江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题07：导数及其应用

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1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 1 页 共 53 页 专题 7：导数及其应用 目录 问题归类篇 . 2 类型一： 切线方程 . 2 类型二 利用导数研究函数的单调性问题 : 6 类型三：函数极值与最值 . 13 类型四：不等式恒成立问题 . 24 类型五：方程有解（或解的个数）问题 . 33 综合应用篇 . 41 一、例题分析 . 41 二、反馈巩固 . 45 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 2 页 共 53 页 问题 归类 篇 类型一： 切线方程 一、前测回顾 1曲线 y x3 上在点 ( 1， 1)的切线方程为 答案： y 3x 2 解析：

2、y 3x2，则切线的斜率是 3( 1)2，再利用点斜式 求出切线方程 2 曲线 y x3 3x2 2x 过点 (0， 0)的切线方程为 答案： y 2x 或 y 14x 解析： y 3x2 6x 2，设切点为（ x0， x03 3x02 2x0） ， 则切线的斜率为 3x02 6x0 2 切线方程为 y (x03 3x02 2x0) (3x02 6x0 2)(x x0)，（ 0， 0）代入，得 x0的值，从而得到切线方程 二、方法联想 涉及函数图象的 切线问题 ： 如果已知切点 ，则 利用切 点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再 利用已知条件 注意： (1)“在 ”与

3、 “过 ”的区别： “在 ”表示该点为切点， “过 ”表示该点不一定为切点 (2)切点的三个作用： 求切线斜率； 切点在切线上； 切点在曲线上 三、 方法应用 例 1 （ 2018 全国新课标 文、理） 设函数 f(x) x3 (a 1)x2 ax若 f(x)为奇函数，则曲线 y f(x) 在点 (0， 0)处的切线方程为 答案： y x. 解析 ： f(x)为奇函数， f( x) f(x)，即 a 1， f(x) x3 x， f (0) 1， 切线方程为 y x. 例 2 （ 2018无锡期末） 已知函数 f(x) ex(3x 2)，求过点 (2， 0)与 函数 y f(x)的图像相切的直线

4、方程 ； 解析： 设切点为 (x0， y0)， f(x) ex(3x 1)， 则切线斜率为 ex0(3x0 1)， 所以切线方程为 y y0 ex0(3x0 1)(x x0)， 因为切线过 (2， 0)， 所以 ex0(3x0 2) ex0(3x0 1)(2 x0)， 化简得 3x02 8x0 0， 解得 x0 0， 83. 当 x0 0 时 ， 切线方程为 y x 2， 当 x0 83时 ， 切线方程为 y 9e83x 18e83. 例 3 （ 2014 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax2 bx (a， b 为常数 )过点 P(2, 5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线

5、 7x 2y 3 0 平行，则 a b 的值是 答案： 3 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 3 页 共 53 页 解析：由题意可得 5 4a b2 ， 又 f(x) 2ax bx2，过点 P(2, 5)的切线的斜率 4a b4 72 ，由解得 a 1， b 2，所以 a b 3 例 4、 已知函数 f(x) 2x3 3x，若过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y f(x)相切，求 t 的取值范围 答案： t ( 3， 1) 解：设切点坐标 (x0， y0)，切线斜率为 k ，则有 y0 2x30 3x0k f(x0) 6x20 3 切线方程为： y (2x30

6、3x0) (6x20 3)(x x0) 因为切线过 P(1， t)，所以将 P(1， t)代入直线方程可得： t (2x30 3x0) (6x20 3)(1 x0) t (6x20 3)(1 x0) (2x30 3x0) 6x20 3 6x30 3x0 2x30 3x0 4x30 6x20 3 所以问题等价于方程 t 4x30 6x20 3，令 g(x) 4x3 6x2 3 即直线 y t 与 g(x) 4x3 6x2 3 有三个不同交点 g(x) 12x2 12x 12x(x 1) 令 g(x) 0 解得 0 x 1 所以 g(x)在 ( ， 0)， (1， )单调递减，在 (0， 1)单调

