广东省揭阳市2019年高考二模理科数学试题（含答案解析）

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1、绝密启用前揭阳市 2019 年高考二模数学(理科)2019.4本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共

2、60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则|1Mx|21NxyMNA B C D|21|0x1|2x答案：A考点：集合的运算。解析： ， ，选 A。1|2NxMN1|2x2复数 的共轭复数的虚部为iA B C D1010310310答案：B考点：复数的概念，复数的运算。解析： ，共轭复数： ，虚部为12i5210ii510i103在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 21，则na13345aA33 B72 C84 D 189答案：C考点：等比数列的通项公式。解析：因为 21，所以， 21， 代入，得123a211aq13a，各项为正，所以，q

3、2，26084345a123()a4. 已知向量 ，且 ()ab+，则 m=,(,mbA.8 B.6 C. 6 D. 8答案：D考点：平面向量的数量积。解析： ，依题意，有： ，(4,2)ab()0ab所以， ，即 ，解得：m8,30m1245已知双曲线 的虚轴长是 2，则实数 的值为2xyA B C D4141答案：C考点：双曲线的性质。解析：双曲线为： ，虚轴长：2 2，解得：m121xym6某公司 2018 年在各个项目中总投资 500 万元，右图是几类项目的投资占比情况，已知在 1 万元以上的项目投资中，少于 3 万元的项目投资占 ，那821么不少于 3 万元的项目投资共有A56 万元

4、 B 万元 C 万元 D 万元659147 5万1万3%1万5万万46%）答案：B考点：统计图。解析：由图可知，1 万元以上的项目投资占：10.460.330.2121%，5000.21105，少于 3 万元的项目投资占 ，则不少于 3 万元的项目投资占82 132105 65 万元。选 B。217 如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为A B C D 126820主主主324答案：D考点：三视图，三棱锥的体积。解析：如下图，该几何体为截去一个三棱锥 DABC 后的几何体，V432 244201238. 我国古代数学专著九

5、章算术中有一个“两鼠穿墙题” ，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半。问何日相逢？各穿几何？”右图的程序框图源于这个题目，执行该程序框图，若输入 ，则输出的结果为20xA3 B4 C5 D6 答案：C考点：程序框图产。解析：第 1 步：T2，S2，S20 成立，a2，b= ，n=2，12第 2 步：T2 ，S4 ，S20 成立，a4，b= ，n=3，14第 3 步：T ，S ，S20 成立，a8，b= ，n=4 ，758第 4 步：T ，S ，S20 成立，a16，b= ，n=5，6816第 5 步：T ，S ，S20 不成立，退出循环，输出 n

6、=5，2149设函数 ，则下列结论错误的是：()cos3in(2)fxxA2 为 f(x)的一个周期 By= f(x)的图像关于直线 x= 对称2C f(x)的一个零点为 x= D 的最大值 为 24答案：D考点：三角恒等变换。解析： ，()cos23in(2)fxxcos3s2x()31)cos2fx最小正周期为：T ，显然2 是它的一个周期，A 正确；函数图象的对称轴为： ，即 ，当 k1 时，对称轴为： ，B 正确；k零点为： ，即 ，当 k0 时，点为 x= ，C 正确；2xk14x4的最大值为 ，D 错误，选 D。()f310.以下四个数中，最大的是A B C D3ln1eln15l

7、n30答案：B考点：构造函数法，函数的导数及其应用。解析：构造函数 ，则 ， ， ，ln()xf3l()f1()feln15ln(),(15)30ff由 知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时，21l()fx()f0,e,xe有最大值，故选 B11.设 、 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点，1F22:1(0)xyEabP2xa21P是底边为 的等腰三角形，且直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为：1F1PF3EA. B. C. D. 0358352答案：A考点：椭圆的性质，三角函数。解析：由题意可知 2122121244tan,coscs()cos,3 525acPFPFxFP

8、F解得 ，选 A.103ce12.已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上存在点 Q，2()()fxx()3gxa且 P， Q关于原点对称，则实数 a的取值范围是：A B C D4,050,80,45,48答案：C考点：函数的导数及其应用。解析：设 ，则(,)Pmn1,2(,)Qmn由 得23a2 330,2am令 ，则 ， ，1tm3t321,(),()tpttpt在 单调递减，在 单调递增，()p,22且 解得 .(1),(),2,8pa04a二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 xyy02x32zxy答案：0考点：线性规

