【全国Ⅲ卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（含答案解析）

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1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理 数本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本题共 12 小题 ,每小题 5 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 S=x|(x-2)(x-3)0,T=x|x0,则 ST=( ) A.2,3 B.(-,23,+) C.3,+) D.(0,23,+)2.若 z=1+2i,则 =( )4-1A.1 B.-1 C.i D.-I3.已知向量 = , = ,则ABC=( )(12, 32)(32,12)A.30 B.45 C.60 D.1204.某旅游城市为向游客介绍本地

2、的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温 约为 15 ,B 点表示四月的平均最低气温约为 5 .下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在 0 以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20 的月份有 5 个5.若 tan = ,则 cos2+2sin 2=( )34A. B. C.1 D.6425 4825 16256.已知 a= ,b= ,c=2 ,则 ( )243 425 513A.bb0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右2222顶点.P 为 C 上一点,

3、且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 ( )A. B. C. D.13 12 23 3412.定义“规范 01 数列”a n如下:a n共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k2m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数,若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有( )A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个第 卷(非选择题,共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 2224 题为选考题,考

4、生根据要求作答.二、填空题:本题共 4 小题 ,每小题 5 分.13.若 x,y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为 . -+10,-20,+2-20,14.函数 y=sin x- cos x 的图象可由函数 y=sin x+ cos x 的图象至少向右平移 3 3个单位长度得到. 15.已知 f(x)为偶函数,当 x0,记|f(x)|的最大值为 A.()求 f (x);()求 A;()证明|f (x)|2A.请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第一题计分.22.(本小 题满分 10 分) 选修 41:几何证明选讲如图,O 中 的中点为 P,弦 PC,P

5、D 分别交 AB 于 E,F 两点.()若 PFB=2PCD,求 PCD 的大小;()若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明 OGCD.23.(本小 题满分 10 分) 选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点=3,=为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin=2 .(+4) 2()写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;()设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,求|PQ| 的最小值及此 时 P 的直角坐标.24.(本小 题满分 10 分) 选修 45:不等式选讲已

6、知函数 f(x)=|2x-a|+a.()当 a=2 时,求不等式 f(x)6 的解集;()设函数 g(x)=|2x-1|.当 xR 时, f(x)+g(x)3,求 a 的取值范围.2016 年普通高等学校招生全国统一考试( 课标全国卷)一、选择题1.D S=x|(x-2)(x-3)0=x|x2 或 x3,在数轴上表示出集合 S,T,如图所示:由图可知 ST=(0,23,+),故选 D.方法总结 解决集合运算问题常常要数形结合,数轴是解决这类问题的一把“利器”.2.C z =(1+2i)(1-2i)=5, = =i,故选 C.41443.A cosABC= = ,所以ABC=30,故选 A.|

7、324.D 由雷达图易知 A、C 正确;七月的平均最高气温超过 20 ,平均最低气温约为 12 ,一月的平均最高气温约为 6 ,平均最低气温约为 2 ,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故 B 正确;由雷达图知平均最高气温超过 20 的月份有 3 个月.故选 D.疑难突破 本题需认真审题,仔细观察图形, 采用估算的方法来求解 .5.A 当 tan = 时,原式=cos 2+4sin cos = = = = ,故选 A.34 2+42+2 1+42+11+434916+1 6425解后反思 将所求式子的分母 1 用 sin2+cos2 代替, 然后分子、分母同除以 cos2,得到关于 tan

8、 的式子,这是解决本题的关键 .6.A 因为 a= = ,c=2 = ,函数 y= 在(0,+)上单调递增,所以 0),结合题意知 AD=BD=a,DC=2a.以 D 为原点,DC,DA 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系, 则 B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a), =(2a,-a),所以| |= a,| |= a,所以 cosBAC= = =- ,故选 2 5| 22+225 1010C.9.B 由三视图可知,该几何体的底面是边长为 3 的正方形,高为 6,侧棱长为 3 ,则该几何体5的表面积 S=232+233 +236=54+18 .故选 B