7、递增 g(x) g(1) 1， g(x) g(0) 3 所以若有三个交点，则 t ( 3， 1) 所以当 t ( 3， 1)时，过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y f(x)相切 四、 归类巩固 *1 若曲线 y 12x b 是曲线 y lnx (x 0)的一条切线，则实数 b 的值为 . (已知切线方程 求参数值 ) 答案： ln2 1， *2 已知函数 f(x) ax3 x 1 的图象在点 (1， f(1)处的切线过点 (2,7)，则 a _. （已知切线 过定 点 ，求参数 ） 答案： 1 解析：由题意可得 f(x) 3ax2 1， f(1) 3a 1， 又 f(1) a 2，

8、 f(x) ax3 x 1 的图象在点 (1， f(1)处的切线方程为 y (a 2) (3a 1)(x 1)，又此切线过点 (2,7)， 7 (a 2) (3a 1)(2 1)，解得 a 1. *3 函数 f(x) alnx bx2 上一点 P(2， f(2)处的切线方程为 y 3x 2ln2 2，求 a， b 的值 （已知切线方程求参数） 答案： a 2， b 1， *4.（ 2018南京盐城期末 20） 设函数 f(x) lnx， g(x) ax bx (a,b R） ,若函数 f(x)与 g(x)的图象在 x1 处有相同的切线，求 a， b 的值 （已知两曲线的公共切线，求 参数 ）

9、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 4 页 共 53 页 答案： a 12， b 12 *5 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与曲线 y x2(x 0)和 y x3(x 0)均相切， 切点分别为 A(x1， y1)和 B(x2， y2),则 x1x2的值是 （已知两曲线的公共切线，求切点） 答案 43 解析：由题设函数 y x2 在 A(x1， y1)处的切线方程为： y 2x1 x x12， 函数 y x3 在 B(x2， y2)处的切线方程为 y 3 x22 x 2x23 所以 2x1 3x22x12 2x23 ，解之得： x13227， x289 所以 x1x

10、2 43 *6若存在过点 (1， 0)的直线与曲线 y x3 和 y ax2 154 x 9 都相切，求 a 的值 (已知公切线，求参数的值 ) 答案： 2564或 1 解析：设 曲线 y x3 的切点 (x0， x30)，则切线方程为 y x30 3x20 (x x0)， 切线 过点 (1， 0)，所以 x30 3x20 (1 x0)，所以 x0 0 或 x0 32， 则切线为 y 0 或 y 274 x 274 ， 由 y 0 与 y ax2 154 x 9 相切，则 ax2 154 x 9 0，所以 a 0 且 0； 由或 y 274 x 274 与 y ax2 154 x 9 相切，则

11、 ax2 154 x 9 274 x 274 ，所以 a 0 且 0。 解得 a 的值 为 2564或 1 *7 （ 2015 新课标 2）已知曲线 y x lnx 在点 (1,1)处的切线与曲线 y ax2 (a 2)x 1 相切，则 a （已知切线方程求参数） 答案： 8 解析 ： y 1 1x， y|x 1 2， y x lnx 在点 (1， 1)处的切线方程为 y 1 2(x 1)， y 2x 1，又切线与曲线 y ax2 (a 2)x 1 相切，当 a 0 时， y 2x 1 与 y 2x 1 平行，故 a 0 y 2ax (a 2)， 令 2ax a 2 2 得 x 12，代入 y

12、 2x 1，得 y 2， 点 ( 12， 2)在 yax2 (a 2)x 1 的图象上，故 2 a ( 12)2 (a 2) ( 12) 1， a 8 *8 曲线 y 1x(x 0)与曲线 y lnx 公切线（切线相同）的条数为 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 5 页 共 53 页 （求两曲线的公切线条数） 答案： 1 *9 设直线 l1， l2 分别是函数 f(x)= ln , 0 1,ln , 1,xxxx 图象上点 P1， P2 处的切线， l1 与 l2 垂直相交于点P，且 l1， l2 分别与 y 轴相交于点 A， B，则 PAB 的面积的取值范围是 （已

