 PT的方程为 x y20,
7、因为直线 PT截圆( x a)2( y )23 得弦长6 3 3 3RS ,设圆心到直线的距离为 d,则 d ,又 2 ,即 d ,即| a32|3,解3|a3 2|2 3 3 d2 32得 a8,2,4,因为 a0,所以 a4.11、定义:点 0(,)Mxy到直线 的有向距离为 已知点 (1,0)A,(1,0)B,直线 m过点 3,P,若圆 上存在一点 C,使得 ,B三点到直线 m的有向距离之和为 0,则直线 l的斜率的取值范围为 【答案】: (,4【思路分析】由“ ,ABC三点到直线 m的有向距离之和为 0”知,动点 C在一条直线上,又因为点 C在圆上,故问题转化为该直线与圆有公共点,此时
8、圆心 (0,18)到该直线的距离小于等于半径 9.【解析】:设直线 m的斜率为 k,则直线 m的方程为 (3)ykx,即 ,设点 0(,)Cxy,则点 ,ABC三点到直线 的有向距离分别为 , ,由 得,即 ,又因为点在 C圆上,故,即 34k.12、 已知圆 O: x2 y24,若不过原点 O的直线 l与圆 O交于 P, Q两点,且满足直线 OP, PQ, OQ的斜率依次成等比数列,则直线 l的斜率为_【答案】: 1 思路分析 由直线 PQ的方程与圆的方程联立成方程组,将点 P, Q的坐标用直线方程中的参数 k, b表示出来,进而将 OP, OQ的斜率用 k, b表示,再根据 OP, PQ,
9、 OQ的斜率成等比数列求出 k的值当直线 PQ垂直于 x轴时,显然不成立,所以设直线 PQ为 y kx b(b0),将它与圆方程联立并消去 y得(k21) x22 kbx b240,设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1x2 , x1 x2 ,因为b2 4k2 1 2kbk2 1y1y2( kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2 k2 b2 ,故b2 4k2 1 2k2b2k2 1 4k2 b2k2 1kOPkOQ k2,即 b2(k21)0,因为 b0,所以 k21,即 k1. y1y2x1x2 4k2 b2b2 4解后反思 本题可推广到椭圆中:已
10、知椭圆 C: 1( ab0),若不过原点 O的直线 l与椭圆 C交于x2a2 y2b2P, Q两点,且满足直线 OP, PQ, OQ的斜率依次成等比数列,则直线 l的斜率为 .ba13、已知线段 AB的长为 2,动点 C满足 ( 1.当两圆外切或外离时, OB1 ,解得 ;圆 B内切或内含 112 34于圆 C时, OB1 ,解得 (舍),故负数 的最大值是 . 112 54 34【问题探究,变式训练】 例 1、已知圆 C:( x a)2( y a)21( a0)与直线 y3 x相交于 P, Q两点,则当 CPQ的面积最大时,实数 a的值为_【答案】52【解析】: 因为 CPQ的面积等于 si
11、n PCQ,所以当 PCQ90时, CPQ的面积最大,此时圆心到12直线 y3 x的距离为 ,因此 ,解得 a .22 22 |3a a|10 52【变式 1】 、. 已知直线 l过点 P(1,2)且与圆 C: x2 y22 相交于 A, B两点, ABC的面积为 1,则直线l的方程为_【答案】3 x4 y50 或 x1当直线斜率存在时,设直线的方程为 y k(x1)2,即 kx y k20.因为S CACBsin ACB1,所以 sin ACB1,所以 sin ACB1,即 sin ACB90,所以12 122 2圆心 C到直线 AB的距离为 1,所以 1,解得 k ,所以直线方程为 3x4
12、 y50;当直线斜率| k 2|k2 1 34不存在时,直线方程为 x1,经检验符合题意综上所述,直线方程为 3x4 y50 或 x1.【变式 2】 、在平面直角坐标系 xOy中,圆 C1:( x1) 2 y22,圆 C2:( x m)2( y m)2 m2,若圆 C2上存在点 P满足:过点 P向圆 C1作两条切线 PA, PB,切点为 A, B, ABP的面积为 1,则正数 m的取值范围是_【答案】: 1, 3 23注意到ABP 的面积是定值,从而点 P的位置应该具有某种确定性,故首先由ABP 的面积来确思 路 分 析定点 P所满足的条件,进而将问题转化为以 C1为圆心的圆与以 C2为圆心的
13、圆有公共点的问题来加以处理如图,设 P(x,y),设 PA,PB 的夹角为 2.ABP 的面积 S PA2sin2PA 2sin cosPA 2 1,即 PA3PC PA 22,解得12 2PC1 PAPC1 2 21PA ,2所以 PC12,所以点 P在圆(x1) 2y 24 上所以 m2,解得 1m32 .|m 2| m 1 2 m 2 3本题的本质是两个圆的位置关系问题,要解 决这个问题,首先要确定点 P所满足的条件,为此,解 后 反 思由ABP 的面积来确定点 P所满足的条件是解决本题的关键所在【变式 3】 、已知点 A(1,0)和点 B(0,1),若圆 x2y 24x2yt0 上恰有
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