【全国Ⅰ卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学（文科）试卷（含答案解析）

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1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文 数本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A=1,3,5,7,B=x|2x5,则 AB=( )A.1,3 B.3,5 C.5,7 D.1,72.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( )A.-3 B.-2 C.2 D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的

2、概率是( )A. B. C. D.13 12 23 564.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= ,c=2,cos A= ,则 b=( )523A. B. C.2 D.32 35.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则该椭圆14的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 346.将函数 y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为( )(2+6) 14A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin(2+4) (2+3) (2-4)(2-3)7.如图,某几何体的三视图是三个

3、半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( )283A.17 B.18 C.20 D.288.若 ab0,0cb9.函数 y=2x2-e|x|在-2,2的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1,则输出 x,y 的值满足( )A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x11.平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 33 1312.若函数 f(x)=x- sin 2x+as

4、in x 在(-,+)单调递增,则 a 的取值范围是( )13A.-1,1 B. C. D.-1,13 -13,13 -1,-13第卷(非选择题,共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.13.设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 ab,则 x= . 14.已知 是第四象限角,且 sin = ,则 tan = . (+4) 35 (-4)15.设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 ,则圆

5、 C 的面积为 3. 16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知a n是公差为 3 的等差数列,数列b

6、n满足 b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.13()求a n的通项公式;()求b n的前 n 项和.18.(本小题满分 12 分)如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D在平面 PAB 内的正投影为点 E,连结 PE 并延长交 AB 于点 G.()证明:G 是 AB 的中点;()在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积.19.(本小题满分 12 分)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零

7、件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数.()若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式;()若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值;()假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计

8、算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?20.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H.()求 ;|()除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.()讨论 f(x)的单调性;()若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.请考生在第 2224

9、 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图,OAB 是等腰三角形,AOB=120.以 O 为圆心, OA 为半径作圆.12()证明:直线 AB 与O 相切;()点 C,D 在O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:ABCD.23.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数,a0).在以坐标原点为=,=1+极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:=4cos .()说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;()直线 C3的极坐标方程

10、为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在C3上,求 a.24.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|.()画出 y=f(x)的图象;()求不等式|f(x)|1 的解集.2016 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.B A=1,3,5,7,B=x|2x5,AB=3,5,故选 B.2.A (1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,a-2=2a+1,解得 a=-3,故选 A.解后反思 将复数化为 x+yi(x,yR)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.3.C 从红、黄、白、紫 4

11、种颜色的花中任选 2 种有以下选法:(红黄)、( 红白)、(红紫) 、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共 6 种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有 4 种,所以所求事件的概率 P= = ,故选 C.4623解后反思 从 4 种颜色的花中任选 2 种共有 6 种情况, 不重不漏地列举出所有情况是解题关键.4.D 由余弦定理得 5=22+b2-22bcos A,cos A= ,3b 2-8b-3=0,b=3 .故23 (=13舍去 )选 D.5.B 如图,|OB|为椭圆中心到 l 的距离,则|OA| |OF|=|AF|OB|,即 bc=a ,所以 e= = .

12、故选 B.2 12易错警示 椭圆中心到直线 l 的距离为 2b= ,容易将短轴长误认为 b.14 26.D 该函数的周期为 ,将其图象向右平移 个单位后, 得到的图象对应的函数为 y=2sin4=2sin ,故选 D.2(4)+6 (23)易错警示 三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对 x 而言的, 将 x 变为 x- ,而不是将 2x4变为 2x- .47.A 由三视图知该几何体为球去掉了 所剩的几何体( 如图),设球的半径为 R,则 R 3= ,故18 78 43 283R=2,从而它的表面积 S= 4R 2+ R 2=17. 故选 A.78 34解后反思 球的表面积公式和体积公式要

13、记准、记牢;在计算表面积时“不重不漏” 是关键所在.8.B 0b1 时,log aclogbc,A 项错误;0b0,log cab0,a cbc,C 项错误;0b0,c a0,所以存在 x0(0,2), 使得 y=0,故选 D.10.C 执行程序框图 :当 n=1 时,x=0,y=1,此时 02+1236 不成立;当 n=2 时,x= ,y=2,此时12+2236 不成立;当 n=3 时,x= ,y=6,此时 +6236 成立 ,结束循环,输出 x 的值为 ,y 的值(12)2 32 (32)2 32为 6,满足 y=4x,故选 C.11.A 设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a.

