江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题05:不等式问题
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1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 1 专题 5:不等式问题 目录 问题归类篇 . 2 类型一 : 解不等式 . 2 类型二 :不等式恒成立 . 3 类型三 :基本不等式 . 5 类型四 : f(x) x ax型函数 7 类型五 : f(x) ax2 bx cdx e (或 f(x)dx eax2 bx c)型 8 类型六 : 线性规划 . 10 综合应用篇 . 12 一、例题分析 . 12 二 、反馈巩固 . 13 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 2 问题归类篇 类型一 : 解不等式 一 、前测 回顾 1 解下列不等式 : (1) 3x2 4x 4 0 (2)
2、 2 xx 1 2 (3) 4x 3 2x 12 8 0 ( 4) ax2 ax 1 0 答案: (1)( 23, 2); (2) ( , 4 ( 1, ); (3)( , 52; (4) 当 0 a 4 时,解集为 ;当 a 4 时, a a2 4a2a xa a2 4a2a ; 当 a 0 时, x a a2 4a2a 或 xa a2 4a2a 二、方法联想 一元二次不等式 从四个方面考虑 : (1)二次项系数为 0 和正负情况 ; (2)二次方程根是否存在情况 (优先用十字相乘法求根 ); (3)二次方程根的大小情况 ; (4)二次不等式的不等号方向 分式不等式 (1) f(x)g(x)
3、 0 等价于 f(x)g(x) 0; f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0 (2) f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0,g(x) 0; f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0,g(x) 0 三、 方法应用 例 1. 已知函数 f(x) |x| |x 4|,则不等式 f(x2 2) f(x)的解集用区间表示为 _ 答案 ( , 2) ( 2, ) 思路分析 作出函数 f(x) |x| |x 4|的图像,通过函数的图像并结合单调性,得出关于 x 的不等式组,解得 x的取值范围 函数 f(x)的图像如图 , 知图像关于直线 x 2 对称 因为 x2 2 0
4、且 f(x2 2) f(x), 则必有 x2 2 4,x2 2 x,4 x2 2 x,即 x2 2,x2 x 2 0,x2 x 2 0,解得 x ( , 2) ( 2, ) 解后反思 本题主要考查分段函数的图像和性质、一元二次不等式等基础知识,考查数形结合、分类讨论等思想及运算求解能力 例 2. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 , 当 x 0 时 , f(x) x2 4x, 则不等式 f(x) x 的解集为_ 答案 ( 5,0) (5, ) 解法 1 不等式 f(x) x 的解集 , 即为函 数 y f(x)图像在函数 y x 图像上方部分 x 的取值范围 因为函数 f(x)和 y
5、 x 都是 R 上的奇函数 , 且方程 f(x) x 的根为 5 ,0, 由图像知 , 不等式 f(x) x 的解集为 ( 5,0)南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 3 (5, ) 解法 2 令 x 0, 则 x 0, 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 , 所以 f(x) f( x) ( x)2 4(x) x2 4x.要使 f(x) x, 则 x 0,x2 4x x 或 x 0, x2 4x x 或 x 0,0 x, 解得 5 x 0 或 x 5, 所以不等式 f(x) x 的解集为 ( 5,0) (5, ) 四 、归类巩固 *1、 设 0 ,不等式 28 (8 s
6、in ) c o s 2 0xx 对 xR 恒成立 ,则 的取值范围为 _. (一元二次不等式恒成立 ) 答案: ,656,0 *2、 已知实数 a, b, c满足 a b c 0, a2 b2 c2 1,则 a的最大值是 _ 答案: 36 (判别式法 ) 类型二 :不等式恒成立 一 、前测 回顾 1 若对任意 x R, 都有 (m 2)x2 2(m 2)x 4 0 恒成立 , 则实数 m 的取值范围是 2 若对任意 x 0, 都有 mx2 2x 1 0 恒成立 , 则实数 m 的取值范围是 3 若对任意 1 m 1, 都有 mx2 2x 1 m 0 恒成立 , 则实数 x 的取值范围是 答案
