2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题四第2讲《空间点线面的位置关系》学案

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1、第 2 讲 空间点、线、面的位置关系年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 面面垂直的证明T 18(1)卷异面直线所成的角T 9 线面垂直的证明T 20(1)2018卷 面面垂直的证明T 19(1)卷 面面垂直的证明T 18(1)空间异面直线所成角的余弦值的计算T 10卷线面平行的证明T 19(1)2017卷圆锥、空间线线角的求解T 16 面面垂直的证明T 19(1)卷求异面直线所成的角T 11 面面垂直的证明T 18(1)空间中线、面位置关系的判定与性质T 14卷线面垂直的证明T 19(1)2016卷 线面平行的证明T 19(1)1.高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大

2、” ，即一道选择或填空题和一道解答题或仅一道解答题2选择题一般在第1011 题的位置，填空题一般在第 14 题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小3解答题多出现在第 18或 19 题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等.空间线面位置关系的判定(基础型)判断与空间位置关系有关命题真假的 3 种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断(3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯

3、定或否定考法全练1在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E AC解析：选 C.A1B1平面 BCC1B1， BC1平面 BCC1B1，所以 A1B1 BC1，又 BC1 B1C，且B1C A1B1 B1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 BC1 A1E.故选 C.2已知直线 l 和两个不同的平面 ， ，则下列命题是真命题的是( )A若 l ，且 l ，则 B若 l ，且 l ，则 C若 l ，且 ，则 l D若 l ，且 ，则 l 解析：选 B.对于 A，若 l

4、，且 l ，则 或 与 相交，所以 A 错；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以 B 正确；对于 C，若 l ，且 ，则 l与 相交或 l 或 l ，所以 C 错；对于 D，若 l ，且 ，则 l 或l ，所以 D 错故选 B.3(2018惠州第二次调研)设 l， m， n 为三条不同的直线， 为一个平面，则下列命题中正确的个数是( )若 l ，则 l 与 相交；若 m ， n ， l m， l n，则 l ；若l m， m n， l ，则 n ；若 l m， m ， n ，则 l n.A1 B2C3 D4解析：选 C.对于，若 l ，则 l 与 不可能平行， l 也不可能在 内，所以 l

5、与 相交，正确；对于，若 m ， n ， l m， l n，则有可能是 l ，故错误；对于，若 l m， m n，则 l n，又 l ，所以 n ，故正确；对于，因为m ， n ，所以 m n，又 l m，所以 l n，故正确选 C.4 ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 m n， m ， n ，那么 ；如果 m ， n ，那么 m n；如果 ， m ，那么 m ；如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 AA为直线m， CD 为直线 n， A

6、BCD 所在的平面为 ， ABC D所在的平面为 ，显然这些直线和平面满足题目条件，但 不成立命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 l n，由m 知 m l，从而 m n，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确答案：空间中平行、垂直关系的证明(综合型)直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba .(2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b.(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， ba b.直线、平面垂直的判

7、定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直的判定定理： a ， a .(4)面面垂直的性质定理： ， l， a ， a l a .典型例题由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点， A1E平面 ABCD.(1)证明： A1O平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.【证明】 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1

8、， A1O1，由于 ABCDA1B1C1D1为四棱柱，所以 A1O1 OC，A1O1 OC，因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1O O1C.又 O1C平面 B1CD1， A1O平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 AC BD， E， M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EM BD.又 A1E平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 A1E BD.因为 B1D1 BD，所以 EM B1D1， A1E B1D1.又 A1E， EM平面 A1EM， A1E EM E，所以 B1D1平面 A1EM.又 B1D1平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD

9、1.平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化对点训练1.如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面ABCD， AD BC， PA AB， CD AD， BC CD AD， E 为 AD 的中点12(1)求证： PA CD.(2)求证：平面 PBD平面 PAB.证明：(1)因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB，又因为 PA AB，所以 PA平面 ABCD.则 PA CD.(2)由已知， BC ED，且 BC ED，所以四边形 BCDE 是平行四边形，又 CD AD， BC

10、CD，所以四边形 BCDE 是正方形，连接 CE(图略)，所以 BD CE，又因为 BC AE， BC AE，所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 CE AB，则 BD AB.由(1)知 PA平面 ABCD，所以 PA BD，又因为 PA AB A，则 BD平面 PAB，且 BD平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAB.2.如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D， D1分别为 AC， A1C1上的点(1)当 等于何值时， BC1平面 AB1D1?A1D1D1C1(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求 的值ADDC解：(1)如图，取 D1为线段 A1C1的中点，此时 1，A1

11、D1D1C1连接 A1B 交 AB1于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点在 A1BC1中，点 O， D1分别为 A1B， A1C1的中点，所以 OD1 BC1.又因为 OD1平面 AB1D1， BC1平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1.所以当 1 时， BC1平面 AB1D1.A1D1D1C1(2)由已知，平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BDC1 BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1 D1O.因此 BC1 D1O，同理 AD1 DC1.因为 ， .A1D1D1C1 A1OOB A1D1D