9、.5 5易错警示 由于空间想象能力较差,误认为侧棱长为 6,或漏算了两底面的面积是造成失分的主要原因.10.B 易知 AC=10.设底面ABC 的内切圆的半径为 r,则 68= (6+8+10)r,所以 r=2,因12 12为 2r=43,所以最大球的直径 2R=3,即 R= .此时球的体积 V= R3= .故选 B.32 43 9211.A 由题意知过点 A 的直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为 y=k(x+a),当x=-c 时,y=k(a-c), 当 x=0 时,y=ka, 所以 M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图, 设 OE 的中点为 N,则 N,由于 B

10、,M,N 三点共线,所以 kBN=kBM,即 = ,所以 = ,即 a=3c,所以 e= .故选 A.(0,2) 2() 12+ 13思路分析 根据题意设过点 A 的直线 l 的方程,从而求出点 M 和点 E 的坐标, 进一步写出线段 OE 中点的坐标,利用三点共线建立关于 a,c 的方程, 得到 a,c 的关系式,从而求出椭圆的离心率.求解本题的关键在于写出各对应点的坐标 ,难点在于参数的选择 .12.C 当 m=4 时,数列a n共有 8 项, 其中 4 项为 0,4 项为 1,要满足对任意 k8,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数,则必有 a1=0,a8=1,a2 可为 0

11、,也可为 1.(1)当 a2=0 时, 分以下 3种情况:若 a3=0,则 a4,a5,a6,a7 中任意一个为 0 均可,则有 =4 种情况; 若 a3=1,a4=0,则14a5,a6,a7 中任意一个为 0 均可, 有 =3 种情况; 若 a3=1,a4=1,则 a5 必为 0,a6,a7 中任一个为130 均可,有 =2 种情况;(2)当 a2=1 时,必有 a3=0,分以下 2 种情况:若 a4=0,则 a5,a6,a7 中任12一个为 0 均可,有 =3 种情况;若 a4=1,则 a5 必为 0,a6,a7 中任一个为 0 均可,有 =2 种情13 12况.综上所述,不同的“规范 0

12、1 数列” 共有 4+3+2+3+2=14 个,故选 C.解后反思 本题是“新定义”问题, 首先理解清“ 规范 01 数列”的定义是解题的关键,注意分类讨论时要不重不漏.二、填空题13. 答案 32解析 由题意画出可行域(如图所示),其中 A(-2,-1),B ,C(0,1),由 z=x+y 知 y=-x+z,当直(1,12)线 y=-x+z 过点 B 时,z 取最大值 .(1,12) 32解后反思 解决与线性规划有关的最值问题时,一定要注意目标函数的几何意义: 形如 z=的目标函数的最值问题,可转化为求可行域内的点 (x,y)与点(a,b)连线的斜率的最值问题;形如 z=(x-a)2+(y-

13、b)2 的目标函数的最值问题 ,可转化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)间距离的平方的最值问题.14. 答案 23解析 设 f(x)=sin x- cos x=2sin ,g(x)=sin x+ cos x=2sin ,将 g(x)的图象3 (+53) 3 (+3)向右平移 (0)个单位长度后得到函数 g(x-)=2sin =2sin =f(x)的图象,所(+3) (+53)以 x-+ =2k+x+ ,kZ,此时 =-2k- ,kZ,当 k=-1 时, 有最小值,为 .3 53 43 23易错警示 审题不清是失分的主要原因.15. 答案 y=-2x-1解析 令 x0,则-x0),则 f

14、(x)= -3(x0),f (1)=-2,1在点 (1,-3)处的切线方程为 y+3=-2(x-1),即 y=-2x-1.思路分析 根据函数 f(x)是偶函数, 求出 x0 时函数 f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.16. 答案 4解析 由题意可知直线 l 过定点(-3, ),该定点在圆 x2+y2=12 上,不妨设点 A(-3, ),由于3 3|AB|=2 ,r=2 ,所以圆心到直线 AB 的距离为 d= =3,又由点到直线的距离3 3 (23)2( 3)2公式可得 d= =3,解得 m=- ,所以直线 l 的斜率 k=-m= ,即直线 l 的倾斜角为 30.如|3

