2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项三《特色讲练数学传统文化》学案

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1、专项三 特色讲练数学传统文化年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析2018 卷 三视图T 3卷中国古代太极图与几何概型T 22017卷 数列求和T 32016 卷 秦九韶算法T 8数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易.立体几何中的数学文化题立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖” “阳马” “鳖臑” “堑堵” “刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等典型例题(1)(2018郑

2、州第二次质量预测)我国古代数学专著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为 1)如图所示，已知该几何体的高为 2 ，则该几何体外接球的表面积为_2(2)(2018黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异” “势”是几何体的高， “幂”是截面面积其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C的渐近线方程为 y2 x，一个焦点为( ，0)直线 y0 与 y3 在第一象限内与双曲线及渐5近线围成

3、如图所示的图形 OABN，则它绕 y轴旋转一圈所得几何体的体积为_【解析】 (1)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥ABCD所示，其中 AB2 ， BC CD ，易知长方体的外接球即三棱锥 ABCD 的外接球，2 2设外接球的直径为 2R，所以 4R2(2 )2( )2( )282212，则 R23，因此外2 2 2接球的表面积 S4 R212.(2)由题意可得双曲线的方程为 x2 1，直线 y3 在第一象限内与渐近线的交点y24N的坐标为 ，与双曲线在第一象限内的交点 B的坐标为 ，在所得几何体中，(32， 3) (132， 3)在高为 h处作一截面，则截面面积为

4、 ，根据祖暅原理，可得该几何体的(1h24 h24)体积与底面面积为 ，高为 3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为 3.【答案】 (1)12 (2)3(1)本例(1)以“鳖臑”为背景，考查由三视图还原几何体，并求几何体的表面积此类问题源于生活中的盖房问题这将引领师生关注生产、生活中的社会问题，体现数学文化“以数化人”的功能对于其他几何体，如“刍童” “羡除”等，需要给予关注(2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年人教 A版必修 2教材第 30页专门介绍了祖暅原理本题取材于祖暅原理，既考查了考生的基础知识和基本技能

5、，又展示了中华优秀传统文化 对点训练算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一 ”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高 h，计算其体积 V的近似公式V L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式136V L2h相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )7264A. B.227 258C. D.15750 355113解析：选 A.依题意，设圆锥的底面半径为 r，则 V r2h L2h (2 r)2h，13 7264 7264化简得 .故选 A.227

6、数列中的数学文化题数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前 n项和公式典型例题(1)九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛 ”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半 ”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半 ”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A. 斗粟 B. 斗粟507 107C. 斗粟 D. 斗粟157 207(2)北宋数

7、学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积设隙积共 n层，上底由 ab个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由 cd 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为 s (2a c)b(2 c a)d (c a)，其中 a是上底长， b是上底宽，n6 n6c是下底长， d是下底宽， n为层数已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A83 B84C85 D86【解析】 (1)法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为 a1， a2， a3，则这 3个数依次成等比数列，公比

8、 q2，所以 a12 a14 a15，解得 a1 ，故 a3 ， a3 a157 207 ，故选 C.207 57 157法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是 124，故牛主人应赔偿 5 (斗)，羊主47 207人应赔偿 5 (斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了 (斗)，故选 C.17 57 207 57 157(2)由三视图知， n5， a3， b1， c7， d5，代入公式 s (2a c)b(2 c a)n6d (c a)得 s85，故选 C.n6【答案】 (1)C (2)C解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前 n项和公式 对点训练九章算术

9、是我国古代的数学名著，书中均输章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何 ”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A. 钱 B. 钱76 56C. 钱 D.1钱23解析：选 D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a2 d、 a d、 a、 a d、 a2 d，则 a2 d a d a a d a2 d5，解得 a1，即丙所得为 1钱，故选 D.算法中的数学文化题算法中的数学文化题

10、一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图典型例题(1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n为(参考数据：sin 150.258 8，sin 7.50.130 5)( )A12 B24C36 D48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想图中的程序框图的算法思路就源于我国