12、1C1 DCAD又因为 1，所以 1，即 1.A1OOB DCAD ADDC平面图形的折叠问题(综合型)典型例题如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， ADC90， AB BC.把 BAC 沿 AC 折起到 PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图所示，点 E， F 分别为棱 PC， CD 的中点(1)求证：平面 OEF平面 PAD；(2)求证： CD平面 POF；(3)若 AD3， CD4， AB5，求三棱锥 ECFO 的体积【解】 (1)证明：因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，所以 PO平面 ADC，

13、所以 PO AC.由题意知 O 是 AC 的中点，又点 E 是 PC 的中点，所以 OE PA，又 OE平面 PAD， PA平面 PAD，所以 OE平面 PAD.同理， OF平面 PAD.又 OE OF O， OE， OF平面 OEF，所以平面 OEF平面 PAD.(2)证明：因为 OF AD， AD CD，所以 OF CD.又 PO平面 ADC， CD平面 ADC，所以 PO CD.又 OF PO O，所以 CD平面 POF.(3)因为 ADC90， AD3， CD4，所以 S ACD 346，12而点 O， F 分别是 AC， CD 的中点，所以 S CFO S ACD ，14 32由题意

14、可知 ACP 是边长为 5 的等边三角形，所以 OP ，523即点 P 到平面 ACD 的距离为 ，523又 E 为 PC 的中点，所以 E 到平面 CFO 的距离为 ，543故 VECFO .13 32 543 583平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 对点训练如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， BAD ， AB BC AD a， E 是 AD 的中

15、点， 2 12O 是 AC 与 BE 的交点，将 ABE 沿 BE 折起到图 2 中 A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.(1)证明： CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 ，求 a 的值2解：(1)证明：在图 1 中，因为 AB BC AD a， E 是 AD 的中点，12 BAD ，所以 BE AC. 2即在图 2 中， BE A1O， BE OC，从而 BE平面 A1OC，又 CD BE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDE BE，又由(1)知， A1O

16、BE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高由图 1 知， A1O AB a，平行四边形 BCDE 的面积 S BEOC a2.22 22从而四棱锥 A1BCDE 的体积为V SA1O a2 a a3，13 13 22 26由 a336 ，得 a6.26 2一、选择题1设 为平面， a、 b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A若 a ， b ，则 a bB若 a ， a b，则 b C若 a ， a b，则 b D若 a ， a b，则 b 解析：选 B.若 a ， b ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误；易知 B 正确；若 a ， a b

17、，则 b 或 b ，故 C 错误；若 a ， a b，则 b 或 b 或 b与 相交，故 D 错误故选 B.2设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A若 l ， l ，则 B若 l ， l ，则 C若 ， l ，则 l D若 ， l ，则 l 解析：选 B.对于 A，若 l ， l ，则 或 与 相交，故 A 错；易知 B正确；对于 C，若 ， l ，则 l 或 l ，故 C 错；对于 D，若 ， l ，则 l 与 的位置关系不确定，故 D 错故选 B.3.如图，在三棱锥 DABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A

18、平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE解析：选 C.因为 AB CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理， DE AC，由于DE BE E，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C.4已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出四个命题：若 m， n ， n m，则 ；若 m ， m ，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m

19、n，则 .其中正确的命题是( )A BC D解析：选 B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确5(2018高考全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面3直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( )A. B.15 56C. D.55 22解析：选 C.如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连接DM， OM，易知 O 为 BD1

20、的中点，所以 AD1 OM，则 MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB BC1， AA1 ， AD1 2， DM ， DB13AD2 (12AB)2 52 ，所以 OM AD11 ， OD DB1 ，于是在 DMO 中，由余512 12 52弦定理，得 cos MOD ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 ，12 (52)2 (52)2 2152 55 55故选 C.6.如图，在矩形 ABCD 中， AB ， BC1，将 ACD 沿 AC 折起，3使得 D 折起后的位置为 D1，且 D1在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上，在四

21、面体 D1ABC 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n 等于( )A2 B3C4 D5解析：选 B.如图，设 D1在平面 ABC 上的射影为 E，连接D1E，则 D1E平面 ABC，因为 D1E平面 ABD1，所以平面 ABD1平面 ABC.因为 D1E平面 ABC， BC平面 ABC，所以 D1E BC，又 AB BC， D1E AB E，所以 BC平面 ABD1，又 BC平面 BCD1，所以平面 BCD1平面 ABD1，因为 BC平面 ABD1， AD1平面 ABD1，所以 BC AD1，又 CD1 AD1， BC CD1 C，所以 AD1平面 BCD1，又 AD1平面 ACD1，所