13、知切线 的位置关系，求 参数 的数量关系及范围 ） 答案 ： (0,1) 解析 ： 设 1 1 1 2 2 2, ln , , lnP x x P x x（不妨设 121 , 0 1xx ），则由导数的几何意义易得切线12,ll的斜率分别为 121211,.kkxx 由已知得 1 2 1 2 2111 , 1 , .k k x x x x 切线 1l 的方程分别为 1111lny x x xx ，切线 2l 的方程为 2221lny x x xx ，即11 11lny x x x x .分别令 0x 得 110 , 1 l n , 0 , 1 l n .A x B x 又 1l 与 2l 的交

14、点为 21112221, ln11xxPx，1 1x ， 21122211 12 1 1P A B A B P xxS y y x ， 01PABS *10.（ 2018苏北四市期末 19） 已知函数 2( ) 1 ( ) l n ( )f x x a x g x x a a R， 若存在与函数f(x)， g(x)的图象都相切的直线，求实数 a 的取值范围 （已知 公 切线 ，利用零点存在性定理，求参数取值范围 ） 解析： 设 函数 f(x)上 点 (x1， f(x1)与 函数 g(x)上 点 (x2， g(x2)处切线相同， 则 f(x1) g(x2) f(x1) g(x2)x1 x2所以

15、2x1 a 1x2 x12 ax1 1 (lnx2 a)x1 x2 所以 x1 12x2 a2，代入 x1 x2x2 x12 ax1 1 (lnx2 a)得： 14x22a2x2 lnx2a24 a 2 0(*) 设 F(x) 14x2 a2x lnx a24 a 2，则 F(x)12x3a2x21x2x2 ax 12x3 不妨设 2x02 ax0 1 0(x0 0)则当 0 x x0 时， F(x) 0， 当 x x0 时， F(x) 0 所以 F(x)在区间 (0， x0)上单调递减，在区间 (x0， )上单调递增， 代入 a 1 2x02x0 1x0 2x0 可得： F(x)min F(

16、x0) x02 2x0 1x0 lnx0 2 设 G(x) x2 2x 1x lnx 2，则 G(x) 2x 2 1x2 1x 0 对 x 0 恒成立， 所以 G(x)在区间 (0， )上单调递增，又 G(1) 0 所以当 0 x 1 时 G(x) 0，即当 0 x0 1 时 F(x0) 0, 又当 x ea 2 时 F(x) 14e2a 4 a2ea 2 lnea 2 a24 a 2 14( 1ea 2 a)2 0 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 6 页 共 53 页 因此当 0 x0 1 时，函数 F(x)必有零点；即当 0 x0 1 时，必存在 x2 使得 (*)

17、成立； 即存在 x1， x2 使得 函数 f(x)上 点 (x1， f(x1)与 函数 g(x)上 点 (x2， g(x2)处切线相同 又由 y 1x 2x 得： y 1x2 2 0 所以 y 1x 2x(0， 1)单调递减，因此 a 1 2x02x0 1x0 2x0 1 ) 所以 实数 a 的取值范围是 1， ) 类型二 利用导数研究函数的单调性问题 : 一、前测回顾 1已知函数 f(x) kx3 3(k 1)x2 k2 1(k0)， (1)若函数 f(x)的单调递减区间是 (0,4)，则实数 k 的值为 _； (2)若在 (0,4)上为减函数，则实数 k 的取值范围是 _ 答案： (1)1

18、3 (2) 0， 13 解析 ： (1)f(x) 3kx2 6(k 1)x，由题意知 f(4) 0，解得 k 13，检验符合 . (2)由 f(x) 3kx2 6(k 1)x， 由题意知 f(4)0 ，解得 k 13， 又 k0，故 0 14时 ， 由 f(x) 0 得 x1 1 1 4a2 ， x2 1 1 4a2 ， 若 14x20， 由 f(x)x1； 由 f(x)0， 得 x20， 则 x10x2， 由 f(x)x1；由 f(x)0， 得 0f(x)恒成立，若 x10，所以 g(x)单调递增，当 x1 12时， (a 1)2 a 2 0，则 120， 故 f(x)在区间 ( ， 0)上

