2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项一第4练《计数原理与二项式定理》学案
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1、第 4 练 计数原理与二项式定理年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 计数原理与组合问题T 152018 卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T5卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T 6卷 计数原理、排列组合的应用T 62017卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T 4卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T 142016 卷 计数原理、组合的应用T51.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置,是高考的必考内容,很少单独命题,主要考查利用排列、组合知识计算古典概型2二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主,题目难度一般,多出现在第 910题或第 13
2、15 题的位置上.两个计数原理应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化考法全练1(2018石家庄模拟)用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字且大于 3 000 的四位数,这样的四位数有( )A250 个 B249 个C48 个 D24 个解析:选 C.当千位上的数字为 4 时,满足条件的四位数有 A 24(个);34当千位上的数字为 3 时,满足条件的四位数有 A 24(个)34由分类加法计数原理得所有满足条件的四位
3、数共有 242448(个),故选 C.2如果一个三位正整数“ a1a2a3”满足 a1 a2且 a3 a2,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275),那么所有凸数的个数为( )A240 B204C729 D920解析:选 A.分 8 类,当中间数为 2 时,有 122(个);当中间数为 3 时,有 236(个);当中间数为 4 时,有 3412(个);当中间数为 5 时,有 4520(个);当中间数为 6 时,有 5630(个);当中间数为 7 时,有 6742(个);当中间数为 8 时,有 7856(个);当中间数为 9 时,有 8972(个)故共有 26122030425672
4、240(个)3(2018合肥质量检测)某社区新建了一个休闲小公园,几条小径将公园分成 5 块区域,如图社区准备从 4 种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域,要求每个区域种植一种颜色的花卉,且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同,则不同种植方法的种数为( )A96 B114C168 D240解析:选 C.先在 a 中种植,有 4 种不同方法,再在 b 中种植,有 3 种不同方法,再在c 中种植,若 c 与 b 同色,则 d 有 3 种不同方法,若 c 与 b 不同色, c 有 2 种不同方法, d有 2 种不同方法,再在 e 中种植,有 2 种不同方法,所以共有43132432221
5、68(种),故选 C.4将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同分法的种数是_解析:按分步来完成此事第 1 张有 10 种分法,第 2 张有 9 种分法,第 3 张有 8 种分法,故共有 1098720 种分法答案:7205在学校举行的田径运动会上,8 名男运动员参加 100 米决赛,其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种解析:分两步安排这 8 名运动员第一步,安排甲、乙、丙三人,共有 1,3,5,7 四条跑道可安排,所以安排方式有 43224(种);第二步,安排另外 5
6、人,可在2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有 54321120(种)所以安排这 8 名运动员的方式共有 241202 880(种)答案:2 880排列、组合的应用排列、组合应用问题的 8 种常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法(2)相邻问题捆绑法(3)不相邻问题插空法(4)定序问题缩倍法(5)多排问题一排法(6)“小集团”问题先整体后局部法(7)构造模型法(8)正难则反,等价转化法考法全练1(2018辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知:食物投掷地点有远、近两处;由于 Grace年龄尚小,所以要么不
7、参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处那么不同的搜寻方案有( )A10 种 B40 种C70 种 D80 种解析:选 B.若 Grace 不参与任务,则需要从剩下的 5 位小孩中任意挑出 1 位陪同,有C 种挑法,再从剩下的 4 位小孩中挑出 2 位搜寻远处,有 C 种挑法,最后剩下的 2 位小15 24孩搜寻近处,因此一共有 C C 30 种搜寻方案;若 Grace 参加任务,则其只能去近处,需1524要从剩下的 5 位小孩中挑出 2 位搜寻近处,有 C 种挑法,剩下 3 位小孩去搜寻远处,因此
8、25共有 C 10 种搜寻方案综上,一共有 301040 种搜寻方案,故选 B.252(2018甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有 4 个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4 个红包中有 2 个 6 元,1 个 8元,1 个 10 元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有( )A18 种 B24 种C36 种 D48 种解析:选 C.若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 8 元的红包,剩下 2 个红包,被剩下的 3人中的 2 个人抢走,有 A A 12 种;若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 10 元的红包,剩下2232 个红包,被剩
9、下的 3 人中的 2 个人抢走,有 A A 12 种;若甲、乙抢的是一个 8 和一个22310 元的红包,剩下 2 个红包,被剩下的 3 人中的 2 个人抢走,有 A C 6 种;若甲、乙抢223的是两个 6 元的红包,剩下 2 个红包,被剩下的 3 人中的 2 个人抢走,有 A 6 种,根据23分类加法计数原理可得,共有 36 种情况,故选 C.3(一题多解)(2018南昌调研)某校毕业典礼上有 6 个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A120 种 B156 种C188 种 D240 种
10、解析:选 A.法一:记演出顺序为 16 号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占 1 和2 号,2 和 3 号,3 和 4 号,4 和 5 号,5 和 6 号,其排法分别为 A A ,A A ,C A A ,C A23 23 1223 13A ,C A A ,故总编排方案有 A A A A C A A C A A C A A 120 种23 1323 23 23 1223 1323 1323法二:记演出顺序为 16 号,按甲的编排进行分类,当甲在 1 号位置时,丙、丁相邻的情况有 4 种,则有 C A A 48 种;当甲在 2 号位置时,丙、丁相邻的情况有 3 种,1423共有 C A A 36
11、种;当甲在 3 号位置时,丙、丁相邻的情况有 3 种,共有 C A A 361323 1323种所以编排方案共有 483636120 种4现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双,把三双鞋排列在鞋架上,仅有一双鞋相邻的排法总数是( )A72 B144C240 D288解析:选 D.首先,选一双运动鞋,捆绑在一起看作一个整体,有 C A 6 种排列方法,132则现在共有 5 个位置,若这双鞋在左数第一个位置,共有 C A A 8 种情况,若这双鞋在1222左数第二个位置,则共有 C C 8 种情况,若这双鞋在中间位置,则共有 A A A A 16 种1412 2222情况,左数第四个位置和第二个位置的
12、情况一样,第五个位置和第一个位置的情况一样所以把三双鞋排列在鞋架上,仅有一双鞋相邻的排法总数是 6(282816)288.故选 D.5冬季供暖就要开始,现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有_种解析:5 名水暖工去 3 个不同的居民小区,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,5 名水暖工分组方案为 3,1,1 和 1,2,2,则分配的方案共有 A 150(种)3答案:150二项式定理通项与二项式系数(a b)n的展开式的通项 Tk1 C an kbk(k0,1,2, n),其中 C 叫做二项式
13、系kn kn数注意 Tk1 是展开式中的第 k1 项,而不是第 k 项各二项式系数之和(1)C C C C 2 n.0n 1n 2n n(2)C C C C 2 n1 .1n 3n 0n 2n考法全练1(2018高考全国卷)( x2 )5的展开式中 x4的系数为( )2xA10 B20C40 D80 解析:选 C.Tr1 C (x2)5 r C 2rx103 r,由 103 r4,得 r2,所以 x4的系数r5 (2x)r r5为 C 2240.252(2018郑州第一次质量预测)在 的展开式中,各项系数和与二项式系数和(x 3x)n 之比为 321,则 x2的系数为( )A50 B70C90
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