【全国Ⅲ卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学（文科）试卷（含答案解析）

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1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文 数本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A=0,2,4,6,8,10,B=4,8,则 AB=( ) A.4,8 B.0,2,6 C.0,2,6,10 D.0,2,4,6,8,102.若 z=4+3i,则 =( )|A.1 B.-1 C. + I D. - i4535 45353.已知向量 = , = ,则ABC=( )(12,32)(32,12)A.30 B.45 C.60 D.1204.某

2、旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ,B 点表示四月的平均最低气温约为 5 .下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在 0 以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20 的月份有 5 个5.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A. B. C. D.815 18 115 1306.若 tan

3、=- ,则 cos 2=( )13A.- B.- C. D.45 15 15 457.已知 a= ,b= ,c=2 ,则( )243 323 513A.bb0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P2222为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 34第卷(非选择题,共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共 4 小题,

4、每小题 5 分.13.设 x,y 满足约束条件 则 z=2x+3y-5 的最小值为 . 2-+10,-2-10,1, 14.函数 y=sin x- cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右平移 个单位3长度得到. 15.已知直线 l:x- y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于3C,D 两点.则|CD|= . 16.已知 f(x)为偶函数,当 x0 时, f(x)=e -x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分

5、)已知各项都为正数的数列a n满足 a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.2()求 a2,a3;()求a n的通项公式.18.(本小题满分 12 分)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.()由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明;()建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据: yi=9.32, tiyi=40.17, =0.55, 2.646.7=1 7=1 7=1(-)2 7参考公式:相关系数 r= ,=1(-)(-)

6、=1(-)2=1(-)2回归方程 = + t 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为: = , = - . =1(-)(-)=1(-)2 19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.()证明 MN平面 PAB;()求四面体 N-BCM 的体积.20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点.()若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ

7、 的中点,证明 ARFQ;()若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ln x-x+1.()讨论 f(x)的单调性;()证明当 x(1,+)时,11,证明当 x(0,1)时,1+(c-1)xc x.请考生在第 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图,O 中 的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点.()若PFB=2PCD,求PCD 的大小;()若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明 OGCD.23.(

8、本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点,=3,=以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin =2 .(+4) 2()写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;()设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.24.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 f(x)=|2x-a|+a.()当 a=2 时,求不等式 f(x)6 的解集;()设函数 g(x)=|2x-1|.当 xR 时, f(x)+g(x)3,求 a 的取值范

9、围.2016年普通高等学校招生全国统一考试( 课标全国卷)一、选择题1.C 由补集定义知 AB=0,2,6,10,故选 C.2.D 由 z=4+3i 得|z|= =5, =4-3i,则 = - i,故选 D.32+42 | 45353.A cosABC= = ,所以 ABC=30,故选 A.| 324.D 由雷达图易知 A、C 正确. 七月份平均最高气温超过 20 ,平均最低气温约为 13 ;一月份平均最高气温约为 6 ,平均最低气温约为 2 ,所以七月的平均温差比一月平均温差大,故 B 正确. 由题图知平均最高气温超过 20 的月份为六、七、八月,有 3 个. 故选 D.疑难突破 本题需认真

10、审题,采用估算的方法来求解.5.C 小敏输入密码的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共 15 种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 .1156.D 解法一 :cos 2=cos2-sin2=222+2= = .故选 D.121+245解法二:由 tan =- ,可得 sin = ,13 110因而 cos 2=1-2sin2= .457.A a= = ,c=2 = ,而函数 y= 在(0,+)上单调递

11、增, 所以 16,则输出 n 的值为 4,故选 B.9.D 解法一 :过 A 作 ADBC 于 D,设 BC=a,由已知得 AD= ,B= ,AD=BD,BAD= ,3 4 4BD= ,DC= a,tanDAC= =2.3 23 tanBAC=tan = = =-3.(4+) 4+141+212cos2BAC= = ,sinBAC= = .故选 D.11+2110 1231010解法二:过 A 作 ADBC 于 D,设 BC=a,由已知得AD= ,B= ,AD=BD,BD=AD= ,DC= a,AC= = a,在ABC 中, 由正弦定理得3 4 3 23 (3)2+(23)2 53= ,sin

12、BAC= .故选 D.5345 3101010.B 由三视图可知,该几何体是底面为正方形( 边长为 3),高为 6,侧棱长为 3 的斜四棱柱.5其表面积 S=232+233 +236=54+18 .故选 B.5 5易错警示 学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为 6,或漏算了两底面的面积而致错.11.B 易得 AC=10.设底面 ABC 的内切圆的半径为 r,则 68= (6+8+10)r,所以 r=2,因12 12为 2r=43,所以最大球的直径 2R=3,即 R= .此时球的体积 V= R3= .故选 B.32 43 9212.A 解法一:设点 M(-c,y0),OE 的中点为 N,则直

13、线 AM 的斜率 k= ,从而直线 AM 的方程0为 y= (x+a),令 x=0,得点 E 的纵坐标 yE= .0 0同理,OE 的中点 N 的纵坐标 yN= .0+因为 2yN=yE,所以 = ,即 2a-2c=a+c,所以 e= = .故选 A.2+ 1 13解法二:如图,设 OE 的中点为 N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,PFy 轴, = = ,| | = = ,| | +又 = ,即 = ,| |2| +2a=3c,故 e= = .13方法总结 利用点 M的坐标为参变量 ,通过中点坐标公式建立等式,再利用方程的思想求解.二、填空题