15、3|2+1 33 33图,过点 C 作 CHBD,垂足为 H,所以|CH|=2 ,在 RtCHD 中,HCD=30,所以3|CD|= =4.2330解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.三、解答题17. 解析 ()由题意得 a1=S1=1+a1,故 1,a1= ,a10.(2 分)11由 Sn=1+an,Sn+1=1+an+1 得 an+1=an+1-an,即 an+1(-1)=an.由 a10,0 得 an0,所以 = .+1 1因此a n是首项为 ,公比为 的等比数列,于是 an= .(6 分)11 1 11(1)1()由()得 Sn=1-

16、.由 S5= 得 1- = ,即 = .(1) 3132 (1)53132(1)5132解得 =-1.(12 分)思路分析 ()先由题设利用 an+1=Sn+1-Sn 得到 an+1 与 an 的关系式 ,要证数列是等比数列,关键是看 an+1 与 an 之比是否为一常数 ,其中说明 an0 是非常重要的.()利用第()问的结论解方程求出 .18. 解析 ()由折线图中数据和附注中参考数据得=4, (ti- )2=28, =0.55,7=1 7=1()2(ti- )(yi- )= tiyi- yi=40.17-49.32=2.89,7=1 7=1 7=1r 0.99.(4 分)2.890.55

17、22.646因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.(6 分)()由 = 1.331 及() 得 = = 0.10,9.327 7=1()()7=1()2 2.8928= - =1.331-0.1040.93.所以,y 关于 t 的回归方程为 =0.93+0.10t.(10 分)将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得 =0.93+0.109=1.83.所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.83 亿吨.(12 分)19. 解析 ()由已知得 AM= AD=2.23取 BP 的中

18、点 T,连结 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TNBC,TN= BC=2.(3 分)12又 ADBC,故 TN AM,故四边形 AMNT 为平行四边形, 于是 MNAT.因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.(6 分)()取 BC 的中点 E,连结 AE.由 AB=AC 得 AEBC,从而 AEAD,且 AE= = = .22 2(2)2 5以 A 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C( ,2,0),N ,5 (52,1,2)=(0,2,-4), = , = . (52

19、,1,2)(52,1,2)设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量 ,则 即 (10 分)=0,=0, 24=0,52+2=0,可取 n=(0,2,1).于是|cos|= = .| 8525即直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 .(12 分)8525方法总结 第()问中线面平行的证明: 可以通过构造平行四边形得出线线平行,从而进行证明,也可以取 BC 的中点,构造面面平行从而获证线面平行 .注意空间向量法是解决立体几何问题的常用方法.20. 解析 由题设知 F .设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab0,(12,0)且 A ,B ,P ,Q ,R .(22,) (22,) (

20、12,) (12,) (12,+2)记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(3 分)()由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则k1= = = = =-b=k2.1+221所以 ARFQ.(5 分)()设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF= |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF= .12 12 |112| |2由题设可得 2 |b-a| = ,所以 x1=0(舍去),或 x1=1.(8 分)12 |112| |2设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x

21、 轴不垂直时,由 kAB=kDE 可得 = (x1).而 =y,所以 y2=x-1(x1).2+ 1 +2当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合. 所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.(12 分)疑难突破 第()问求解关键是把 ARFQ 的证明转化为 kAR=kFQ 的证明;第()问需找到 AB中点所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系 .在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.21. 解析 ()f (x)=-2sin 2x-(-1)sin x.(2 分)()当 1 时,|f(x)|=|cos 2x+(-1)(cos x+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此 A=3-2.(4 分)当 0 .(5 分)14 13 15(i)当 00,知 g(-1)g(1)g .15 (14)又 -|g(-1)|= 0,所以 A= = .|(14)| (1)(1+7)8 |(14)| 2+6+18综上,A= (9 分)23,01,所以|f (x)|1+1 时,等价于 a-1+a3,解得 a2.所以 a 的取值范围是2,+).(10 分)方法总结 ()解含一个绝对值不等式利用|m(x)| n-nm(x)n 求解即可;()解决 f(x)+g(x)3 恒成立,只需 f(x)+g(x)的最小值 3 即可 ,利用|x|+|y|xy|来求最值即可.