11、古代戍边官兵的“烽火传信” 执行该程序框图，若输入a110011， k2， n7，则输出的 b( )A19 B31C51 D63【解析】 (1)按照程序框图执行， n6， S3sin 60 ，不满足条件332S3.10，执行循环； n12， S6sin 303，不满足条件 S3.10，执行循环；n24， S12sin 15120.258 83.105 6，满足条件 S3.10，跳出循环，输出 n的值为 24，故选 B.(2)按照程序框图执行， b依次为 0，1，3，3，3，19，51，当 b51 时，i i17，跳出循环，故输出 b51.故选 C.【答案】 (1)B (2)C辗转相除法、更相减

12、损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能 对点训练九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也以等数约之 ”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用 2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得

13、的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的 a114， b30，则输出的 n为( )A3 B6C7 D30解析：选 C.a114， b30， k1， n0， a， b都是偶数，a57， b15， k2， a， b不满足都为偶数， a b不成立， ab成立，a571542， n011； a b不成立， ab成立，a421527， n112； a b不成立， ab成立，a271512， n213； a b不成立， ab不成立，a15， b12， a15123， n314； a b不成立， ab不成立，a12， b3，

14、 a1239， n415； a b不成立， ab成立，a936， n516； a b不成立， ab成立， a633， n617； a b成立，输出的 kb6， n7.概率中的数学文化题概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景，考查古典概型和几何概型典型例题(1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A. B.13 14C. D.15 16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化

15、根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O被函数 y3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，6如图所示，其中小圆的半径均为 1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A. B.136 118C. D.112 19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下田忌的马 上 中 下 上 中 下 上 中 下双方马的对阵中，有 3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率 P .故选 A.39 13(2)函数 y3sin x的图象与 x轴相交于点(6，0)和点(6

16、，0)，则大圆的半径为66，面积为 36，而小圆的半径为 1，两个小圆的面积和为 2，所以所求的概率是 236.故选 B.118【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例 对点训练九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 5步和 12步

17、，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A. B.15 25C. D.215 415解析：选 C.因为该直角三角形两直角边长分别为 5步和 12步，所以其斜边长为 13步，设其内切圆的半径为 r，则 512 (51213) r，解得 r2.由几何概型的概率公式，12 12得此点取自内切圆内的概率 P .故选 C.412512 215三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换典型例题(2018益阳、湘潭调研)数书九章中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法” ，填补了

18、我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积” 若把这段文字写成公式，即 S ，现有周长为 2 的 ABC满足 sin 14c2a2 (c2 a2 b22 )2 2 5Asin Bsin C( 1) ( 1)，用上面给出的公式求得 ABC的面积为( )2 5 2A. B.32 34C. D.52 54【解析】 由正弦定理得 sin Asin Bsin C a b c( 1) ( 1)，2 5 2可设三角形的三边分别为 a( 1) x，

19、 b x， c( 1) x，由题意得( 1)2 5 2 2x x( 1) x(2 )x2 ，则 x1，故由三角形的面积公式可得 ABC5 2 2 5 2 5的面积 S ，故选 B.14（ 2 1） 2（ 2 1） 2 (3 22 3 22 52 )2 34【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式( S，其中 p (a b c)在形式上不一样，但两者完全等价，p（ p a） （ p b） （ p c）12它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教 A版必修 5教材对此有专门介绍本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能

20、力，同时也传播了中华优秀传统文化 对点训练第 24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为 ，那么tan _( 4)解析：依题意得大、小正方形的边长分别是 5，1，于是有 5sin 5cos 1(00.05，不满足条件，则 n20， b2.939， a 20sin 123.090，此时| a b|0.1510.05，不满足条件，则36020n40， b3.090， a 40sin 3.128，此时 |a b|0.0380.05，满足

21、条件，12 36040故输出的 n40.故选 B.9我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设 ABC的三个内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，则 ABC的面积 S.若 a2sin C4sin A，( a c)212 b2，则用“三斜求积”公式14c2a2 (c2 a2 b22 )2 求得 ABC的面积为( )A. B23C3 D. 6解析：选 A.根据正弦定理，由 a2sin C4sin A，得 ac4.再结合( a c)212 b2，得 a2 c2 b24，则 S ，故选 A.14c2a2 (c2 a2 b22 )2 16 44 310

22、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述， 九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之，六而一 ”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为 18的矩形，上底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A. B.392 752C39 D.6018解析：选 B.设下底面的长为 x ，则下底面的宽为 9 x.由题可知(92 x9) 18 2x2上