9、划。解析：不等式表示的平面区域如下图所示，目标函数 经过点 O（0，0 ）时，取得最小值为 0。32zxy14 展开式中 的系数为 421()x2x答案：5考点：二项式定理。解析： ，系数为 5。24421C()xx215已知等差数列 na的前 项和为 nS，若 ，当 时， 的最大值为 4810,36SnN3naS答案：17考点：等差数列的通项公式，前 n 项和，函数的单调性。解析：由 解得 ， ，1460823ad1,ad1()nan(1)2S3 2,()7n nS 由函数 的单调性可知当 或 4 时， 取得最大值 .12()fx33naS1716.已知底面为矩形的四棱锥 的各个顶点都在半径

10、为 2 的球面上，且 ，SABCD 3,ABC则四棱锥 体积的最大值为 S答案： 3考点：四棱锥与球的结构特征，棱锥的体积。解析：显然球心 O 在平面 ABCD 的射影为 AC 的中点 M，则 22223()3,(3)1,ACM所以四棱锥 的高的最大值为 3，SABCD此时四棱锥 体积的为 1三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题 第 21 题:为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题 第 23 题为选考题，考生根据要求做:答（一）必考题：共 60 分17.（ 12 分）已知 的三个内角 、B、C 的对边分别为 、 、 ， 的面积为 S，且 .ABC

11、AabcABC243aS（1 ）若 且 ，求 边的值；061ba（2 ）当 时，求 的大小.3c18.（12 分）已知如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，PABCDABPABCDE、F 分别为 PC 的三等分点(1)证明： 平面 ；/E(2)已知 ， ，求二面角 的余弦值.12EDEFCBDAP19 （ 12 分）已知抛物线 的焦点为 F，过点 的直线 与抛物线 交于 两点.2:4xy(2,)PlC,AB(1) 当点 为 A、B 的中点时，求直线 的方程；PAB（2 ）求 的最小值 .F20.（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值 m25

12、3或152m354或015m465等级 一等品 二等品 三等品某企业从生产的这种产品中抽取 100 件产品作为样本，检测其质量指标值，得到右图的频率分布直方图. （同一组数据用该区间的中点值作代表）：（1 ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合 “一、二等品至少要占全部产品 82%”的规定？（2 ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足 ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降X2(31,)N:低多少？650.5万万0.12 5435251550.18万/万0.20.6（3）若企业每件一等品售价 180

13、元，每件二等品售价 150 元，每件三等品售价 120 元，以样本中的频率代替相应概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 （单位：元） ，求X的分布列及数学期望.X21.（ 12 分）已知函数 .()(1)()xfemR（1 ）若函数 的极小值为 1，求实数 的值；（2 ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.0x()ln()02fxm（二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点，xOy1:3Cyx222:15y轴的正

14、半轴为极轴建立极坐标系.x(1)求 的极坐标方程 ;12,C(2)若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 圆 与 的交点为3R61C2,OA2C3，求 的面积.,OBA23. 选修 4 5：不等式选讲 (10 分）已知正实数 x， y 满足 1x（1 ）解关于 x 的不等式 ； 522y（2 ）证明： .219揭阳市 2019 高考二模数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分

15、，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B C D C B D C D B A C二、填空题题序 13 14 15 16答案 0 5 17317 解：（1）解法 1：由 和 得 ，-2 分sin2SabC243S2sinabC又 且 ， ；-5 分06C3【解法 2：由正弦定理 和 得-2 分sinicA1sin2cA由 -4 分2433siaSabaC又 且 ， -5 分】06,i3,（2 ）解法

16、 1：由 和 得-7 分22cos2sinbcA-9 分23sinc(in)()66bcA-11 分21,342b又 所以 A 的值为 .-12 分2sin(),60,3【解法 2：由 和 得 ，1sinSbcA243aS2sinabcA又 ，所以 ，-7 分2oa2icos两边除以 得 ，-8 分23si1()cosbb又 ，得 ，2cb(in843(2)csAA所以 ，即 ，-10 分3sincosA2scoin6得 ，又 ，所以 ，i()16762得 .-12 分】318.解：(1)证明：连接 AC 交于 BD 点 O，连接 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 的中点又 E

17、、F 分别为 PC 的三等分点，E 为 CF 的中点，所以 AFEO . -2 分因为 EO平面 BDE，AF 平面 BDE，所以 平面 .-4 分/AFBD（2 ）以 A 为原点，AD 、AB、AP 的分别为 轴方向建立空间直角坐标系，如图所示由条件可得,xyz，-5 分1,0,21,01CP，-6 分44,33PEE， 为平面 ABD 的一个法向量，-8 分,DB1,0n设面 BDE 的一个法向量为 ，则2nxyzyCBADPEFxzCBADPEFO，即 ，取 ，则 ，20nDBE20143xyz1y2,xz所以 ，-10 分2,，1212cos,3|n所以二面角 的余弦值为 .-12 分