22、以平面 ACD1平面 BCD1.所以共有 3 对平面互相垂直故选 B.二、填空题7(2018广州调研)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 M 为 CC1的中点，点 N 为线段 DD1上靠近 D1的三等分点，平面 BMN 交 AA1于点 Q，则线段 AQ 的长为_解析：如图所示，在线段 DD1上靠近点 D 处取一点 T，使得DT ，因为 N 是线段 DD1上靠近 D1的三等分点，故 D1N ，故13 23NT2 1，因为 M 为 CC1的中点，故 CM1，连接 TC，由13 23NT CM，且 CM NT1，知四边形 CMNT 为平行四边形，故CT MN，同理在 AA1上靠近 A

23、处取一点 Q，使得 AQ ，连接 BQ， TQ，则有13BQ CT MN，故 BQ与 MN 共面，即 Q与 Q 重合，故 AQ .13答案：138.如图， ACB90， DA平面 ABC， AE DB 交 DB 于点 E， AF DC交 DC 于点 F，且 AD AB2，则三棱锥 DAEF 体积的最大值为_解析：因为 DA平面 ABC，所以 DA BC，又 BC AC， DA AC A，所以 BC平面 ADC，所以 BC AF.又 AF CD， BC CD C，所以 AF平面DCB，所以 AF EF， AF DB.又 DB AE， AE AF A，所以 DB平面 AEF，所以 DE 为三棱锥D

24、AEF 的高因为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高，所以 AE ，设2AF a， FE b，则 AEF 的面积 S ab ，所以三棱锥 DAEF 的体积12 12 a2 b22 12 22 12V (当且仅当 a b1 时等号成立)13 12 2 26答案：269(2018昆明调研)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD4， AA12.过点 A1作平面 与 AB， AD 分别交于 M， N 两点，若 AA1与平面 所成的角为 45，则截面 A1MN 面积的最小值是_解析：如图，过点 A 作 AE MN，连接 A1E，因为 A1A平面 ABCD，所以 A1A MN，所以 M

25、N平面 A1AE，所以 A1E MN，平面 A1AE平面 A1MN，所以 AA1E 为 AA1与平面 A1MN 所成的角，所以 AA1E45，在 Rt A1AE 中，因为 AA12，所以 AE2， A1E2 ，在 Rt MAN 中，由射影定理得 MEEN AE24，由基本不等式得2MN ME EN2 4，当且仅当 ME EN，即 E 为 MN 的中点时等号成立，所以截面MEENA1MN 面积的最小值为 42 4 .12 2 2答案：4 2三、解答题10.如图，在三棱锥 ABCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面BCD，点 E、 F(E 与 A、 D 不重合)分别在棱 AD、 B

26、D 上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明：(1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD，所以 EF AB.又因为 EF平面 ABC， AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD，BC平面 BCD 且 BC BD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BC AD.又因为 AB AD， BC AB B， AB平面 ABC， BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 AD AC.11.如图所示，已知 AB平面 ACD， DE平面 ACD，

27、 ACD 为等边三角形， AD DE2 AB， F 为 CD 的中点求证：(1) AF平面 BCE；(2)平面 BCE平面 CDE.证明：(1)如图，取 CE 的中点 G，连接 FG，BG.因为 F 为 CD 的中点，所以 GF DE 且 GF DE.12因为 AB平面 ACD， DE平面 ACD，所以 AB DE，所以 GF AB.又因为 AB DE，所以 GF AB.12所以四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF BG.因为 AF平面 BCE， BG平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)因为 ACD 为等边三角形， F 为 CD 的中点，所以 AF CD.因为 DE平面 ACD，

28、AF平面 ACD，所以 DE AF.又 CD DE D，所以 AF平面 CDE.因为 BG AF，所以 BG平面 CDE.又因为 BG平面 BCE，所以平面 BCE平面 CDE.12如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， AB BC， BD DC，点 E 是 BC 边的中点，将 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE， AC， DE，得到如图 2 所示的几何体(1)求证： AB平面 ADC；(2)若 AD1， AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 ，求点 B 到平面 ADE6的距离解：(1)证明：因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面

29、 BCD BD，又 DC BD， DC平面 BCD，所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD，所以 DC AB.又因为折叠前后均有 AD AB，且 DC AD D，所以 AB平面 ADC.(2)由(1)知 DC平面 ABD，所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD，即 CAD 为 AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成的角依题意知 tan CAD ，DCAD 6因为 AD1，所以 DC .6设 AB x(x0)，则 BD ，x2 1易知 ABD DCB，所以 ，ABAD DCBD即 ，解得 x ，x1 6x2 1 2故 AB ， BD ， BC3.2 3由于 AB平面 ADC，所以 AB AC，又 E 为 BC 的中点，所以由平面几何知识得 AE ，BC2 32同理 DE ，BC2 32所以 S ADE 1 .12 (32)2 (12)2 22因为 DC平面 ABD，所以 VABCD CDS ABD .13 33设点 B 到平面 ADE 的距离为 d，则 dS ADE VBADE VABDE VABCD ，13 12 36所以 d ，即点 B 到平面 ADE 的距离为 .62 62