14、13. 答案 -10解析 可行域如图所示(包括边界),直线 2x-y+1=0 与 x-2y-1=0 相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z 取最小值,z min=-10.14. 答案 3解析 函数 y=sin x- cos x=2sin 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右平移 个3 (3) 3单位长度得到.方法总结 本题首先要将函数化为 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的形式再求解,另外要注意图象平移的方向.15. 答案 4解析 圆心(0,0)到直线 x- y+6=0 的距离 d= =3,|AB|=2 =2 ,过 C 作361+3 1232 3CEBD

15、于 E,因为直线 l 的倾斜角为 30,所以|CD|= = = =4.|30 |30 2332解后反思 本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解.16. 答案 y=2x解析 当 x0 时,-x0),点(1,2)在曲线 y=f(x)上,易知 f (1)=2,故曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 y-2=f (1)(x-1),即 y=2x.易错警示 注意 f (1)的求解方法 ,易因忽略 x的取值范围而直接求 f(x)=e-x-1-x的导数致错.三、解答题17. 解析 ()由题意得 a2= ,a3= .(5 分)12 14()由 -(2an+1-1)an-

16、2an+1=0 得 2an+1(an+1)=an(an+1).2因为a n的各项都为正数,所以 = .+1 12故a n是首项为 1,公比为 的等比数列,因此 an= .(12 分)12 12118. 解析 ()由折线图中数据和附注中参考数据得=4, (ti- )2=28, =0.55,7=1 7=1()2(ti- )(yi- )= tiyi- yi=40.17-49.32=2.89,7=1 7=1 7=1r 0.99.(4 分)2.890.5522.646因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.(6

17、 分)()由 = 1.331 及()得 = = 0.10,9.327 7=1()()7=1()2 2.8928= - =1.331-0.1040.93.所以 y 关于 t 的回归方程为 =0.93+0.10t.(10 分)将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得 : =0.93+0.109=1.83.所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.83 亿吨.(12 分)思路分析 先根据折线图及参考数据求解相关系数 r,再对相关系数 r的意义进行阐述,然后根据最小二乘法得出线性回归系数,注意运算的准确性.19. 解析 ()证明 :由已知得 AM= AD=2,23取 BP 的中点

18、 T,连结 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TNBC,TN= BC=2.(3 分)12又 ADBC,故 TNAM,故四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MNAT.因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.(6 分)()因为 PA平面 ABCD,N 为 PC 的中点, 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.(9 分)12取 BC 的中点 E,连结 AE.由 AB=AC=3 得 AEBC,AE= = .22 5由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 ,5故 SBCM= 4 =2 .12 5 5所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM= SBCM = .(

19、12 分)13 2 45320. 解析 由题设知 F .设 l1:y=a,l2:y=b,易知 ab0,(12,0)且 A ,B ,P ,Q ,R .(22,) (22,) (12,) (12,) (12,+2)记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(3 分)()由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则k1= = = = =-b=k2.1+2 21所以 ARFQ.(5 分)()设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF= |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF= .12 12 |1

20、12| |2由题设可得 2 |b-a| = ,所以 x1=0(舍去)或 x1=1.12 |112| |2设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE可得 = (x1).2+ 1而 =y,所以 y2=x-1(x1).+2当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.(12 分)易错警示 容易漏掉直线 AB与 x轴垂直的情形而失分.21. 解析 ()由题设知 , f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -1,令 f (x)=0,解得 x=1.1当 00, f(x)单调递增; 当 x1 时, f (x)1,设

21、g(x)=1+(c-1)x-cx,则 g(x)=c-1-cxln c,令 g(x)=0,解得 x0= .1当 x0,g(x) 单调递增; 当 xx0时,g(x)0.所以当 x(0,1)时,1+(c-1)xc x.(12 分)疑难突破 在() 中, 首先要解方程 g(x)=0,为了判定 g(x)的单调性 ,必须比较极值点 x0与区间(0,1)的关系,注意到 g(0)=g(1)=0是求解本题的突破点.22. 解析 ()连结 PB,BC,则BFD=PBA+BPD,PCD=PCB+ BCD.因为 = ,所以PBA= PCB,又BPD=BCD,所以BFD=PCD.又PFB+ BFD=180,PFB=2P

22、CD,所以 3PCD=180,因此PCD=60.(5 分)()因为 PCD=BFD,所以EFD+PCD=180,由此知 C,D,F,E 四点共圆,其圆心既在 CE的垂直平分线上,又在 DF 的垂直平分线上, 故 G 就是过 C,D,F,E 四点的圆的圆心,所以 G 在CD 的垂直平分线上.又 O 也在 CD 的垂直平分线上, 因此 OGCD.(10 分)方法总结 三角形和四边形的外接圆的圆心是各边中垂线的交点.因此中点、垂直、圆心是紧紧相连、相互转化、相互作用的.23. 解析 ()C 1的普通方程为 +y2=1.23C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.(5 分)()由题意 ,可设点 P 的直

23、角坐标为( cos ,sin ).因为 C2是直线, 所以|PQ| 的最小值即为 P3到 C2的距离 d()的最小值,d()= = .(8 分)|3+4|2 2|(+3)2|当且仅当 =2k+ (kZ)时,d()取得最小值,最小值为 ,此时 P 的直角坐标为 .(10 分)6 2 (32,12)思路分析 求圆上一动点到直线上点的距离的最小值时,利用圆的参数方程化为三角函数的最值问题,能极大提高解题效率 .24. 解析 ()当 a=2 时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2 6 得-1 x3.因此 f(x)6 的解集为 x|-1x3.(5 分)()当 xR 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当 x= 时等号成立,12所以当 xR 时, f(x)+g(x)3 等价于|1-a|+a 3.(7 分)当 a1 时,等价于 1-a+a3,无解.当 a1 时,等价于 a-1+a3,解得 a2.所以 a 的取值范围是2,+).(10 分)方法总结 含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法:一是利用|ab| |a|+|b|;二是利用数形结合的思想方法.