【全国Ⅲ卷】2017年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（含答案解析）

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1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（）考试时间：120 分钟 满分：150 分题型 单选题 填空题 简答题 总分得分一、单选题 （本大题共 12 小题，每小题_分，共_ 分。） 1已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元素的个数为( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 02设复数 z 满足(1+i)z=2i，则z=( )A. B. C. D. 23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是( )A. 月接待游客量逐月

2、增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4 的展开式中 的系数为( )A. B. C. 40 D. 805已知双曲线 C： (a0,b0)的一条渐近线方程为 ,且与椭圆有公共焦点，则 C 的方程为( )【来源：21世纪教育网】A. B. C. D. 6设函数 ，则下列结论错误的是( )A. 的一个周期为B. 的图像关于直线 对称C. 的一个零点为D. 在( , )单调递减7执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为( )A.

3、5 B. 4 C. 3 D. 28已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. B. C. D. 9等差数列 的首项为 1，公差不为 0若 a2，a 3，a 6成等比数列，则 前 6 项的和为( )A. B. C. 3 D. 810已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为( )21 世纪教育网版权所有A. B. C. D. 11已知函数 有唯一零点，则 a=( )A. B. C. D. 112在矩形 ABCD 中，AB =1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 B

4、D 相切的圆上.若，则 的最大值为( )21 教育网A. 3 B. 2 C. D. 2二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题_分，共_ 分。） 13若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_.14设等比数列 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则 a4 = _.15设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是_.16a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：21cnjy当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与

5、 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）三、简答题（综合题） （本大题共 7 小题，每小题_分，共_分。） 17（12 分）的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 ，a=2 ,b=2.（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC,求ABD 的面积.18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关

6、.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？www.21-cn-19（12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=

7、CBD，AB =BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值.20（12 分）已知抛物线 C：y 2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 于 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程.21（12 分）已知函数 .（1）若 ，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， ，求 m 的最小值.22选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答

8、。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 （t 为参数），直线 l2的参数方程为.设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径.23选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4 5：不等式选讲 （10 分）已知函数 f（x） =x+1x2.（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若不等式 的解集

9、非空，求 m 的取值范围.参考答案一、单选题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. A 二、填空题 13. 14. 15. 16. .三、简答题 17. (1) (2) 18. (1)分布列略；(2) n=300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.19. (1)证明略；(2) .20. (1)证明略；(2) 见解析21. (1)a=1； (2) 322. （1） ；（2）23. （1） ；（2）解析详情一、单选题 1. 由题意可得：圆 与直线 相交于两点 ， ，则中有 2 个元素.故选 B.

10、2. 由题意可得 ，由复数求模的法则可得 ，则 .故选 C.3. 由折线图，每年 7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项 A 说法错误.故选 A.4. 由 展开式的通项公式可得：当 时， 展开式 的系数为，当 时， 展开式 的系数为 ，则 的系数为 804040，故选 C.5. 双曲线 C： (a0,b0)的渐近线方程为 ，椭圆中： ，椭圆，双曲线的焦点为 ，据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，则双曲线 的方程为 .6. 当 时， ，函数 在该区间内不单调.故选 D.7. 阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值： ，然后进入循环体：此时应满足 ，执行循环语句： ；此时

11、应满足 ，执行循环语句： ；此时满足 ，可以跳出循环，则输入的正整数 N 的最小值为 2.故选 D.8. 绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： ，结合勾股定理，底面半径 ，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是 ，故选 B.9. 设等差数列 的公差为 ，且 ， ，又 ，所以 ， ，故选 A.10. 以线段 为直径的圆是 ，直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离 ，整理为 ，即 ，即， ，故选 A.www-2-1-cnjy-com11. 函数的零点满足 ，设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，当 时，函数取得最小值 ，设 ，当 时，函数取得最小值 ，若 ，函

12、数 与函数 没有交点，当 ， 时，此时函数 与函数 有一个交点，即 ，解得 ，故选 C.12. 如图，建立平面直角坐标系.设 ,易得圆的半径 ，即圆 C 的方程是 ，若满足 ，则 ， ，所以 ，设 ，即 ，点 在圆 上，所以圆心到直线 的距离 ，即 ，解得 ，所以 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.二、填空题 13. 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即，易知直线 在 轴上的截距最大时，目标函数 取得最小值，数形结合可得目标函数 在点处取得最小值，为 .21cnjycom14. 由题意可得： ，解得： ，则15. 由题意： ，函数 在区间三段区间内均单调递增，且

13、，可知 x 的取值范围是： .16. 由题意，AB 是以 AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，由 ，即 AC 垂直底面，在底面内可以过点 B，作 ，交底面圆 C 于 D，如图，连结 DE，则，所以 ，连接 AD，等腰ABD 中，当直线 AB 与 a 成 60 时，ABD60，故 ，又在 RtBDE 中，BE 2 ， ，过点 B 作BF/DE，交圆 C 于点 F，连接 AF，由圆的对称性可知 BFDE ，所以ABF 为等边三角形，ABF60，即正确，错误，由最小角定理可知正确，很明显可以满足平面 ABC直线 a，直线 AB 与 a 成的最大角为 90，错误。三、简答题 17. （1）由已知

14、得 ，所以 .在 ABC 中，由余弦定理得 ，即 .解得： (舍去)， .（2）有题设可得故ABD 面积与ACD 面积的比值为又ABC 的面积为18. （1）由题意知， 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知， ， .因此 的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑.当 时，若最高气温不低于 25，则 ；若最高气温位于区间 ，则 ；若最高气温低于 20，则 ；因此 .当 时，若最高气温不低于 20，则 ；若最高气温低于 20，则 ；因此 .所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.19. （1）由题设可得

15、， ，从而.又 是直角三角形，所以 .取 AC 的中点 O，连接 DO,BO,则 DOAC,DO=AO.又由于 是正三角形，故 .所以 为二面角 的平面角.在 中， .又 ，所以 ，故 .所以平面 ACD平面 ABC.（2）由题设及（1）知， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 .则由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 .21世纪*教育网故 .设 是平面 DAE 的法向量，则 即可取 .设 是平面 AEC 的法向量，

16、则 同理可取 .则 .所以二面角 D-AE-C 的余弦值为 .20. （1）设由 可得又 =4因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为所以 OAOB，故坐标原点 O 在圆 M 上.（2）由（1）可得 .故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 .由于圆 过点 ，因此 ，故 ，即 ，由（1）可得 .所以 ，解得 或 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .21. （1） 的定义域为 .若 ，因为 ，所以不满足题意；若 ，由 知，当 时， ；当 时，所以 在 单调递减，在 单调递增，故 x=a 是 在的唯一最小值点.2-1-c-n-j-y由于 ，所以当且仅当 a=1 时， .故 a=1.（2）由（1）知当 时， .令 得 .从而.故 .而 ，所以 的最小值为 .22. （1）消去参数 得 的普通方程 ；消去参数 m 得 l2的普通方程.设 ,由题设得 ，消去 k 得 .所以 C 的普通方程为 .（2）C 的极坐标方程为 .联立 得 .故 ，从而 .代入 得 ，所以交点 M 的极径为 .23. （1）当 时， 无解；当 时，由 得， ，解得当 时，由 解得 .所以 的解集为 .（2）由 得 ，而且当 时， .故 m 的取值范围为