19、是单调递增 当 a0 时 ， x ( ， a)， f (x)0， 所以 f(x)在区间 ( ， a)上是单调递增； x ( a， 0)， f(x)0 时 ， f(x)单调增区间为 ( ， a)， (a， )， 单调减区间为 ( a， 0)， (0， a) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 11 页 共 53 页 *9.设函数 f(x) lnx， g(x) ax a 1x 3（ a R） 求函数 (x) f(x) g(x)的单调增区间 。 （考查函数单调性 的讨论 ) 解析 ： 因为 (x) f(x) g(x) lnx ax a 1x 3 (x 0)， 所以 (x) 1x

20、a a 1x2 ax2 x (a 1)x2 (ax (a 1)(x 1)x2 （ x 0） 当 a 0 时，由 (x) 0，解得 x 0； 当 a 1 时，由 (x) 0，解得 x a 1a ； 当 0 a 1 时，由 (x) 0，解得 x 0； 当 a 1 时，由 (x) 0，解得 x 0； 当 a 0 时，由 (x) 0，解得 0 x a 1a 所以 ，当 a 0 时， 函数 (x)的 单调 增区间为 (0， a 1a )； 当 0 a 1 时， 函数 (x)的 单调 增区间为 (0， )； 当 a 1 时， 函数 (x)的 单调 增区间为 (a 1a ， ) *10 (15 年高考题 )

21、.已知函数 f(x) x3 ax2 b(a， b R)， 试讨论 f(x)的单调性 （考查函数单调性的讨论 ) 解析 ： (1) f(x) 3x2 2ax， 令 f(x) 0， 解得 x1 0， x2 2a3 . 当 a 0 时 ， 因为 f(x) 3x20(x 0)， 所以函数 f(x)在 ( ， )上单调递增； 当 a0 时 ， x ， 2a3 (0， )时 ， f (x)0， x 2a3 ， 0 时 ， f (x)0， x 0， 2a3 时 ， f (x)0， 求函数 f(x)的单调区间； (2) 设函数 g(x) f(x) 2x， 且 g(x)在区间 ( 2， 1)内存在单调递减区间

22、， 求实数 a 的取值范围 解： (1) 由已知得 f(x) x2 ax x(x a)(a0) 当 x ( ， 0)时， f(x)0； 当 x (0， a)时， f(x)0. 所以函数 f(x)的单调增区间为 ( ， 0)， (a， )，单调减区间为 (0， a) (2) g(x) x2 ax 2，依题意，存在 x ( 2， 1)， 使不等式 g(x) x2 ax 20 时，实数 b 的最小值是_ 答案： 1 解析： 不妨设切点 P(x0， y0)， 则 f (x0) ax0 1， x0 a， 从而 y0 a b， y0 alna， 即有 b alna a， a0.又令 b (a) lna 0

23、， 解得 a 1， 当 a 1 时 ， b 取得最小值 1. 3. 函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x 1 时有极值 10，那么 a b 的值分别为 _. 答案： 15 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 14 页 共 53 页 4. 已知函数 f(x) lnx mx (m R)在区间 1,e上的最小值为 4，则 m 答案： 3e 5. 已知函数 f(x) ax2 lnx 1(a R)， 求 f(x)在 1， e上的最小值 解析： 解： f (x) 2ax 1x 2ax2 1x ， 当 a 0 时， f (x) 0， f(x)在 1， e上 为减函数，所以 f(

