2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题一第3讲《导数的简单应用》学案
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1、第 3 讲 导数的简单应用年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷函数的奇偶性、导数的几何意义T 5卷 导数的几何意义T 132018卷 导数的几何意义T 14卷利用导数讨论函数的单调性、函数的零点T 212017卷 利用导数求极值T 11卷 导数与函数图象T 7函数的奇偶性、导数的几何意义T 152016 卷利用导数公式直接求导T 21(1)1.高考对导数的几何意义的考查,多在选择、填空题中出现,难度较小,有时出现在解答题的第一问2高考重点考查导数的应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选择、填空题的后几题中出现,难度中等,有时出现在解答题的第一问3近几年全国课标卷对定积分
2、及其应用的考查极少,题目一般比较简单,但也不能忽略.导数的运算及其几何意义(综合型)导数的几何意义函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线的斜率,曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k f( x0),相应的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)4 个易误导数公式(1)(sin x)cos x.(2)(cos x)sin x.(3)(ax) axln a(a0 且 a1)(4)(loga x) (a0 且 a1)1xln a典型例题(1)若曲线 f(x) xsin x1 在点 处的切线与直线 ax2 y10 互( 2, 2 1)相垂直,
3、则实数 a( )A2 B2C1 D1(2)直线 l 与曲线 ye x及 y x2都相切,则直线 l 的方程为_14【解析】 (1)因为 f(x) xsin x1,所以 f( x)sin x xcos x,所以 f sin cos 1.( 2) 2 2 2因为直线 ax2 y10 的斜率为 ,a2所以 f 1,( 2) a2解得 a2,故选 A.(2)设直线 l 与曲线 ye x的切点为( x0,e x0),直线 l 与曲线 y x2的切点为 ,14因为 ye x在点( x0,e x0)处的切线的斜率为 y| x x0e x0, y 在点 处的切线x24的斜率为 y| Error! ,x x1
4、x x1 x12则直线 l 的方程可表示为 ye x0x x0ex0e x0或 y x1x x ,所以12 1421所以 ex01 x0,解得 x00.所以直线 l 的方程为 y x1.【答案】 (1)A (2) y x1(1)求曲线 y f(x)的切线方程的 3 种类型及方法已知切点 P(x0, y0),求切线方程求出切线的斜率 f( x0),由点斜式写出方程已知切线的斜率 k,求切线方程设切点 P(x0, y0),通过方程 k f( x0)解得 x0,再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点),求切线方程设切点 P(x0, y0),利用导数求得切线斜率 f( x0),再由斜率公式求得切线斜
5、率,列方程(组)解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程(2)两曲线 f(x), g(x)的公切线 l 的方程的求解关键设点求切线,即分别设出两曲线的切点的坐标( x0, f(x0),( x1, g(x1),并分别求出两曲线的切线方程建立方程组,即利用两曲线的切线重合,则两切线的斜率及在 y 轴上的截距都分别相等,得到关于参数 x0, x1的方程组,解方程组,求出参数 x0, x1的值求切线方程,把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可 对点训练1(一题多解)(2018高考全国卷)设函数 f(x) x3( a1) x2 ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
6、 )A y2 x B y xC y2 x D y x解析:选 D.法一:因为函数 f(x) x3( a1) x2 ax 为奇函数,所以 f( x) f(x),所以( x)3( a1)( x)2 a( x) x3( a1) x2 ax,所以 2(a1) x20,因为 xR,所以 a1,所以 f(x) x3 x,所以 f( x)3 x21,所以 f(0)1,所以曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.法二:因为函数 f(x) x3( a1) x2 ax 为奇函数,所以 f(1) f(1)0,所以1 a1 a(1 a1 a)0,解得 a1,所以 f(x) x3 x,所以 f
7、( x)3 x21,所以 f(0)1,所以曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.2(2018合肥第一次质量检测)已知直线 2x y10 与曲线 y aex x 相切(其中e 为自然对数的底数),则实数 a 的值是( )A. B112C2 De解析:选 B.由题意知 y aex12,则 a0, xln a,代入曲线方程得y1ln a,所以切线方程为 y(1ln a)2( xln a),即 y2 xln a12 x1 a1.利用导数研究函数的单调性(综合型)导数与函数单调性的关系(1)f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x) x3在(,)上单
8、调递增,但 f( x)0.(2)f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有 f( x)0 时,则 f(x)为常数,函数不具有单调性典型例题命题角度一 求函数的单调区间或判断函数的单调性已知函数 f(x)ln( x1) ,且 11.x( x 2a 3)( x 1) 3当10 时, f( x)0, f(x)单调递增,当 2a30,即 2a3 时, f( x)0,则 f(x)在(1,0),(2 a3,)上单调递增当 02 时, f( x)0, f(x)单调递增;当 10 时恒成立,所以 a (x22 x) (x1) 2 恒成立12 12 12又 (x) (x1) 2
9、, x(0,)的最小值为 .12 12 12所以当 a 时, g( x)0 恒成立12又当 a , g( x) 当且仅当 x1 时, g( x)0.12 ( x 1) 2x故当 a 时, g(x) f(x) ax 在(0,)上单调递增( , 12(1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件 f( x)0(或 f( x)0),x( a, b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是 f( x)不恒等于 0 的参数的范围(2)若函数 y f(x)在区间( a, b)上不单调,则转化为 f( x)0 在( a, b)上有解 对点训练1若函数 f(x)(
10、x a)ex在区间(0,)上不单调,则实数 a 的取值范围是( )A(,1) B(,0)C(1,0) D1,)解析:选 A.f( x)e x(x a1),由题意,知方程 ex(x a1)0 在(0,)上至少有一个实数根,即 x a10,解得 a0,即 a0,则由 f( x)0,得 xln a.当 x(,ln a)时, f( x)0.故 f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增若 a0;(ln(a2), )故 f(x)在 上单调递减,( , ln(a2)在 上单调递增(ln(a2), )利用导数研究函数的极值(最值)问题(综合型)函数 f(x)在点 x0附近有定义,若在 x
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