【天津卷】2017年普通高校招生全国统一考试数学（文科）试卷（含答案解析）

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1、 绝密启用前2017 年高考天津卷文数试题本试卷分为第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 卷 1至 2 页，第卷 3 至 5 页。2-1-c-n-j-y答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。21*cnjy*com2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公

2、式：如果事件 A，B 互斥，那么如果事件 A，B 相互独立，那么P(AB )=P(A)+P(B)P(AB )=P(A) P(B)棱柱的体积公式 V=Sh. 圆锥的体积公式 . 13VSh其中 S 表示棱柱的底面面积， 其中 S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ，则1,26,41,234ABC()ABC（A） （B） （C） （D）6,6【答案】 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】【解析】 ，则 ，20x2，则 ，11,x据此可知：“ ”

3、是“ ”的必要二不充分条件.x1本题选择 B 选项.（3）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为【来源：21cnj*y.co*m】（A） （B） （C） （D）4351【答案】 （4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 19，则输出 的值为NN（A）0 （B）1（C）2（D）3【答案】【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为 ，19N第一次循环： ，不满足 ；83N第二次循环： ，不满足 ；63第三次循环： ，满足 ；2此时跳出循环体，输出 .3N

4、本题选择 C 选项.（5）已知双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为21(0,)xyabFAOAF2 的等边三角形（ 为原点），则双曲线的方程为 21 世纪教育网版权所有O（A） （B） （C） （ D）214xy214xy213xy213yx【答案】 D（6）已知奇函数 在 上是增函数.若 ，则 的大小()fxR0.8221(log),(log4.1),()5afbfcf,abc关系为（A） （B） （C） （D）abcacbc【答案】 C【解析】由题意： ，221logl5ff且： ，0.822log5l4.,据此： ，.1结合函数的单调性有： ，0.822log5l4.

5、1fff即 .,abca本题选择 C 选项.（7）设函数 ，其中 .若 且 的最小()2sin(),fxxR0,|51()2,()0,8ff()fx正周期大于 ，则（A） （B） （C） （D）,3121,321,347,34【答案】 （8）已知函数 设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的|2,1().xfaRx()|2xfaRa取值范围是（A） （B） （C） （D） zx xk2,3,2,32,3【答案】【解析】满足题意时 的图象恒不在函数 下方，fx2xya当 时，函数图象如图所示，排除 C,D 选项；23a当 时，函数图象如图所示，排除 B 选项，23a本题选择 A 选项.第卷注

6、意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9）已知 ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 .aRi2a【答案】 2【解析】 为实数，()(1)(2155ii ii则 .20,5a（10）已知 ，设函数 的图象在点（1， ）处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 R()lnfxa(1)f.【答案】 【解析】 ，切点为 ， ，则切线的斜率为 ，切线方程为：(1)fa(1,)a1(fx(1)fa，令 得出 ，在 轴的截距为.学 科.网yx0y（11）已知一个正方形的所有顶

7、点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .【答案】 92【解析】设正方体边长为 ，则 ，a226183a外接球直径为 .34793,RVR（12）设抛物线 的焦点为 F，学 科&网准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴24yx相切于点 A.若 ，则圆的方程为 .21 教育网10FAC【答案】 22()(3)（13）若 a， ， ，则 的最小值为 .bR041ab【答案】 4【解析】 ，当且仅当 时取等号.214ab21ab（14）在 ABC 中， ， AB=3， AC=2.若 ， （ ），且 ，60A2BDCAEBR4ADE则 的值为

8、.【答案】 31【解析】 ,则0122cos63,3ABCAB.3()()49343 1DE三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分 13 分）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .ABC , ,abcsin4iAB225()acbc（I）求 的值；cos（II）求 的值.in(2)【答案】 (1) (2) 5.45325sin(2)sin2cos2in()BABA（16）（本小题满分 13 分）某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人

9、次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续xy剧的次数.www.21-cn-（I）用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；xy（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】(1)见解析（2）电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.【解析】（）解：由已

10、知， 满足的数学关系式为 即,xy7060,52,0,xyy760,2,0,xyy该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.（17）（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，PABCDPDCAB PD1A3BC， .4CD2（I）求异面直线 与 所成角的余弦值；（II）求证： 平面 ；（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.ABPC【答案】(1) (2) 5（）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面

11、PBC 所成的角.21cnjycom因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角.DFP由于 AD/BC， DF/AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BCBF=2.又 AD DC，故 BC DC，在 Rt DCF 中，可得 .21cnjy5sinPDF所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .5（18）（本小题满分 13 分）已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，na*()nSNnb.234141,2,bab（）求 和 的通项公式；nb（）求数列 的前 n 项和

12、.2*()N【答案】（1） . .（2） .3na2(34)16nnT由此可得 .学 科 &网32na所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .32nanb2nb（）设数列 的前 项和为 ，由 ，有2nbT26a，34106()nnT，24 18()2n上述两式相减，得 23 166nnT.1212()4(6)(4)1nnn得 .2(3)nnT所以，数列 的前 项和为 .2nab2(34)16n（19）（本小题满分 14 分）设 ， .学&科网已知函数 ，,abR|132()6(4)fxaxb.()e()xgf（）求 的单调区间；f（）已知函数 和 的图象在公共点（ x0， y0）处有相同的切

13、线，()ygxexy（i）求证： 在 处的导数等于 0；f0（ii）若关于 x 的不等式 在区间 上恒成立，求 b 的取值范围.()exg01,x【答案】（1）递增区间为 ， ，递减区间为 .（2）（） 在 处的,a(4)(),4a()fx0导数等于 0.（） 的取值范围是 .【来源：21世纪教育网】b7,【解析】（I）由 ，可得32()6()fxxb（ii）因为 ， ，由 ，可得 .()exg01,xe0x()1fx又因为 ， ，21 世纪教育网故 为 的极大值点，由（I）知 .01f)f 0xa另一方面，由于 ，故 ，|a4a由（I）知 在 内单调递增，在 内单调递减，()fx,)1a()

14、,1a故当 时， 在 上恒成立，从而 在 上恒成立.0(f()exg0,1由 ，得 ， 。32()6)4af b3261a令 ， ，所以 ，1tx,x()txx令 ，解得 （舍去），或 .()020因为 ， ， ，故 的值域为 .7t()3t()1t()tx7,1所以， 的取值范围是 .b,（20）（本小题满分 14 分）已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的21(0)xyab,()0FcAE坐标为 ， 的面积为 .(0,)cEFA2b（I）求椭圆的离心率；（II）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在 轴上，Q3|2QcPQPMNx，且直线 与直线 间的距离为 ，四边

15、形 的面积为 .21世纪*教育网PMN PNN3c（i）求直线 的斜率；F（ii）求椭圆的方程.【答案】（1） （2）（） （）134216xy得 ，即点 Q 的坐标为 .(2)3,2mcxy(2)3,)2mc由已知| FQ|= ，有 ，整理得 ，所以 ，即直线32c222()3()(mcc2340m43FP 的斜率为 .4这两条平行直线间的距离，故直线 和 都垂直于直线 .QNPMQNFP因为 ，所以 ，所以 的面积为FP39|tan248cQNFQN，同理 的面积等于 ，由四边形 的面积为 ，得217|23c 75M3c，整理得 ，又由 ，得 .www-2-1-cnjy-com2753c2c02c所以，椭圆的方程为 .216xy