18、DAEC219 解 (1)解法 1：设 ， ， ，-1 分1,xy2,By214,xy显然 ，两式相减得 -4 分21224k所以直线 的方程为 .即 .-5 分A()yx0y【解法 2：设 ， ，显然直线 有斜率，1,x2,Bl设 的方程为 -1 分l()k联立方程 ，消去 整理得24yxx2 2414()0ykyk由 解得 （ 明显不成立）-4 分11k1k0所以直线 的方程为 .即 .-5 分】AB2()y【解法 3：设 ， ，显然直线 有斜率，设 的方程为 -11,x,ll(2)ykx分联立方程 ，得 ，2()4yk248(1)0xk所以 ，又 ，解得 ，-4 分1x12所以直线 的方

19、程为 ，即 .-5 分】AB()yxy(2)解法 1：显然直线 有斜率，设 的方程为 -5 分ll(2)kx设 ， ，由抛物线定义可知 ， ，-,xy2, 1AF21By-6 分所以 -7 分12122AFByy联立方程 ，消去 整理得2()4ykxx 2414()0kyk， -9 分1212()yk所以 212 3981984AFBk所以当 时， 取得最小值，且最小值为 .-12 分34kAFB 92【解法 2：由抛物线定义可知 ， ， -6 分1y21Fy所以 ，-7 分122AFBy，由（1）知 ，得 ，214xy18()xk2124()k，-9 分224k4所以23989AFBk 所以

20、当 时， 取得最小值，为 .-12 分】34kF20 解：（1）根据抽样调查数据知，样本中一等品和二等品共有：（件）0.5+8.2108（在样本中所占比例为 80%，因此不能认为这种产品符合规定-2 分（2）由频率分布直方图知，活动前样本的均值为，.530.1240.65.2603.8活动后的均值为 ，所以均值降低了 1.8；-4 分1（3）由样品估计总体知，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为 二等品的概率为 ，1,310三等品的概率为 -5 分,5随机变量 的所有可能取值为 240，270，300 ，330，360. -6 分X1213(240),(70),25PPXC393,5C12

21、1(0),(60).024X所以 的分布列为：-10 分的数学期望X-12 分132931240706038.514EX21. 解：（1 ） ，若 ，则 ，()xfem()fx在 单调递增，所以 无极值-2 分,240 270 300 330 360()P214若 ，当 时， ，当 时， ，0mlnx()0fxlnm()0fx在 单调递减，在 单调递增，()f,)l,)所以 的极小值为 由 ，解得 -5 分x(l),fm(11（2 ）方法 1：令 （ ）-6 分()1ln)2xgex0，令 ，2()x()(1)he，令 ，21()()xemh2()xpxm显然 在 单调递增， .-8 分p0,

22、(0当 时， ， 在 单调递增，2(),x()h)hx,)，即 ， 在 单调递增，()1mhg(g所以 ，此时符合题意；-10 分(0)gx当 时， 使 ，故 在 恒为负值，2,p0(,)x0()px()px0,)在 单调递减，此时 ，()hx0,) 12mh所以 在 单调递减，所以 ，此时不符合题意，g(x()gx故所求 的取值范围为 .-12 分m(,2【方法 2：把 代入不等式 得 ，下面验证当 时，0x)ln(1)0mfx22m不等式 对 恒成立，-7 分(1)2ex令 -8 分()l()xg，令 ，2(1)xme2(1)xmhe，当 时， ，又 ，2()()xh0，又 ， ， 在 单

23、调递增，-11 分21()mxxe()hx()0,)，所以 在 单调递增，()012mhx()gx0,)，故所求 的取值范围为 -12 分】()0g(,222.解：（1 ）因为 cosx， siny，-1 分所以 1C的极坐标方程为 ，即 ，-3 分i3co03R2的极坐标方程为 . -4 分2s4i即 -5 分cos4in0（2 ） 代入 ，解得 .-7 分32cosin0123代入 ，解得 .-8 分62故 的面积为 .-10 分OAB53123sin6423.（ 1）解： ,0,xyy且-2 分152522x01011()xxx解得 ，所以不等式的解集为 -5 分6x,)6（2 ）解法 1： 且 ， 1,y0,y2222()()()xxyx. -9 分22y 22()()yxy5x259xy当且仅当 时，取“=”. -10 分1x【解法 2： 且 ，,y0,y-6 分22211()xx-8 分2()y 22(1)()xyx1yx当且仅当 时，取“=”. -10 分】21xy219()y12xy