2019年上海市杨浦区中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、第 1 页，共 21 页2019 年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）1. 如图，已知数轴上的点 A、B 表示的实数分别为 a，b，那么下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. |+|= |+|= |+|= |+|=+2. 下列关于 x 的方程一定有实数解的是（ ）A. B. 21=0 =3C. D. 6 4=011=13. 如果 k0，b0，那么一次函数 y=kx+b 的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了 80 名初三学生的

2、体重进行统计分析在此问题中，样本是指（ ）A. 80 B. 被抽取的 80 名初三学生C. 被抽取的 80 名初三学生的体重 D. 该校初三学生的体重5. 如图，已知ADE 是ABC 绕点 A 逆时针旋转所得，其中点 D 在射线 AC 上，设旋转角为 ，直线 BC 与直线 DE交于点 F，那么下列结论不正确的是（ ）A. =B. =C. =D. =6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）A. 一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边相等，一组对角相等C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线二、填空题（本大题共 12 小题

3、，共 48.0 分）7. 计算：（y 3） 2y5=_8. 分解因式：a 2-2ab+b2-1=_9. 方程 x-1= 的解为：_110. 如果正比例函数 y=（k -2）x 的函数值 y 随 x 的增大而减小，且它的图象与反比例函数 y= 的图象没有公共点，那么 k 的取值范围是_11. 从-5，- ，- ，-1，0，2， 这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率103 6为_12. 某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分第 2 页，共 21 页类别 A B C D E F类型 足球

4、羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他人数 10 4 6 2那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为_%13. 甲、乙两名学生练习打字，甲打 135 个字所用时间与乙打 180 个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打 20 个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为 x，那么符合题意的方程为：_14. 如图，ABC 中，过重心 G 的直线平行于 BC，且交边 AB 于点D，交边 AC 于点 E，如果设 = ， = ，用 ， 表示 ，那么 =_15. 正八边形的中心角为_度16. 如图，点 M、N 分别在AOB 的边 OA、OB 上，将AOB沿直线 MN 翻折，设点 O 落在点 P 处，如果

5、当OM=4，ON =3 时，点 O、P 的距离为 4，那么折痕 MN 的长为_17. 如果当 a0，b0，且 ab 时，将直线 y=ax+b 和直线 y=bx+a 称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为（1，4）的一对“对偶直线”：_18. 如图，在矩形 ABCD 中，过点 A 的圆 O 交边 AB 于点 E，交边 AD 于点 F，已知 AD=5，AE=2，AF=4如果以点 D 为圆心，r 为半径的圆 D 与圆 O 有两个公共点，那么 r 的取值范围是_三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分）19. 计算： +（ ） -3-（3

6、） 0-4cos30+ (3)212 2 63四、解答题（本大题共 6 小题，共 68.0 分）20. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解为 ，求 a、b 的+=1,22=+3 =1,=1.值第 3 页，共 21 页21. 已知在梯形 ABCD 中，ADBC，AB =BC，DCBC，且AD=1，DC =3，点 P 为边 AB 上一动点，以 P 为圆心，BP 为半径的圆交边 BC 于点 Q（1）求 AB 的长；（2）当 BQ 的长为 时，请通过计算说明圆 P 与直线409DC 的位置关系22. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先到终点的人原地休息已

7、知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（米）与甲出发的时间 x（分）之间的关系如图中折线 OA-AB-BC-CD 所示（1）求线段 AB 的表达式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求乙的步行速度；（3）求乙比甲早几分钟到达终点？23. 已知：如图，在ABC 中，AB=BC ， ABC=90，点 D、E分别是边 AB、BC 的中点，点 F、G 是边 AC 的三等分点，DF、EG 的延长线相交于点 H，连接 HA、HC求证：（1）四边形 FBGH 是菱形；（2）四边形 ABCH 是正方形第 4 页，共 21 页24. 已知开口向下的抛物线 y=ax2-2ax+2 与 y

8、 轴的交点为 A，顶点为 B，对称轴与 x 轴的交点为 C，点 A 与点 D 关于对称轴对称，直线 BD 与 x 轴交于点 M，直线 AB与直线 OD 交于点 N（1）求点 D 的坐标；（2）求点 M 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（3）当点 N 在第一象限，且 OMB=ONA 时，求 a 的值25. 已知圆 O 的半径长为 2，点 A、B、C 为圆 O 上三点，弦 BC=AO，点 D 为 BC 的中点，（1）如图 1，连接 AC、OD，设 OAC=，请用 表示AOD ；（2）如图 2，当点 B 为 的中点时，求点 A、D 之间的距离：（3）如果 AD 的延长线与圆 O 交于点 E，以 O

