【全国Ⅱ卷】2018年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（含答案）

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1、绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12iA B C D43i543i534i534i52已知集合 ，则 中元素的个数为 2xyxyZ， ， ， AA9 B8 C5 D43函数 的图像大致为 2exf4已知向量 ， 满足 ， ，则ab|1ab(2)abA4 B3 C2 D05双曲线 的离心率为 ，则其

2、渐近线方程为2(0,)xyab3A B C Dyxyx2yx32yx6在 中， ， ， ，则BC5cos21C5ABA B C D423029257为计算 ，设计了右侧的程序框图，1149S则在空白框中应填入A iB 2C 3iD 48我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其3072和等于 30 的概率是A B C D121415189在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为1CDA13A1ABA B C D15565210若 在 是减函数，则 的

3、最大值是()cosinfxx,aaA B C D423411已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则()fx(,)(1)()fxf(1)2f12350ffA B0 C2 D505012已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率1F221(0)xyCab： ACPA为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为3612PF 120FPA B C D2 314二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线 在点 处的切线方程为_2ln(1)yx(0,)开 始0, 0N T S NT S输 出1i100i1NNi 11TTi结 束是 否14若 满足约束

4、条件 则 的最大值为 _,xy2503xy， zxy15已知 ， ，则 _sinco1sin0sin()16已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 45，若 的SASB78SASAB面积为 ，则该圆锥的侧面积为_51三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna17a315S（1）求 的通项公式；（2）求 ，并求 的最小值nnS18（12 分）下图是某地区 20

5、00 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图y为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： ；根据t127， ， ， 30.415yt2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： t， ， ， 97.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12 分）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， 24Cyx：

6、F(0)klCAB|8（1）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程AB20（12 分）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点PC2AB4PABCOAC（1）证明： 平面 ；O（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值MBM30PMPA O CB M21（12 分）已知函数 2()exfa（1）若 ，证明：当 时， ；0()1fx（2）若 在 只有一个零点，求 ()fx,)a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方

7、程为 （ 为参数），直线 的参数方程为xOyC2cos4inxy， l（ 为参数）1cos2inxty， t（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率l (1,2)l23选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 ()|2|fxax（1）当 时，求不等式 的解集；a()0f（2）若 ，求 的取值范围()1f参考答案:一、选择题1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D二、填空题13. 14.9 15. 16.2yx12402三、解答题17. (12 分)解：（1）设 的公差为 d，由题意得

8、.na135ad由 得 d=2.7所以 的通项公式为 .n29n（2）由（1）得 .28(4)16S所以当 n=4 时, 取得最小值,最小值为16.n18.(12 分)解：（1）利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).30.415926.1y利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).7（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上下.这30.415yt说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2

9、010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至2016 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变917.5yt化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. （）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或

10、其他合理理由均可得分.19.(12 分)解：（1）由题意得 ，l 的方程为 .(1,0)F(1)0ykx设 ，12(,)AyxB由 得 .2,4k22(4)0kx，故 .2160k12kx所以 .1224|()()kABFx由题设知 ，解得 （舍去）， .248kk1因此 l 的方程为 .1yx（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即(3,2) 2(3)yx.5yx设所求圆的圆心坐标为 ，则0(,)xy解得 或0220,(1)(1)6.yx03,2x01,6.y因此所求圆的方程为 或 .2(3)()xy22()()14x20.(12 分)解：（1）因为 ，

11、为 的中点，所以 ，且 .4APCOACOPAC23连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，OB2B且 ， .1由 知 .22OPBPOB由 知 平面 .,ACAC（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .urxOxyz由已知得 取平面 的法(0,)(2,0)(,)(0,2)(,3),(0,23),OBACPAurPAC向量 .ur设 ，则 .(,2)()Maa(,4)Maur设平面 的法向量为 .PA(,)xyzn由 得 ，可取 ，0,urrn230(4)a(34),)an所以 .由已知得 .22cos,3()OBr |cos,|2OBur所以 .解得 （舍去）

12、， .22|4|=3()a4a43a所以 .又 ，所以 .8,)3n(0,23)PCurcos,4PCurn所以 与平面 所成角的正弦值为 .PCAM421（12 分）【解析】（1）当 时， 等价于 1a()fx2(1)e0x设函数 ，则 2()1)exgx22()1)e()exxgx当 时， ，所以 在 单调递减00,而 ，故当 时， ，即 (0)x()x()fx（2）设函数 2()1eha在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点()fx,()hx0,)（i）当 时， ， 没有零点；0a()x()（ii）当 时， 2exha当 时， ；当 时， (,2)x()x(,)()0hx所以 在 单

13、调递减，在 单调递增h0故 是 在 的最小值 24()1ea()hx0,)若 ，即 ， 在 没有零点；()0h24(),)若 ，即 ， 在 只有一个零点；(2)2ea()hx0,)若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，()0h24()1()hx0,2由（1）知，当 时， ，所以 x2ex33342461610e()()aaa故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点()h2,4)a()h0,)综上， 在 只有一个零点时， ()fx0,)2e4a22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 C2146xy当 时， 的直角坐标方程为 ，cos0l tanta当 时， 的直角坐标方程为 cos0l1x（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程lCt2(13cs)4(cosin)80tt因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以有两个解，设为 ， ，则 l(1,2C1t2120t又由得 ，故 ，于是直线 的斜率 122(csi)3otcosin0ltank23选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】（1）当 时，1a4,1,()26,.xf可得 的解集为 ()0fx|3x（2） 等价于 |2|4而 ，且当 时等号成立故 等价于 |2|xax()1fx|2|4a由 可得 或 ，所以 的取值范围是 |462a,6,)