24、x)的最大值为 f（ 1），最小值为 f（ e） ae2 2 当 a 0 时，令 f（ x） 0 得 2ax2 1， 由得 x12a， （ 1）若12a 1，即 a12时， f (x) 0， f(x)在 1， e上为增函数， 最小值为 f（ 1） a 1 （ 2）若 112a e，即12e2 a12时， f(x)在（ 1，12a）上为减函数，在（12a， e）上为增函数， 当 x12a，函数 f(x)取得极小值，同时也是最小值 f（12a） 12(ln2a 1) （ 3）若12a e，即 a12e2时 ， f(x)在（ 1， e）上为减函数， 最小值为 f(e) ae2 2 综上， 当 a 1

25、2e2时， f(x)在 1， e上的最小值 为 f(e) ae2 2 当 12e2 a 12时， f(x)在 1， e上的最小值 为 f( 12a) 12(ln2a 1) 当 a 12时， f(x)在 1， e上的最小值 为 f(1) a 1 二、方法联想 (1)求函数的极值 (或最值 ) 步骤： 求函数的定 义域 ； 求 f (x) 0 在区间内的根 ； 讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值 将求得的极值与两端点处的函数值进行比较 ， 得到最大值与最小值 (2)已知函数的极值点 x0，求参数的值 方法：根据取极值的必要条件 f (x0) 0，求出参数的值， 要注意验证 x0 左右的导

26、数值的符号是否符合取极值的条件。 (3)已知含参函数的极值点讨论 分类讨论根据 f (x) 0 解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为： “无、左、中、右 ”， 对四种分类标准进行取舍 (或合并 )； 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 15 页 共 53 页 注意数 形结合 三、 方法应用 例 1 （ 1） 已知函数 2( ) 1 ( ) l n ( )f x x a x g x x a a R，当 1a 时，求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x的极值 （ 2） (2018全国卷 )已知函数 f(x) 2sinx sin2x， 求 f(x)的最

27、小值 解析： （ 1） 函数 ()hx 的定义域为 (0, ) 当 1a 时， 2( ) ( ) ( ) l n 2h x f x g x x x x ， 所以 1 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 1 xxh x x xx 所以 当 10 2x 时， ( ) 0hx ，当 12x 时， ( ) 0hx ， 所以函数 ()hx 在区间 1(0, )2 单调递减，在区间 1( , )2 单调递增， 所以当 12x 时，函数 ()hx 取得极小值为 11+ln24 ，无极大值 （ 2） 由 f(x) 2sinx sin2x，得 f(x) 2cosx 2cos2x 4cos2x 2cosx 2，

28、令 f(x) 0，得 cosx 12或 cosx 1，可得当 cosx 1， 12 时， f(x)0， f(x)为增函数，所以当 cosx 12时， f(x)取最小值，此时 sinx 32 .又因为 f(x) 2sinx 2sinxcosx 2sinx(1 cosx)， 1cosx 0 恒成立， f(x)取最小值时， sinx 32 ， f(x)min 2 32 1 12 3 32 . 例 2 （ 1） 已知函数 f(x) 13x3 x2 2ax 1， 若函数 f(x)在 (1， 2)上有极值 ，则实数 a 的取值范围为 （ 2） 已知函数 f (x) x3 ax2 bx a2 7a 在 x

29、1 处取得极大值 10，则 ab的值为 _. 极值（最值或 单调性问题） 方程无解 有解在开区间内，列表求最值 所有解在开区间外 优先用十字相乘法求解 f(x)=0 方程有解 区间左侧 区间右侧 （通分） （先舍掉解，再比较解的大小） f(x)恒正或恒负，利用单调性求最值 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 16 页 共 53 页 答案 ： （ 1） (32， 4) （ 2） 23 解析： （ 1） 由题意得 f(x)在 (1， 2)上 有零点，即 x2 2x 2a 0a12(x2 2x)(32， 4) （ 2） 由题意知 f (x) 3x2 2ax b， f (1) 0，