7、: (1)( 2, 2; (2)( , 0; (3)( 3 1, 2) 二、方法联想 恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 方法 1 结合二次函数图象分析 方法 2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题 若关于 x 的不等式 ax b 0 对任意 x m, n上恒成立 , 则 f(m) 0,f(n) 0; 若关于 x 的不等式 ax b 0 对任意 x m, n上恒成立 , 则 f(m) 0,f(n) 0 三、 方法应用 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 4 例 (2017 全国卷 ) 设函数 f(x) (1 x2)ex (1)讨论 f(x)的单调性 ; (2)当 x 0
8、时 , f(x) ax 1, 求 a 的取值范围 解 :(1)f (x) (1 2x x2)ex 令 f (x) 0, 得 x 1 2或 x 1 2 当 x ( , 1 2)时 , f (x) 0; 当 x ( 1 2, 1 2)时 , f (x) 0; 当 x ( 1 2, )时 , f (x) 0 所以 f(x)在 ( , 1 2), ( 1 2, )上单调递减 , 在 ( 1 2, 1 2)上单调递增 (2)f(x) (1 x)(1 x)ex 当 a 1 时 , 设函数 h(x) (1 x)ex, 则 h (x) xex 0(x 0), 因此 h(x)在 0, )上单调递减 , 而h(0
9、) 1, 故 h(x) 1, 所以 f(x) (x 1)h(x) x 1 ax 1 当 0 a 1 时 , 设函数 g(x) ex x 1, 则 g (x) ex 1 0(x 0), 所以 g(x)在 0, )上单调递增 ,而 g(0) 0, 故 ex x 1 当 0 x 1 时 , f(x) (1 x)(1 x)2, (1 x)(1 x)2 ax 1 x(1 a x x2), 取 x0 5 4a 12 , 则x0 (0, 1), (1 x0)(1 x0)2 ax0 1 0, 故 f(x0) ax0 1 当 a 0 时 , 取 x0 5 12 , 则 x0 (0, 1), f(x0) (1 x
10、0)(1 x0)2 1 ax0 1 综上 , a 的取值范围是 1, ) 四 、 归类巩固 *1、 已知当 x (0, +)时,不等式 9x-m3 x+m+10恒成立,求实数 m的取值范围 . 答案: m0, b0, a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为 . 解答: 3 2 *2、 若不等式 x2 2xya(x2 y2)对于一切正数 x, y恒成立,则实数 a的最小值为 _ (结构特征 ,消元 ) 答案:215*3.若正实数 yx, 满足 xyyx 62 ,则 xy 的最小值是 ; (考查基本不等式 ) 答案 )0,( *4已知 f(x) 32x (k 1)3x 2,当 x R 时,若
11、f(x)恒为正值,则 k 的取值范围是 _; (考查不等式恒成立 ). 答案 ( , 1 2 2) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 7 *5已知二次函数 f(x) ax2 2x c(x R)的值域为 0, ),则 a 1c c 1a 的最小值为_; (考查函数 性质应用 ,基本不等式 ). 答案 4 类型四 : f(x) x ax型函数 一 、前测 回顾 求下列函数的值域 : (1)y x2 5x2 4; (2)f(x) xax, x 1, 2 答案: (1)52; (2)当 a 1 时,值域为 1 a, 2 a2,当 1 a 2 时,值域为 2 a, 2 a2, 当 2 a
12、 4 值域为 2 a, 1 a,当 a 4 时,值域为 2 a2, 1 a 二、方法联想 对于 f(x) x ax, 当 a 0 时 , f(x)在 ( , 0), (0, )为增函数 ; 当 a 0 时 , f(x)在 ( , a), ( a, )为增函数 ; 在 ( a, 0), (0, a)为减函数 注意 在解答题中利用函数 f(x) x ax的单调性 时 , 需要利用导数进行证明 三、 方法应 用 例 . 若实数 x, y 满足 xy 3x 3 0 x 12 , 则 3x 1y 3的最小值为 _ 答案 8 解法 1 因为实数 x, y 满足 xy 3x 3 0 x 12 , 所以 y
13、3x 3(y 3), 所以 3x 1y 3 y 3 1y 3 y 3 1y 3 6 2 y 3 1y 3 6 8, 当且仅当 y 3 1y 3, 即 y 4时取等号 , 此时 x 37, 所以 3x 1y 3的最小值为 8. 解法 2 因为实数 x, y 满足 xy 3x 3 0 x 12 , 所以 y 3x 3(y 3), y 3 3x 6 0, 所以 3x 1y 3 3x 13x 6 3x 6 13x 6 6 2 3x 6 13x 6 6 8, 当且仅当 3x 6 13x 6, 即 x 37时取等号 , 此时 y 4, 所以 3x 1y 3的最小值为 8. 四 、归类巩固 南京市 2019