9、 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC为直径的圆相切，求弦 AE 的长第 5 页，共 21 页第 6 页，共 21 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：b 0a，|b| |a| ， a+b0， |a+b|=-a-b 故选：B 根据图示，可得：b0a， |b|a|，据此判断即可此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握2.【答案】A【解析】解：A x2-mx-1=0 中 =m2+40，一定有两个不相等的实数根，符合题意；Bax=3 中当 a=0 时，方程无解，不符合题意；C由 知此方程 组无解，不符合 题意；D = 有增根 x=1，此方程无解，不符合 题意；故选：A

10、根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根3.【答案】D【解析】解：k 0， 一次函数 y=kx+b 的图象经过第二、四象限 又b 0 时， 一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴交与正半轴 综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限 故选：D第 7 页，共 21 页根据 k、b 的符号来求确定一次函数 y=kx+b 的图象所经过的象限本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系解答本题注意理解：直线 y=kx+b 所在的位置与 k、b 的符

11、号有直接的关系k0 时，直线必经过一、三象限k0 时，直线必经过二、四象限b0 时，直线与 y 轴正半轴相交b=0 时，直线过原点；b0 时，直 线与 y 轴负半轴相交4.【答案】C【解析】解：样本是被抽取的 80 名初三学生的体重， 故选：C 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目我们在区分总体、个体、样本、 样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象从而找出总体、个体再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样

12、本，关键是明确考查的对象 总体、个体与 样 本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位5.【答案】D【解析】解：DAE 是由BAC 旋转得到， BAC=DAE=，B=D， ACB=DCF， CFD=BAC=， 故 A，B，C 正确， 故选：D利用旋转不变性即可解决问题第 8 页，共 21 页本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型6.【答案】C【解析】解：A、 错误这个四边形有可能是等腰梯形 B、错误不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行 C、正确可以利用三角形全等证明平行的一组对边 相等故是平行四 边

13、形 D、错误 不 满 足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行 故选：C 根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型7.【答案】y【解析】解：（y 3）2y5， =y6y5， =y根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减的运算性质计算即可本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键8.【答案】（a-b+1）（a-b-1）【解析】解：a 2-2ab+b2-1， =（a-b）2-1， =（a-

14、b+1）（a-b-1）当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项 a2-第 9 页，共 21 页2ab+b2 可组成完全平方公式，可把前三 项分为一组本题考查用分组分解法进行因式分解难点是采用两两分组还是三一分组本题前三项可组成完全平方公式，可把前三 项分为一组9.【答案】0 或 1【解析】解：原方程可化为：（x-1） 2=1-x， 解得：x 1=0，x2=1， 经检验，x=0，x=1 是原方程的解， 故答案为：0 或 1两边平方解答即可此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答10.【答案】0k2【解析】解：y=（k-2 ）x 的函数值 y 随 x 的增大而减小，k-20

15、k2而 y=（k-2）x 的图象与反比例函数 y= 的图象没有公共点，k0综合以上可知：0k2故答案为 0k2先根据正比例函数 y=（k-2）x 的函数值 y 随 x 的增大而减小，可知 k-20；再根据它的图象与反比例函数 y= 的图象没有公共点，说明反比例函数 y=的图象经过一、三象限，k0，从而可以求出 k 的取 值范围本题考查的是一次函数与反比例函数的相关性质，清楚掌握函数中的 k 的意义是解决本题的关键11.【答案】27【解析】第 10 页，共 21 页解：在-5 ，- ，- ，-1，0，2， 这七个数中， 为负整数的有-5，-1，共 2 个数，则恰好为负整数的概率为 ；故答案为 从

16、 7 个数中，找出负整数的个数，再根据概率公式即可得出答案本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件的概率计算公式是关键12.【答案】24【解析】解：被 调查学生的总数为 1020%=50 人，最喜欢篮 球的有 5032%=16 人，则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比= 100%=24%，故答案为：24依据最喜欢羽毛球的学生数以及占被调查总人数的百分比，即可得到被调查总人数，进而得出最喜欢篮球的学生数以及最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数通过扇形统计

17、图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系13.【答案】 =135 180+20【解析】解：甲平均每分钟打 x 个字，乙平均每分钟打（x+20 ）个字，根据题意得： = ，故答案为： = 设甲平均每分钟打 x 个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据工作时间=工第 11 页，共 21 页作总量工作效率结合甲打 135 个字所用时间与乙打 180 个字所用时间相同，即可得出关于 x 的分式方程本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键14.【答案】 -1313【解析】解：连接 AG，延长 AG 交 BC 于 FG 是ABC 的重心，DE BC，BF=CF，= =

