【全国Ⅱ卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学（文科）试卷（含答案解析）

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1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文 数本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=1,2,3,B=x|x20)与 C 交于点 P,PFx 轴,则 k=( )A. B.1 C. D.212 326.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( )A.- B.- C. D.243 34 37.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20 B.24

2、C.28 D.328.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( )A. B. C. D.710 58 38 3109.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=( )A.7 B.12 C.17 D.3410.下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=111.函数 f(x)=cos 2x+6co

3、s 的最大值为( )(2-)A.4 B.5 C.6 D.712.已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)=f(2-x),若函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则 =( )=1A.0 B.m C.2m D.4m第卷(非选择题,共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.13.已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 ab,则 m= . 14.若 x,y 满足约束条件 则 z=x-2y 的

4、最小值为 . -+10,+-30,-30, 15.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= . 45 51316.有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)等差数列a n中,a 3+a4=4,a5+a7=6.()求a n的通项

5、公式;()设 bn=an,求数列b n的前 10 项和,其中x表示不超过 x 的最大整数,如0.9=0,2.6=2.18.(本小题满分 12 分)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数 0 1 2 3 4 5频数 60 50 30 30 20 10()记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计值;()记 B

6、为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.求P(B)的估计值;()求续保人本年度平均保费的估计值.19.(本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置.()证明:ACHD;()若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D-ABCFE 的体积.54 220.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).()当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程

7、;()若当 x(1,+)时, f(x)0,求 a 的取值范围.21.(本小题满分 12 分)已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,2423MANA.()当|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;()当 2|AM|=|AN|时,证明: 0)得 k=12=2,故选 D.6.A 由圆的方程可知圆心为(1,4). 由点到直线的距离公式可得 =1,解得 a=- ,故选 A.|1+41|2+1 43易错警示 圆心的坐标容易误写为(-1,-4) 或(2,8).7.C 由三视图知圆锥的高为 2 ,底面半径为 2,则圆锥的母线长为 4,

8、所以圆锥的侧面积为344=8.圆柱的底面积为 4,12圆柱的侧面积为 44=16,从而该几何体的表面积为 8+16+4=28,故选 C.8.B 行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口, 即满足至少需要等待 15 秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率 P= = ,故选 B.2540589.C 执行程序框图,输入 a 为 2 时,s=02+2=2,k=1,此时 k2 不成立; 再输入 a 为 2 时,s=22+2=6,k=2,此时 k2 不成立;再输入 a 为 5,s=62+5=17,k=3,此时 k2 成立,结束循环,输出 s 为 17,故选 C.10.D 函数 y=10lg x

9、的定义域、值域均为(0,+ ),而 y=x,y=2x的定义域均为 R,排除A,C;y=lg x 的值域为 R,排除 B,故选 D.易错警示 利用对数恒等式将函数 y=10lg x变为 y=x,将其值域认为是 R是失分的主要原因.11.B f(x)=1-2sin 2x+6sin x=-2 + ,当 sin x=1 时, f(x)取得最大值 5,故选 B.(32)2112思路分析 利用二倍角余弦公式及诱导公式将 f(x)=cos 2x+6cos 转化为关于 sin x的(2)二次函数,通过配方来求最值 ,注意不要忘记 sin x-1,1.12.B 由题意可知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,

10、 而 y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1 对称,所以两个图象的交点关于直线 x=1 对称,且每对关于直线 x=1 对称的交点的横坐标之和为 2,所以 xi=m,故选 B.=1疑难突破 关于直线 x=1 对称的两点横坐标之和为 2,由题意得出 f(x)与 y=|x2-2x-3|的图象均关于直线 x=1 对称是解题的关键 .二、填空题13. 答案 -6解析 因为 ab,所以 = ,解得 m=-6.3 42易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.14. 答案 -5解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线 x-2y-z=0 过点B(3,4

11、)时 ,z 取得最小值 ,zmin=3-24=-5.15. 答案 2113解析 由 cos C= ,00 等价于 ln x- 0.(4 分)(1)+1设 g(x)=ln x- ,则(1)+1g(x)= - = ,g(1)=0.(6 分)1 2(+1)22+2(1)+1(+1)2(i)当 a2,x(1,+) 时,x 2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故 g(x)0,g(x)在(1,+ )单调递增,因此 g(x)0;(8 分)(ii)当 a2 时,令 g(x)=0 得x1=a-1- ,x2=a-1+ .(10 分)(1)21 (1)21由 x21 和 x1x2=1 得 x10.由已知及椭圆的

12、对称性知,直线 AM 的倾斜角为 .4又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.(2 分)将 x=y-2 代入 + =1 得 7y2-12y=0.2423解得 y=0 或 y= ,所以 y1= .127 127因此AMN 的面积 SAMN=2 = .(4 分)12 127 127 14449()将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k0)代入 + =1 得2423(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由 x1(-2)= 得 x1= ,162123+42 2(342)3+42故|AM|=|x 1+2| = .1+2121+23+42由题设,直线 AN 的方程为 y

13、=- (x+2),1故同理可得|AN|= .(7 分)121+232+4由 2|AM|=|AN|得 = ,即 4k3-6k2+3k-8=0.(9 分)23+42 32+4设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k 是 f(t)的零点, f (t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以 f(t)在(0,+)单调递增.又 f( )=15 -260,因此 f(t)在(0,+) 有唯一的零点 ,且零点 k 在( ,2)内,所以3 3 3-1;(3 分)12当- x 时, f(x)2;(4 分)12 12当 x 时,由 f(x)2 得 2x2,解得 x1,(5 分)12所以 f(x)2 的解集 M=x|-1x1.(6 分)()证明:由( )知,当 a,bM 时,-1a1,-1b1,从而(a+b) 2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|1+ab|.(10 分)