30、 f (1) 10， 即3 2a b 0，1 a b a2 7a 10， 解得 a 2，b 1 或 a 6，b 9， 经检验 a 6，b 9 满足题意，故ab23. 例 3（扬州市 2017 届高三上学期期末） 已知函数 f(x) g(x) h(x)，其中 函数 g(x) ex， h(x) x2ax a 当 0 a 2 时，求函数 f(x)在 x 2a,a上的最大值； 解析：（ 2） 2( ) ( )xf x e x a x a ， 故 ( ) ( 2 )( ) xf x x x a e ， 令 ( ) 0fx ，得 xa 或 2x . 当 22a ,即 01a时， ()fx在 2 , aa上

31、递减，在 , aa 上递增， 所以 m a x( ) m a x ( 2 ) , ( )f x f a f a, 由于 22( 2 ) ( 2 ) af a a a e ， 2( ) (2 ) af a a a e，故 ( ) ( 2 )f a f a， 所以 max( ) ( )f x f a ; 当 22a ,即 12a时， ()fx在 2 , 2a上递增， 2, a 上递减，在 , aa 上递增， 所以 m a x( ) m a x ( 2 ) , ( )f x f f a， 由于 2( 2) (4 )f a e ， 2( ) (2 ) af a a a e，故 ( ) ( 2)f a

32、f， 所以 max( ) ( )f x f a ; 综上得， 2m a x( ) ( ) ( 2 ) af x f a a a e 例 4 已知函数 g(x) 13x3 12ax2 (x a)cosx sinx， a R， 讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求 出极值 解析： 因为 g(x) 13x3 12ax2 (x a)cosx sinx 所以 g(x) f(x) cosx (x a)sinx cosx， x(x a) (x a)sinx (x a)(x sinx)， 令 h(x) x sinx，则 h(x) 1 cosx 0，所以 h(x)在 R 上单调递增， 因此 h(0)

33、 0，所以，当 x 0 时， h(x) 0；当 x 0 时 h(x) 0 （ 1） 当 a 0 时， g(x) (x a)(x sinx)， 当 x (， a)时， x a 0， g(x) 0， g(x)单调递增； 当 x (a， 0)时， x a 0， g(x) 0， g(x)单调递减； 当 x (0， )时， x a 0， g(x) 0， g(x)单调递增 所以，当 x a 时， g(x)取到极大值，极大值是 g(a) 16a3 sina， 当 x 0 时， g(x)取到极小值，极小值是 g(0) a 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 17 页 共 53 页 （ 2）

34、 当 a 0 时， g(x) x(x sinx)， 当 x (， )时， g(x) 0， g(x)单调递增； 所以 ， g(x)在 (， )上单调递增， g(x)无极大值也无极小值 （ 3） 当 a 0 时， g(x) (x a)(x sinx)， 当 x (， 0)时， x a 0， g(x) 0， g(x)单调递增； 当 x (0， a)时， x a 0， g(x) 0， g(x)单调递减； 当 x (a， )时， x a 0， g(x) 0， g(x)单调递增 所以，当 x 0 时， g(x)取到极大值，极大值是 g(0) a； 当 x a 时， g(x)取到极小值，极小值是 g(a)

35、16a3 sina 综上所述： 当 a 0 时，函数 g(x)在 (， a)和 (0， )上单调递增，在 (a， 0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(a) 16a3 sina，极小值是 g(0) a 当 a 0 时，函数 g(x)在 (， )上单调递增，无极值； 当 a 0 时，函数 g(x)在 (， 0)和 (a， )上单调递增，在 (0， a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0) a，极小值是 g(a) 16a3 sina 例 5 （ 2018 南京学期调研） 已知函数 f(x) 2x3 3(a+1)x2 6ax， a R 若 a 1，设 函数

36、f(x)在 区间 1，2上 的最大值、最小值分别为 M(a)、 m(a)，记 h(a) M(a) m(a)，求 h(a)的 最小值 解析： 因为 f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax， 所以 f (x) 6x2 6(a 1)x 6a 6(x 1)(x a)， f(1) 3a 1， f(2) 4 令 f (x) 0，则 x 1 或 a f(1) 3a 1， f(2) 4 当 1 a 53时 ， 当 x (1， a)时 ， f (x) 0， 所以 f(x)在 (1， a)上 单调 递减 ； 当 x (a， 2)时 ， f (x) 0， 所以 f(x)在 (a， 2)上 单调 递增 又因为 f