14、 届高三 数学 二轮专题复习资料 8 *1、若函数 222)( xx axf的值域为 ,0 ,则实数 a 的取值范围是 . 答案: 1, (问题转化 ) *2、 设 k0,若关于 x的不等式 kx+ 4x-15在 (1, +)上恒成立,则 k的最小值为 . 答案: 1 类型五 : f(x) ax2 bx cdx e (或 f(x)dx eax2 bx c)型 一 、前测 回顾 求下列函数的值域 : (1)y x2 2x 22x 1 (x12) (2)y x 1x2 x 2(x 1) 答案: (1) 5 12 , ); (2) 12, 0) 二、方法联想 令 dx e t 进行换元 (即将二次部
15、分用一次部分表示 ), 转化为 f(x) x ax型函数问题 三、 方法应用 例 .如图,某机械厂要将长 6 m,宽 2 m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪已知点 F 为 AD 的中点,点 E在边 BC 上,裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处 (点 C, D 分别落在直线 BC 下方点 M,N 处, FN 交边 BC 于点 P),再沿直线 PE 裁剪 (1) 当 EFP 4时,试判断四边形 MNPE 的形状,并求其面积; (2) 若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由 解答 (1) 当 EFP 4时 , 由条件得 EFP EFD FE
16、P 4. 所以 FPE 2.所以 FN BC, 四边形 MNPE 为矩形 (3分 ) 所以四边形 MNPE 的面积 S PNMN 2(m2). (5分 ) (2) 解法 1 设 EFD 0 2 , 由条件 , 知 EFP EFD FEP . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 9 所以 PF 2sin 2 2sin2, NP NF PF 3 2sin2, ME 3 2tan.(8分 ) 由 3 2sin2 0,3 2tan 0,0 2,得 sin2 23,tan 23,0 2.(*) 所以四边形 MNPE 面积为 S 12(NP ME)MN 12 3 2sin2 3 2tan 2
17、 6 2tan 2sin2 6 2tan 2sin2 cos22sincos 6 tan 3tan (12分 ) 6 2 tan 3tan 6 2 3. 当且仅当 tan 3tan, 即 tan 3, 3时取 “ ” (14分 ) 此时 , (*)成立 答 : 当 EFD 3时 , 沿直线 PE 裁剪 , 四边形 MNPE 面积最大 , 最大值为 (6 2 3) m2.(16分 ) 解法 2 设 BE t,3 t 6, 则 ME 6 t. 因为 EFP EFD FEP, 所以 PE PF, 即 t BP 3 BP2 22. 所以 BP 13 t223 t, NP 3 PF 3 PE 3 (t
18、BP) 3 t13 t223 t.(8分 ) 由 3 t 6,13 t223 t 0,3 t 13 t223 t 0,得 3 t 6,t 13,t2 12t 31 0.(*) 所以四边形 MNPE 面积为 S 12(NP ME)MN 12 3 t 13 t26 2t 6 t 2 3t2 30t 6723 t (12分 ) 6 32t 3 2t 3 6 2 3. 当且仅当 32(t 3) 2t 3, 即 t 3 43 3 2 33 时取 “ ” (14分 ) 此时 , (*)成立 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 10 答 : 当点 E 距点 B 3 2 33 m 时 , 沿直线
19、 PE 裁剪 , 四边形 MNPE 面积最大 , 最大值为 (6 2 3) m2. 四 、归 类巩固 *1、 已知 x52,求 f(x) x2 4x 52x 4 最小值 答案: 14 *2、若不等式 )(3 22 babba 对任意 Rba , 恒成立 ,则实数 的最大值为 . (结构特征 ,消元 ) 答案: 2 类型六 : 线性规划 一 、前测 回顾 1 设 x, y 满足约束条件x 4y 33x 5y 25x 1, 则 (1) z x 2y 的最小值为 ; (2)z 2x y 的最大值为 ; (3) z x2 2x y2 的最大值为 ; (4) z yx 4的最大值为 答案: (1)3;
20、(2)8; (3)39; (4)2225 二、方法联想 利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值 三、 方法应用 例 1. 已知点 P 是 ABC 内一点 (不包括边界 ),且 AP mAB nAC , m, n R,则 (m 2)2 (n 2)2 的取值范围是 _ 答案 92, 8 思路分析 注意到点 P是 ABC内一点 (不包括边界 ),且 AP mAB nAC , m, n R,所以 m, n满足条件 m 0,n 0,m n 1,因此,本题的本质就是在约束条件下求目标式 (m 2)2 (n 2)2的取值范围,而 (m 2)2 (n 2)2表示的是区域内的动点
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