18、 = ， = ， = ， = ，BF=CF，DG=GE， = ， = ， = + = - ， = = - ，故答案为 - 连接 AG，延长 AG 交 BC 于 F首先证明 DG=GE，再利用三角形法则求出即可解决问题本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解 题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型15.【答案】45【解析】第 12 页，共 21 页解：正八边形的中心角等于 3608=45； 故答案为 45根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法16.【答案】2 -3 5【解析】解：设 MN 与 OP 交于点

19、 E，点 O、P 的距离为 4，OP=4折叠MNOP，EO=EP=2，在 RtOME 中， ME= =2在 RtONE 中，NE= =MN=ME-NE=2 -故答案为：2 -由折叠的性质可得 MNOP，EO=EP=2，由勾股定理可求 ME，NE 的长，即可求 MN 的长本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键17.【答案】直线 y=x+3 和直线 y=3x+1【解析】解：设一对“对 偶直线” 为 y=ax+b 和 y=bx+a， 把（1，4）代入得 a+b=4， 设 a=1，b=3，则满足条件的一对“对偶直线” 为直线 y=x+3 和直线 y=3x+1 故答案为直线

20、y=x+3 和直线 y=3x+1第 13 页，共 21 页设一对“对偶直 线” 为 y=ax+b 和 y=bx+a，再把（ 1，4）代入得 a+b=4，然后取一对 a、b 的值即可得到满足条件的一对“对偶直线”本题考查了两条直线的交点或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解18.【答案】 - r +105 105【解析】解：如图，连接 EF，四边形 ABCD 是矩形，BAC=90，则 EF 是O 的直径，取 EF 的中点 O，连接 OD，作 OGAF，则点 G 是 AF 的中点，GF= AF=2，OG 是 AEF 的中位数，OG= AE=

21、1，OF= = ，OD= = ，圆 D 与圆 O 有两个公共点， - r + ，故答案为： - r + 连接 EF，知 EF 是O 的直径，取 EF 的中点 O，连 接 OD，作 OGAF，知点G 是 AF 的中点，据此可得 GF= AF=2，OG= AE=1，继而求得 OF= ，OD= = ，最后根据两圆的位置关系可得答案本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定第 14 页，共 21 页理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性 质及圆 与圆的位置关系等知识点19.【答案】解：原式=3+8-1-4 +232 3=10-2 +23 3=10【解析】根据零指数幂、负整数指

22、数幂、特殊角的三角函数 值进行计算本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质， 选择恰当的解题途径，往往能事半功倍20.【答案】解：把 代入二元一次方程组 得：=1=1 +=1,22=+3，=1 2+2=+3 由得：a=1+b，把 a=1+b 代入，整理得：b2+b-2=0，解得：b=-2 或 b=1，把 b=-2 代入得：a+2=1，解得：a=-1，把 b=1 代入得：a-1=1，解得：a=2，即 或 =1=2 =2=1【解析】把 代入二元一次方程组 得到关于 a，b 的方

23、程组，经过整理，得到关于 b 的一元二次方程，解之即可得到 b 的值，把 b 的值代入一个关于 a，b 的二元一次方程，求出 a 的值，即可得到答案本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法是解题的关键21.【答案】解：（1）过 A 作 AEBC 于 E，则四边形 AECD 是矩形，CE=AD=1，AE=CD=3 ，AB=BC，第 15 页，共 21 页BE=AB-1，在 RtABE 中， AB2=AE2+BE2，AB2=32+（AB -1） 2，解得：AB=5；（2）过 P 作 PFBQ 于 F，BF= BQ= ，12 209PBFABE， = ， ，5=2094PB= ，259PA=AB

24、-PB= ，209过 P 作 PGCD 于 G 交 AE 于 M，GM=AD=1，PG BC，APMABE， = ， = ，20954PM= ，169PG=PM+MG= =PB，259圆 P 与直线 DC 相切【解析】（1）过 A 作 AEBC 于 E，根据矩形的性质得到 CE=AD=1，AE=CD=3，根据勾股定理即可得到结论；（2）过 P 作 PFBQ 于 F，根据相似三角形的性 质得到 PB= ，得到 PA=AB-PB= ，过 P 作 PGCD 于 G 交 AE 于 M，根据相似三角形的性质得到 PM=，根据切线的判定定理即可得到结论本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，相似三

25、角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键22.【答案】解：（1）根据题意得：设线段 AB 的表达式为：y =kx+b （4x16），把（4，240），（16，0）代入得：第 16 页，共 21 页，4+=24016+=0解得： ，=20=320即线段 AB 的表达式为：y =-20x+320 （4x 16），（2）又线段 OA 可知：甲的速度为： =60（米/ 分），2404乙的步行速度为： =80（米/分），240+(164)60164答：乙的步行速度为 80 米/分，（3）在 B 处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+（16-4）60=960（米），与终点的距离为：2400-960