37、(1) f(2)， 所以 M(a) f(2) 4， m(a) f(a) a3 3a2， 所以 h(a) M(a) m(a) 4 ( a3 3a2) a3 3a2 4 因为 h (a) 3a2 6a 3a(a 2) 0， 所以 h(a)在 (1， 53上单调 递 减 ， 所 以当 a (1， 53时， h(a)最小值 为 h(53) 827 当 53 a 2 时 ， 当 x (1， a)时 ， f (x) 0， 所以 f(x)在 (1， a)上 单调 递减 ； 当 x (a， 2)时 ， f (x) 0， 所以 f(x)在 (a， 2)上 单调 递增 又因为 f(1) f(2)， 所以 M(a)

38、 f(1) 3a 1， m(a) f(a) a3 3a2， 所以 h(a) M(a) m(a) 3a 1 ( a3 3a2) a3 3a2 3a 1 因为 h (a) 3a2 6a 3 3(a 1)2 0 所以 h(a)在 (53， 2)上单调 递 增 ， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复 习资料 第 18 页 共 53 页 所以当 a (53， 2)时， h(a) h(53) 827 当 a 2 时 ， 当 x (1， 2)时 ， f (x) 0， 所以 f(x)在 (1， 2)上 单调 递减 ， 所以 M(a) f(1) 3a 1， m(a) f(2) 4， 所以 h(a) M(

39、a) m(a) 3a 1 4 3a 5， 所以 h(a)在 2， )上 的最小值为 h(2) 1 综上 ， h(a)的 最小值 为 827 例 6 （常州市 2016 届高三上期末） 已知 a， b 为实数，函数 f(x) ax3 bx，当 a 1 且 b1,3时，求函数 F(x) |f(x)x lnx| 2b 1(x 12， 2)的 最大值 M（ b） 解 析 ： F(x) |x2 lnx b| 2b 1， 记 t(x) x2 lnx， x 12， 2 ， 则 t(x) 2x 1x， 令 t(x) 0， 得 x 22 .(1 分 ) 当 12 x 22 时 ， t (x) 0， t(x)在

40、12， 22 上为单调减 函数； 当 22 x 2， t (x) 0， t(x)在 22 ， 2 上为单调增函数 ， 又 t 12 14 ln2， t(2) 4 ln2， t 22 1 ln22 ， 且 t(2) t 12 154 2ln2 0， 所以 t(x)的取值范围为 1 ln22 ， 4 ln2 .(3 分 ) 当 b 1， 3时 ， 记 v(t) |t b| 2b 1， 则 v(t) t 3b 1， 1 ln22 t b，t b 1， b t 4 ln2.因为函数 v(t)在 1 ln22 ， b 上单 调递减，在 (b， 4 ln2上单调递增 ， 且 v 1 ln22 3b 1 l

41、n22 ， v(4 ln2) b 5 ln2， v 1 ln22 v(4 ln2) 2b ln2 92 ， 所以当 b 9 ln24 时 ， 最大值 M(b) v(4 ln2) b 5 ln2， 当 b 9 ln24 时 ， 最大值 M(b) v 1 ln22 3b 1 ln22 ， 所以 M(b)b 5 ln2， 1 b 9 ln24 ，3b 1 ln22 ， 9 ln24 b 3.四、 归类巩固 * 1 已知函数 f(x) lnx x，则 函数 f(x)的极大值 为 (考查利用单调性判断极值 ) 答案： 1 解析： 函数 f(x)的定义域为 (0， ) 当 a 0 时 ， f(x) lnx x， f (x) 1x 1， 令 f (x) 0 得 x 1.(1 分 )