【天津卷】2018年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（解析版）

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1、绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第 I 卷(选择题) 和第 II 卷( 非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷 1 至 2页，第 II 卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，

2、共 40 分。参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 .如果事件 A，B 相互独立，那么 .棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高 .棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为 R，集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得 ，然后进行交集运算即可求得最终结果 .详解：由题意可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择 B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 设变量 x，y 满

3、足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.【21 教育名师】详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： .本题选择 C 选项.点睛：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最

4、大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据： ，结果为整数，执行 ， ，此时不满足 ；，结果不为整数，执行 ，此时不满足 ；，结果为整数，执行 ， ，此时满足 ；跳出循环，输出 .本题选择 B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3

5、)按照题目的要求完成解答并验证4. 设 ，则“ ”是“ ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式 ，由 .据此可知 是 的充分而不必要条件.本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知

6、：， ， ，据此可得： .本题选择 D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定

7、函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足： ，即 ，令 可得一个单调递增区间为： .函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得一个单调递减区间为： .本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意首先求得 A

8、,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得 b 的值，之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为 （c0） ，则 ，由 可得： ，不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为： ，据此可得： ， ，则 ，则 ，双曲线的离心率： ，据此可得： ，则双曲线的方程为 .本题选择 C 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出 的值即可.8. 如图，在平面四边形

9、 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.21cnjy com详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，点 在 上，则 ，设 ，则：，即 ，据此可得： ，且：， ，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得： ，结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 .本题选择 A 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的

10、特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用21cnjy2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9. i 是虚数单位，复数 _.【答案】4i 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得： .点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 在 的展开式中， 的系数为_.【答案】【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项

11、公式得到 r 的值，然后求解 的系数即可.详解：结合二项式定理的通项公式有： ，令 可得： ，则 的系数为： .点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件 (特定项)和通项公式，建立方程来确定指数( 求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解11. 已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M (如图)，则四棱锥 的体

12、积为_.21 教育网【答案】【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形 为边长为 的正方形，其面积 ，顶点 到底面四边形 的距离为 ，由四棱锥的体积公式可得： .点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知圆 的圆心为 C，直线 ( 为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则 的面积为_.21*cnjy*com【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为： ，直线的直角坐标方程为： ，

13、即 ，则圆心到直线的距离： ，由弦长公式可得： ，则 .点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法 【21 教育】13. 已知 ，且 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得 a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由 可知 ，且： ，因为对于任意 x， 恒成立，结合均值不等式的结论可得： .当且仅当 ，即 时等号成立.综上可得 的最小值为 .点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定

14、积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误www-2-1-cnjy-com14. 已知 ，函数 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解，则 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，令 ，其中 ，原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合

15、观察可得，实数 的取值范围是 .点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a

16、，b，c.已知 .（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3 ，求 b 和 的值.【答案】() ；( ) ， .【解析】分析：（）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 ，则 B= （）在ABC 中，由余弦定理可得 b= 结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（）在ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由 ，得 ，即 ，可得 又因为 ，可得 B= （）在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c =3，B = ，有 ，故 b= 由 ，可得 因为 a= ，于是 sin= 所以，二面角 EBCF 的正弦值为 （）设线段 DP 的长为 h（ h0，2 ） ，则点 P 的坐标为（0，

17、0，h） ，可得 易知， =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故 ，由题意，可得 =sin60= ，解得 h= 0，2 所以线段 的长为 .点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21 世纪教育网18. 设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， .（I）求 和 的通项公式；（II）设数列 的前 n 项和为 ，（i）求 ；（ii）证明 .【答案】() ， ；() （i ） .（ii）证明见解析.【解析】分析：（I）由题意得到关于 q 的方程，解方程可得 ，则 .结合等差数列通项公式可

18、得（II） （i）由（I ） ，有 ，则 .（ii）因为 ，裂项求和可得 .详解：（I）设等比数列 的公比为 q.由可得 .因为 ，可得 ，故 .设等差数列 的公差为 d，由 ，可得由 ，可得 从而 故 所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为（II） （i）由（I ） ，有 ，故 .（ii）因为 ，所以 .点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【21世纪教育网】19. 设椭圆 (ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为 ，且.21世纪*教育网（I）求椭圆的方程；（II）

19、设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若(O 为原点) ，求 k 的值.21*教*育*名*师【答案】() ；() 或【解析】分析：（）由题意结合椭圆的性质可得 a=3，b=2则椭圆的方程为 （）设点 P 的坐标为（x 1，y 1） ，点 Q 的坐标为（x 2，y 2） 由题意可得 5y1=9y2由方程组可得 由方程组 可得 据此得到关于 k 的方程，解方程可得 k 的值为 或详解：（）设椭圆的焦距为 2c，由已知知 ，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得， ， ，由 ，可得 ab=6，从而 a=3，b=2 所以，椭圆的方程为 （）设点 P

20、 的坐标为（x 1，y 1） ，点 Q 的坐标为（x 2，y 2） 由已知有 y1y20，故 又因为 ，而OAB= ，故 由 ，可得 5y1=9y2由方程组 消去 x，可得 易知直线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程组 消去 x，可得 由 5y1=9y2，可得 5（k +1）= ，两边平方，整理得 ，解得 ，或 所以，k 的值为 或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21-cnjy*com20. 已知函数 ，

21、，其中 a1.（I）求函数 的单调区间；（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明；（III）证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线.【答案】() 单调递减区间 ，单调递增区间为 ；() 证明见解析；()证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得 .令 ，解得 x=0.据此可得函数 的单调递减区间，单调递增区间为 （II）曲线 在点 处的切线斜率为 .曲线 在点 处的切线斜率为 .原问题等价于 .两边取对数可得 .（III）由题意可得两条切线方程分别为 l1： .l2： .则原问题等价于当 时，存在 ， ，使得 l1 和 l2 重合.转化为当 时

22、，关于 x1 的方程存在实数解，构造函数，令 ，结合函数的性质可知存在唯一的 x0，且 x00，使得 ，据此可证得存在实数 t，使得 ，则题中的结论成立.详解：（I）由已知， ，有 .令 ，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：x 00 +极小值所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .（II）由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 .由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 .因为这两条切线平行，故有 ，即 .两边取以 a 为底的对数，得 ，所以 .（III）曲线 在点 处的切线 l1： .曲线 在点 处的切线 l2： .要证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线

23、 的切线，也是曲线 的切线，只需证明当 时，存在 ， ，使得 l1 和 l2 重合.即只需证明当 时，方程组 有解，由得 ，代入，得 . 因此，只需证明当 时，关于 x1 的方程存在实数解.设函数 ，即要证明当 时，函数 存在零点.，可知 时， ；时， 单调递减，又 ， ，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 ，即 .由此可得 在 上单调递增，在 上单调递减. 在 处取得极大值 .因为 ，故 ，所以 .下面证明存在实数 t，使得 .由（I）可得 ，当 时，有，所以存在实数 t，使得因此，当 时，存在 ，使得 .所以，当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用