14、将正方体 ABCD-A1B1C1D1补成棱长为 2a 的正方体,如图所示.正六边形 EFGPQR 所在的平面即为平面 .点 A 为这个大正方体的中心,直线 GR 为 m,直线 EP 为 n.显然 m 与 n 所成的角为 60.所以 m,n 所成角的正弦值为 .故32选 A.疑难突破 通过补体,利用正方体的性质 ,再根据线面平行的判定和性质画出平面 ,进而找到直线 m 和 n 是解题的突破口.12.C f (x)=1- cos 2x+acos x=1- (2cos2x-1)+acos x=- cos2x+acos x+ , f(x)在 R 上单调递23 23 43 53增,则 f (x)0 在

15、R 上恒成立, 令 cos x=t,t-1,1,则- t2+at+ 0 在-1,1上恒成立,即 4t2-3at-43 5350 在-1,1上恒成立,令 g(t)=4t2-3at-5,则 解得- a ,故选 C.(1)=4350,(1)=4+350, 13 13疑难突破 由函数的单调性求参数范围,利用导数将问题转化为恒成立问题, 再利用二次函数来解决.二、填空题13. 答案 -23解析 因为 ab,所以 x+2(x+1)=0,解得 x=- .23易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.14. 答案 -43解析 解法一:sin = (sin +cos )= ,(+4) 22 35

16、sin +cos = ,3252sin cos =- .725 是第四象限角,sin 0,sin -cos =- =- ,12425由得 sin =- ,cos = ,tan =- ,210 7210 17tan = =- .(4) 11+ 43解法二: + = ,(+4) (4) 2sin =cos = ,(+4) (4) 35又 2k- 19 时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以 y 与 x 的函数解析式为y= (xN).(4 分)3 800, 19,5005 700,19()由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46,不大于 19 的频率为

17、0.7,故 n 的最小值为 19.(5 分)()若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件, 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元,20 台的费用为 4 300 元,10 台的费用为 4 800 元,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (3 80070+4 30020+4 80010)=4 000(元).1100(7 分)若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件, 则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4 000 元,10 台的费用为 4 500 元, 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数

18、为 (4 00090+4 50010)=4 050(元).(10 分)1100比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.(12 分)思路分析 先写出 y 与 x 的函数关系式(分段函数),然后分别求所需费用的平均数,通过比较两个平均数的大小可得所求结果.20. 解析 ( ) 由已知得 M(0,t),P .(1 分)(22,)又 N 为 M 关于点 P 的对称点 ,故 N ,ON 的方程为 y= x,代入 y2=2px 整理得 px2-2t2x=0,(2,) 解得 x1=0,x2= .22因此 H .(4 分)(22,2)所以 N 为 OH 的中点,即 =2.(6 分)

19、|()直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.(7 分)理由如下:直线 MH 的方程为 y-t= x,即 x= (y-t).(9 分)2 2代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.(12 分)方法总结 将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.21. 解析 ( )f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)设 a0,则当 x(- ,1) 时, f (x)0.所以 f(x)在(-,1)单调递减, 在

20、(1,+)单调递增.(2 分)(ii)设 a- ,则 ln(-2a)0;当 x(ln(-2a),1)时, f (x)1,故当 x(-,1)(ln(-2a),+) 时, f (x)0;当 x(1,ln(-2a)时, f (x)0,则由 ()知, f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.又 f(1)=-e, f(2)=a,取 b 满足 b (b-2)+a(b-1)2=a 0,2 (232)所以 f(x)有两个零点.(8 分)(ii)设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,所以 f(x)只有一个零点.(9 分)(iii)设 a0 时函数2零点的个数时,注意利用不等式的放缩 .22. 证

21、明 ( ) 设 E 是 AB 的中点, 连结 OE.因为 OA=OB,AOB=120,所以 OEAB, AOE=60.(2 分)在 RtAOE 中,OE= AO,即 O 到直线 AB 的距离等于O 半径,所以直线 AB 与O 相切.(512分)()因为 OA=2OD,所以 O 不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心 .设 O是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线 OO.(7 分)由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上 ,又 O在线段 AB 的垂直平分线上, 所以 OOAB.同理可证,OOCD.所以 ABCD.(10 分)23. 解析 ( ) 消去参数 t 得到 C1的普通方程:x 2

22、+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2 分)将 x=cos ,y=sin 代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标方程为 2-2sin +1-a2=0.(4 分)()曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6 分)22+12=0,=4. 若 0,由方程组得 16cos2 -8sin cos +1-a 2=0,(8 分 )由已知 tan =2,可得 16cos2-8sin cos =0, 从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去)或 a=1.a=1 时,极点也为 C1,C2的公共点,在 C3上.所以 a=1.(10 分)易错警示 对“互化” 过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因 .24. 解析 ( )f(x)= (4 分)4,1,32,132, y=f(x)的图象如图所示.(6 分)()由 f(x)的表达式及图象知 ,当 f(x)=1 时, 可得 x=1 或 x=3;当 f(x)=-1 时,可得 x= 或 x=5,(8 分)13故 f(x)1 的解集为x|15所以|f(x)|1 的解集为 .(10 分)|5