23、底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，所以其体积 V 3(32 x)162(2 x3)(9 x) x2 ，故当 x 时，体积取得最大值，最大值为17x2 392 92 .故选 B.(92)2 92 172 392 75211(2018昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异” “幂”是截面面积， “势”是几何体的高意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现在一旋转体 D(如图 1所示)，它是由抛物线 y x2(x0)，直线 y4 及 y轴围成的封闭图形

24、绕 y轴旋转一周形成的几何体，旋转体 D的参照体的三视图如图 2所示，利用祖暅原理，则旋转体 D的体积是( )A. B6163C8 D16解析：选 C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积 V 448，故旋12转体 D的体积为 8，故选 C.12(2018郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体， 九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也” 翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶” 如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )A24 B32 5C64 D32 6解析：

25、选 B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中 S 四边形 ABED S 四边形ACFD， S ABC S DEF.过点 A向平面 BCFE作垂线，垂足为 A，作 AM CF于点 M，作 AN BC于点 N，连接 A N，易知 AA4， A N CM 2， CN BC2.在 Rt AA N中，8 42 12AN 2 ，在 Rt ANC中， AC 2AA 2 A N2 42 22 5 CN2 AN2 22 （ 25） 2，在 Rt AMC中， AM 2 .6 AC2 CM2 （ 26） 2 22 5所以 S 四边形 ACFD (48)2 12 ， S ABC BCAN 42 4 .所以12

26、5 5 12 12 5 5该茅草屋顶的面积为 212 24 32 ，故选 B.5 5 5二、填空题13我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第 1天长高 3尺，莞草第 1天长高 1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的 2倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 30.477 1，lg 20.301 0)解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为 a13，公比为 的等比数列 an，设其前 n1

27、2项和为 An；莞草的长度组成首项为 b11，公比为 2的等比数列 bn，设其前 n项和为 Bn.则 An ， Bn ，令 ，化简得 2n 7( nN *)，解得3(1 12n)1 12 2n 12 13(1 12n)1 12 2n 12 1 62n2n6，所以 n 1 3，即第 3天时蒲草和莞草长度相等lg 6lg 2 lg 3lg 2答案：314我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 n_解析：第一次循环，得 S2，否；第二次循环，得 n2， a ， A2

28、， S ，否；第12 92三次循环，得 n3， a ， A4， S ，否；第四次循环，得 n4， a ， A8， S14 354 1810，是，输出的 n4.1358答案：415(2018广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中，用图的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角” 现将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到图所示的由数字 0和 1组成的三角形数表，由上往下数，记第 n行各数字的和为 Sn，如 S11， S22， S32， S44，则 S126_解析：题图中的三角形数表，从上往下数，第 1次全行的数都为 1的是第 1行，有1个 1，第 2次全行的数都为 1的是

29、第 2行，有 2个 1，第 3次全行的数都为 1的是第 4行，有 4个 1，依此类推，第 n次全行的数都为 1的是第 2n1 行，有 2n1 个 1.第 1行，1 个1，第 2行，2 个 1，第 3行，2 个 1，第 4行，4 个 1；第 1行 1的个数是第 2行 1的个数的 ，第 2行与第 3行 1的个数相同，第 3行 1的个数是第 4行 1的个数的 ；第 5行，212 12个 1，第 6行，4 个 1，第 7行，4 个 1，第 8行，8 个 1；第 5行 1的个数是第 6行 1的个数的 ，第 6行与第 7行 1的个数相同，第 7行 1的个数是第 8行 1的个数的 .根据以上规12 12律，

30、当 n8 时，第 281 行有 128个 1，即 S128128，第 127行有 64个 1，即 S12764，第 126行有 64个 1，即 S12664.答案：6416我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异” “势”是几何体的高， “幂”是截面积意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等现有下题：在 xOy平面上，将两个半圆弧( x1) 2 y21( x1)和( x3)2 y21( x3)、两条直线 y1 和 y1 围成的封闭图形记为 D，如图所示阴影部分记D绕 y轴旋转一周而成的几何体为 ，过(0， y)(|y|1)作 的水平截面，所得截面面积为 4 8，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值1 y2为_解析：根据提示，一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱平放，一个高为 2，底面积为8 的长方体，这两个几何体与 放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即 的体积为 1 22282 216.答案：2 216