【全国Ⅱ卷】2017年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（原卷+解析）

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1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试课标 II 理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

2、是符合题目要求的。1. （ ）31iA B C D2i12i2i2i2.设集合 ， 若 ，则 （ ）,440xm1AA B C D1,3, ,31,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D906342365.设 ， 满

3、足约束条件 ，则 的最小值是（ ）xy230xy2zxyA B C D159196.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的

4、，则输出的 （ ）1aSA2 B3 C4 D59.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则C:21xyab0ab24xy的离心率为（ ）A2 B C D322310.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与1CA10A11A所成角的余弦值为（ ）1A B C D32505311.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）x21()xfxae()fxA. B. C. D.113 3e12.已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是（ ）ABC ()PABCA. B. C. D.2431二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20

5、 分。13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二0.2 0等品件数，则 D14.函数 （ ）的最大值是 23sincos4fxx0,215.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a41S1nkS16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 若 为 的中FC:28yxCFyF点，则 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）的内角 所对的边分别为 ，已知

6、，ABC、 、 ,abc2sin()sinBAC（1）求 ；cos（2）若 ， 的面积为 ，求 6aABC218.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱

7、产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（ ）2 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82822()(nadbcK19.（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点.o1,90,2ABCDBAC（1）证明：直线 平面 PAB/E（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值o4520. （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足21xy.2NP(1) 求点 P 的

8、轨迹方程；设点 Q 在直线 x=-3 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 1OPQ21.（12 分）已知函数 ，且 。2lnfax0fx(1)求 ；(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .fx0220ef（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为1Ccos4（1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标

9、1C|16OM2C方程；（2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值(2,)32CAB23.选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 ，证明：30,ab（1） ；5()4（2） 绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试课标 II 理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确

10、定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. （ ）31iA B C D2i12i2i2i【答案】D2.设集合 ， 若 ，则 （ ）1,24240xm1AA B C D,31, ,31,5【答案】C【解析】由 得 ，所以 ， ，故选 C。31,B3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层

11、灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B【解析】塔的顶层共有灯 x 盏，则各层的灯数构成一个公比为 2 的等比数列，由 可得71238x，故选 B。3x4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）B B C D906342364.【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为，故选 B.2213643V5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）xy03xy2zxyA B C D

12、15919【答案】A6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】D【解析】 ,故选 D。2346C7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出

13、的 （ ）1aSA2 B3 C4 D5【答案】B【解析】 ,故选 B.01234563S9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则C:2xyab0ab24xy的离心率为（ ）A2 B C D3223【答案】A【解析】圆心到渐近线 距离为 ，所以 ，故选 A.0bxay21332bcae10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与1CAC02A1C1A所成角的余弦值为（ ）1A B C D325053【答案】C11.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）2x21()xfxae()fxA. B. C. D.113 35e【答案】 A【解析】由题可得 12121()2

14、)()()xx xfxaeaae 因为 ，所以 ， ，故(2)0ffe2fx令 ，解得 或 ，所以 在 单调递增，在 单调递减xx1()fx,2)(1,(,1)所以 极小值 ，故选 A。()f()f)e12.已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是（ ）ABC ()PABCA. B. C. D.23431【答案】二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二0.2 10等品件数，则 D【答案】1.96【解析】 ，所以 .10,.2XB10.29816DXn

15、p14.函数 （ ）的最大值是 23sincos4fxx0,2【答案】1【解析】 2 2311cosscos3s44fxxx， ，那么 ，当 时，函数取得最大值 1.3cos0,0,co2x15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a41S1nkS【答案】 21【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，所以 ，解得 ，所以1ad12340ad1ad，那么 ，那么1,2nnaS21nSn.1 12. 23 1k n 16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 若 为 的中FC:28yxCFyF点，则 【答案】6三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程

16、或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）的内角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC、 、 ,abc2sin()sinBAC（1）求 ；cosB（2）若 ， 的面积为 ，求 6aAC2b【答案】 （1） （2）15s7【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简 ，利用ACBsin()AC降幂公式化简 ，结合 求出 ；利用（1）中结论 ，利用勾股定理和2sinB22sincosBcos09B面积公式求出 ，从而求出 ac、 b试题解析：（1）由题设及 ，故2sin8

17、iAC得sin4-osB（ 1）上式两边平方，整理得 27c-3sB+15=0解得 cos=（ 舍 去 ） ，（2）由 ，故158sin7得 4asin217ABCScc又 2ABCSac， 则由余弦定理及 得622bosa(1c)75364B（ +c）所以 b=2【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边” ，另外要注意 三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎2,ac18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比

18、学|科网，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（4） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（5） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法（6） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（ ）2 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82822()(nadbcK（2） 50kg50kg旧养殖

19、法 6238新养殖法 34620(6348)15.70.819K有 的把握认为箱产量与养殖方法有关。9%（3）第 50 个网箱落入“ ”这组；0:取平均值 即为中位数的估计值。52.19.（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点.o1,90,2ABCDBAC（1）证明：直线 平面 PAB/E（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值o45（2）取 中点 ，连 ，由于 为正三角形ADOPAD P又平面 平面 ，平面 平面BCBCA 平面 ，连 ，四边形 为正

20、方形。 平面 ，平面 平面OPOD而平面 平面PAD过 作 ，垂足为 ， 平面MHGMHABC 为 与平面 所成角，BBC45 在 中， ， ，PCO P O设 ， ， ，ABa2D3a ，3MHCH在 中， ，RtC 22B223aCH ， ，a6aO以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系， ，ODPxyz 26(,0)Maa， ，(0,)Aa(,0)Ba，26,2M (,0)ABa设平面 的法向量为 ， ，AB(,1)yn602Mya62y ，而平面 的法向量为6(0,1)2nABCD(0,1)k设二面角 的大角为 （ 为锐角）M 。1cos|,|5614k20.

21、（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足21xy.2NP(2) 求点 P 的轨迹方程；设点 Q 在直线 x=-3 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 1OPQ【解析】 （1）设 ， ，(,)y(,)Mx(,0)N2NP(,)(0,)xy即 22xy代入椭圆方程 ，得到1x2xy点 的轨迹方程 。P2y过 与直线 垂直的直线为：POQ1123yx当 时，1x1123yx112y123x1122yy代入得 0过 且垂直于 的直线 过 的左焦点 。POQlCF21.（12 分）已知函数 ，

22、且 。2lnfxax0fx(1)求 ；(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .f 0220ef【解析】（1） 的定义域为fx0， +设 ，则 等价于g=a-lnxf=xg,f00gx因为 11=0， ,故 ,而 1=,得gxgxaga若 a=1，则 .当 0x1 时， 单调递减；当 x1 时， 0， 单调递 0,xgxgx增.所以 x=1 是 的极小值点，故gx1=g综上，a=1又 ，所以 在 有唯一零点 x0，在 有唯一零点 1，且当21 0, ,0hehhx10,21,+2时， ；当 时， ，当 时， .0,xx0, , 0hx因为 ，所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点fh由 0

23、000得 ln2(1),故 =()fxxfx由 得,1 4f因为 x=x0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由 得110,0efe12fxfe所以 2-0 f（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为1Ccos4（1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标1C|16OM2方程；（2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值(2,)32CAB【解析】（2）设点 B 的极坐标为 ,由题设知， 0BB,于是OAB 面积cos=， 4OA1in24cosi32in23BSAO:当 时，S 取得最大值=-12+3所以OAB 面积的最大值为 223.选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 ，证明：30,ab（1） ；5()4（2） 【解析】 （1）5656233424ababababab（2）因为32232 3+3+244ababababab所以 ，因此 a+b2.3+8ab