【全国Ⅱ卷】2018年普通高校招生全国统一考试数学（文科）试卷（含答案）

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1、绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 i23A B C Di32i32i32i2已知集合 ， ，则1,57,45ABA B C D3 ,51,45,73函数 的图像大致为2exf4已知向量 ， 满足 ， ，则ab|1ab(2)abA4 B3 C2 D05从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人

2、参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为A B C D0.60.50.4.36双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为21(,)xyabb3A B C Dyx2yx32yx7在 中， ， ， ，则BC 5cos215ABA B C D423029258为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入1123490S开 始0, 0N T S NT S输 出1i100i1NNi 11T T i结 束是 否A B 1i 2iC D3 49在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为1BDACE1CAECDA B C D232527210若 在 是减函数，则 的最大值是()c

3、osinfxx0,aaA B C D423411已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ， 且 ， 则 的 离 心 率1F2CP12PF2160PFC为A B C D322332312已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则()fx(,)(1)()fxf(1)2f(1)2(3)ff50A B0 C2 D50二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线 在点 处的切线方程为_2lnyx(1,)14若 满足约束条件 则 的最大值为 _,20,35,yx zxy15已知 ，则 _51tan()4tan16已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为

4、 ，若 的面积为 ，SASBSA30SAB 8则该圆锥的体积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna17a315S（1）求 的通项公式；（2）求 ，并求 的最小值nnS18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图y为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 20

5、16 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： ；根据t1,27 30.415yt2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： t, 97.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19（12 分）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点PABC24PABCOAC（1）证明： 平面 ；POABC（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离M2MCPOM20（12 分）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， 24Cyx： F(0)klCAB|8（1

6、）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程AB21（12 分）已知函数 3211fxax（1）若 ，求 的单调区间；a()f（2）证明： 只有一个零点x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为xOyC2cos,4inxyl（ 为参数）1cos,2inxtyt（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率l (1,2)l23选修 45：不等式选讲 （10 分）

7、设函数 ()|2|fxax（1）当 时，求不等式 的解集；a()0f（2）若 ，求 的取值范围()1f绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1D 2C 3B 4B 5D 6A7A 8B 9C 10C 11D 12C二、填空题13y=2x2 149 15 16832三、解答题17解：（1）设a n的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以a n的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4） 216所以当 n=4 时，S n 取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施

8、投资额的预测值为=30.4+13.519=226.1（亿元）y$利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5（亿元）y（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化

9、规律呈线性增长趋势，利用 2010年至 2016 年的数据建立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的y$变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分学科网19解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP= 23连结 OB因为 AB=BC= ，所以ABC

10、为等腰直角三角形，且 OBAC ，OB = =22AC 12AC由 知，OPOB22OPB由 OPOB ，OPAC 知 PO平面 ABC（2）作 CHOM，垂足为 H又由（1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC= =2，CM = = ，ACB=452A23BC4所以 OM= ，CH= = 53sinOMA5所以点 C 到平面 POM 的距离为 4520解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）由 得 2(1)4ykx222(4)0kx，故 6021所以 2

11、24()(1)kABFx由题设知 ，解得 k=1（舍去），k=1248k因此 l 的方程为 y=x1（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为，即 ()y5设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则解得 或02205(1)(1)6.yxx， 032xy， 016.，因此所求圆的方程为或 22(3)()16xy22()(6)14xy21解：（1）当 a=3 时，f（x ）= ，f （x）= 323x263x令 f （x）=0 解得 x= 或 x= 当 x（， ）（ ，+）时，f （x ） 0；3232当 x（ ， ）时，f （x）0故 f（x）在（ ， ），（

12、 ，+）单调递增，在（ ， ）单调递减3232323（2）由于 ，所以 等价于 210x()0fx3201xa设 = ，则 g （x ）= 0，仅当 x=0 时 g （x）=0，所以 g（x）在（()g32a22()x，+）单调递增故 g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点学科网又 f（3a1）= ，f （3a+1）= ，故 f（x ）有一个零点221166()03a10综上，f（x）只有一个零点22解：（1）曲线 的直角坐标方程为 C2146xy当 时， 的直角坐标方程为 ，cos0l tan2tanx当 时， 的直角坐标方程为 1（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程l t2(13cos)4(cosin)80tt因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以有两个解，设为 ， ，则 Cl(1,2)C1t2120t又由得 ，故 ，于是直线 的斜率 122(csi3otcosin0ltank23解：（1）当 时，a24,1,()6,.xf可得 的解集为 ()0fx|23x（2） 等价于 1f|4a而 ，且当 时等号成立故 等价于 |2|xa2x()1fx|2|4a由 可得 或 ，所以 的取值范围是 |46aa,6,)