26、=1440（米），相遇后，到达终点甲所用的时间为： =24（分），144060相遇后，到达终点乙所用的时间为： 18（分），14408024-18=6（分），答：乙比甲早 6 分钟到达终点【解析】（1）根据图示，设线段 AB 的表达式为：y=kx+b ，把把（4，240），（16，0）代入得到关于 k，b 的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段 OA，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点 B 处追上甲，根据速度=路程 时间 ，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离， 进而求出与终点的距离， 结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的

27、 时间差即可所求答案本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键23.【答案】证明：（1）点 F、G 是边 AC 的三等分点，AF=FG=GC又 点 D 是边 AB 的中点，DHBG同理：EHBF四边形 FBGH 是平行四边形，连结 BH，交 AC 于点 O，OF=OG，AO=CO，AB=BC，BHFG，四边形 FBGH 是菱形；（2）四边形 FBGH 是平行四边形，第 17 页，共 21 页BO=HO，FO= GO又 AF=FG=GC，AF+FO=GC+GO，即：AO=CO四边形 ABCH 是平行四边形ACBH，AB=BC，四边形 ABCH 是正方形【解析】（1）由三角形中位线

28、知识可得 DFBG，GHBF，根据菱形的判定的判定可得四边形 FBGH 是菱形； （2）连结 BH，交 AC 于点 O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH，OF=OG，又 AF=CG，所以 OA=OC再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形 ABCH 是菱形，再根据一 组邻边 相等的菱形即可求解本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟 练掌握正方形的判定和性质是解题的关键24.【答案】解：（1）令 x=0，y=2，A（ 0，2），- =- =1，当 x=1 时，y=2-a，2 22B（ 1，2-a），C（1，0），点 A 与点 D 关于对称轴对称，对称轴为直线

29、 x=1，D（ 2， 2）（2）设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，代入点 B、D，2=2+2=+解得 ，=22y=ax+2-2a，令 y=0，解得 x=2- ，2M（ 2- ，0）2（3）如图 1 所示，第 18 页，共 21 页OMB=ONA，ODM=BDNNBD=DOM=45，作 DG 垂直 AN 于点 G，设 DG=m，则 BG=m，AB=BD= m，2tanDAG= = = -1，2+2 =tanDAG，B（ 1，2-a），H（1，2）BH=-a，AH=1，即 = -1，1 2a=1- 2【解析】（1）令 x=0，求得点 A 的坐标，根据抛物 线的对称轴公式，求出点 C 的坐标，

30、点 A 与点 D 关于对称轴对称，求出点 D 的坐标 （2）设 BD 的解析式，待定系数法求函数解析式，令 y=0，求得点 M 的坐标 （3）根据OMB=ONA，ODM= BDN，可推出 DBG=45，过 D 作 DG 垂直于 AN，再利用 DAG 的正切 值列出等量关系，即可求出 a 的值此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，几何图形与二次函数结合问题，考查了学生自己动手画图的能力25.【答案】解：（1）连接 OB、OCOB=OC=OA=BCOBC 是等边三角形BOC=60D 为 BC 中点COD= BOC=3012OA=OCOCA=OAC=第 19 页，共 21 页AOC=180

31、-OAC-OCA=180-2AOD=AOC-COD=180-2-30=150-2（2）连接 AB、OB 、OC 、ODB 为 的中点=AB=BCBC=AO=2OA=AB=OB=BC=OC=2AOB 与BOC 是等边三角形AOB=BOC=60D 是 BC 中点BOD= BOC=30，BD= BC=112 12OD2=OB2-BD2=4-1=3AOD=AOB+BOD=90AD= 2+2=4+3=7（3）如图 3 中，作直线 OD 交D 于 M，N 第 20 页，共 21 页由题意OBC 是等边三角形， OB=OC=BC=2，BD=CD=1，ODBC，OD= ，3当 AD=OM= -1 时，以 O

32、为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆外切，3ADDE=BDCD，DE= ，3+12AE= 3312当 AD=ON= +1 时，以 O 为圆心， AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆内切，3ADDE=BDCD，DE= ，312AE= ，33+12综上所述满足条件的 AE 的值为 或 3312 33+12【解析】（1）连接 OB、OC首先证明 OBC 是等边三角形，根据AOD=AOC-COD计算即可（2）连接 AB、OB、OC、OD证明AOD= AOB+BOD=90，利用勾股定理计算即可（3）如图，作直线 OD 交D 于 M，N分两种情形：当 AD=OM= -1 时，以O 为圆心， AD 为半径的圆 与以 BC 为直径的圆外切当 AD=ON= +1 时，第 21 页，共 21 页以 O 为圆心，AD 为半径的 圆与以 BC 为直径的圆内切，本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相交弦定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题