【江苏卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学试卷(含答案)
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1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学注意事项:考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的制定位置作答,在其他位置作答一律无效。5.如需作图,须用 2B 铅
2、笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。参考公式:样本数据 的方差 ,其中12,nx221niisx1nix棱柱的体积公式: =Sh,其中 S 是棱柱的底面积,h 为高.V棱锥的体积公式: Sh,其中 S 是棱锥的底面积,h 为高.31、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 则 _. 1,26|23ABx=AB2.复数 其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是_. (i)3,z3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 的焦距是_. 2173xy4.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是_. 5.
3、函数 y= 的定义域是 .23x-6.如图是一个算法的流程图,则输出的 a 的值是 .7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 .8.已知a n是等差数列,S n是其前 n 项和.若 a1+a22=3,S 5=10,则 a9 的值是 .9.定义在区间0,3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 .10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆 的右焦点,直线 与椭圆交于2()ba 02byB,C 两点,且 ,则该椭圆的离心率是 .90BC(第 10 题
4、)11.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 1,1)上, 其中 ,10,()25xaf.aR若 ,则 f(5a)的值是 .59()(2f12. 已知实数 x,y 满足 ,则 x2+y2 的取值范围是 .2403yx13.如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点, , ,4BAC1F则 的值是 . BEC14.在锐角三角形 ABC 中,若 sinA=2sinBsinC,则 tanAtanBtanC 的最小值是 . 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.
5、(本小题满分 14 分)在 中,AC=6,ABC4cos.5BC=,(1)求 AB 的长;(2)求 的值. cos(6-)16.(本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 ,1DAF.11AC求证:(1)直线 DE平面 A1C1F;(2)平面 B1DE平面 A1C1F. 17.(本小题满分 14 分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥 ,下部分的形状是正1PABCD四棱柱 (如图所示),并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的四倍.1ABCD 1OO(1) 若 则仓库的容积是多
6、少?6m,2,PO(2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 为多少时,仓库的容积最大?1P18. (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M: 及其上一点21460xyyA(2,4)(1) 设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程;(2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程;(3) 设点 T(t,0)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 ,求实数 t 的取值范围。TAP19. (本小题满分 16 分)已知函数 .()(0,1,)
7、xfabab(1) 设 a=2,b= .12 求方程 =2 的根;()fx若对任意 ,不等式 恒成立,求实数 m 的最大值;R()f(6fmx(2)若 ,函数 有且只有 1 个零点,求 ab 的值.01ab 2g20.(本小题满分 16 分)记 .对数列 和 的子集 T,若 ,定义 ;若 ,1,20U, *naNU0TS12,ktt,定义 .例如: 时, .现设 是公比为 3 的等12+kTtttSa=1,36T136+Sa*naN比数列,且当 时, .=,40S(1) 求数列 的通项公式;n(2) 对任意正整数 ,若 ,求证: ;1k1,2kT, 1TkSa(3)设 ,求证: .,CDUSC
8、DS数学(附加题)21.【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 【选修 41 几何证明选讲 】 (本小题满分 10 分)如图,在ABC 中,ABC=90,BD AC ,D 为垂足,E 是 BC 的中点,求证:EDC=ABD .B.【选修 42:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)已知矩阵 矩阵 B 的逆矩阵 ,求矩阵 AB.1,0A1=20C.【选修 44:坐标系与参数方程 】 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参
9、数) ,椭圆 C 的参数方程123xty为 ( 为参数) .设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.cos,2inxyD.【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分)设 a0 ,| x-1| ,|y-2| ,求证:|2x+y-4|a.3【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x-y-2=0,抛物线 C:y 2=2px(p0).(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方
10、程;(2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证:线段 PQ 的中点坐标为( 2-p,-p) ;求 p 的取值范围.23.(本小题满分 10 分)(1)求 的值;3467C(2)设 m,n N*, nm,求证: (m+1 ) +(m+2 ) +(m+3 ) +n +( n+1) =(m+1) .1+2C1mC+2n参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基础思想方法,每小题 5 分,共计 70 分1. 1,22.53. 04.0.15. 3,16.97. 5.68.20.9.7.10. 6311. 2512. 4,113. 7814.8.二、解答题15.本
11、小题主要考查正余弦定理、同角三角函数关系与两角和的三角函数,考查运算求解能力,满分 14 分解(1)因为 所以4cos,0,5B2243sin1cos1(),5B由正弦定理知 ,所以siniACB26sin5.3ACB(2)在三角形 ABC 中 ,所以().于是 cosA(BC)cos()cossin,44又 ,故43,in,5232510A因为 ,所以07si1cos10因此 23726cos()coin .66100A 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力,满分 14 分证明:(1)在直三棱柱 中,1ABC1/AC在三角形 AB
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