2019年湖南省湘潭市雨湖区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年湖南省湘潭市雨湖区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）1（3 分）2 的相反数是（ ）A2 B2 C D2（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）A BC D3（3 分）为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，湘潭市 2018 年资助贫困学生共资助资金 2274.72 万元，将 2274.72 万元用科学记数法表示为（ ）元A2.2747210 3 B0.22747210 4C2.2747210 7 D2.27472 1084（3 分）下列运算正确的是（ ）A2a 3+a3a 4 B（2x 3y） 24x 6y2Ca（ab

2、+1 ）a 2ab D2ab3a （ba）ab3a 25（3 分）湘潭市 2018 年中小学生篮球比赛，近 50 支队伍参赛，是近年来参赛队伍最多的一次，堪称我市中小学生的篮球盛事，或称篮球盛世，共历经 117 场球，小明所在篮球队在某场比赛中，投球数与得分数如表所示：分数 0 1 2 3投球数 14 5 15 3则小明所在篮球队得分的众数是（ ）A3 B2 C15 D06（3 分）已知一元二次方程 x2+5x20 的两根为 x1， x2，则 x1x2 的值是（ ）A5 B5 C2 D27（3 分）如图，已知 ab，135，则2（ ）A155 B145 C135 D1258（3 分）如图，在A

3、BCD 中，已知 ED2AE，CE 交 BD 于点 O，若BCO 的面积为9，则DEO 的面积是（ ）A2 B4 C6 D8二、填空题：（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）9（3 分）分解因式：x 24 10（3 分）如果菱形的两条对角线长分别是 6cm 和 8cm，那么菱形的边长为 cm11（3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 12（3 分）如图，已知 Rt ABC 斜边 AB 长为 13，则中线 CD 长为 13（3 分）如图，点 A、B、C 、D 在圆 O 上，A140，则C 14（3 分）河妇荡杯题：今有妇人河上荡杯（洗碗），津吏问曰：“杯何以多？”（

4、碗为何这么多）妇人曰：“家有客”津吏问：“客几何？”妇人曰：“二人共饭（二人共用一个碗盛饭），三人共羹（三人共用一个碗盛汤），四人共肉，凡用杯（碗）六十五，不知客几何？“请你帮助津吏算一下，共有客人多少位？若设共有客人 x 位，则可列方程为 15（3 分）已知一元二次方程 x2+3xm 0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 16（3 分）已知函数 y （k0）的图象如图所示，且知矩形 ABOC 的面积为 4，则k 三、解答题（共 10 小题，第 17-22 题，每小题 6 分，第 23-24 题，每小题 6 分，第 25-26题，每小题 6 分，共 72 分）17（6 分）计算： 2sin6

5、0+（ ） 1 +2019018（6 分）化简求值：（x ） y，其中 x2，y 19（6 分）已知一次函数 yax+b 与反比例函数 y 的图象相交于 A（2，3），B（1 ，m）求一次函数和反比例函数的解析式20（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，AE，DF 相交于点 O 且 AFBE（1）求证：ABEDAF；（2）求证：AEDF 21（6 分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东3

6、0方向上（1）求APB 的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 20 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？22（6 分）在雨湖区第十九届“艺术百佳”评选活动中，某中学有 A、B、C 三名同学荣获美术组一等奖，D、E 两名同学荣获舞蹈组一等奖，现要从美术组、舞蹈组中各选一名同学参加市级比赛（1）请写出所有选择方案（利用树状图或列表法表示）（2）如果（1）中各种选择方案被选中的可能性相同，那么 A 同学被选中的概率是多少？23（8 分）为了更好地营造书香校园，在全校师生中倡导多读书、读好书的文明风尚，进一步推动阅读活动深入开展，提高青少年的阅读兴趣和阅读水平，促进人的成长在“4.23

7、世界读书日”活动中，莲城中学随机抽样调查部分同学对 A 国学类、B 科技类、C 文艺类、D 体育生活类等书籍的喜好程度（每人只选一类）根据调查结果，绘制出图 1，图 2 两幅不完整的统计图请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次调查的人数为 人，其中喜欢文艺类书籍的人数占 %；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有 2000 名学生，请估计该校学生中喜欢国学类书籍的人数24（8 分）为了改善我市职工生活环境，完善小区生活配套设施，市政府决定在“综合整治”规划中将 200 吨水泥，120 吨外墙涂料运往我市的 A 镇，现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水泥和外墙涂料全部运出，已知一辆甲种货

8、车可装水泥和外墙涂料各20 吨，一辆乙种货车可装水泥 40 吨和外墙涂料 10 吨（1）请你帮忙决定如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到目的地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费 960 元，乙种货车每辆要付运输费 1200 元，则应选择哪种方案使运输费最少？最少运费是多少？25（10 分）如图，圆 O 与 AB 相切于点 B，连接 OA，以 A 为顶点在 OA 左侧作CAOBAO ，交圆 O 于点 C过点 C 作 CEAB，垂足为点 E，与 AO 交于点 F，连接 CB 交 AO 于点 D（1）求证：AC 与圆 O 相切（2）当 BD4，sinOAB 时，求圆 O 的半径（3）在（2

9、）的情况下，求 EF 的长26（10 分）如图，抛物线 yax 2+bx+4 与 x 轴交于 A（2，0）、B（4，0）两点，与 y轴交于点 C，点 P 是线段 AB 上一动点（端点除外），过点 P 作 PDBC，交 AC 于点D，连接 CP（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点 P 运动到何处时，AP 2ADAC；（3）当PCD 的面积最大时，求点 P 的坐标2019 年湖南省湘潭市雨湖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）1（3 分）2 的相反数是（ ）A2 B2 C D【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求

10、解即可【解答】解：2 的相反数是：（2）2，故选：A【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）A BC D【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上画出不等式组的解集，即可得出选项【解答】解：解不等式得：x1，不等式组的解集是 x1，在数轴上表示为： ，故选：D【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键3（3 分）为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，

11、湘潭市 2018 年资助贫困学生共资助资金 2274.72 万元，将 2274.72 万元用科学记数法表示为（ ）元A2.2747210 3 B0.22747210 4C2.2747210 7 D2.27472 108【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：2274.72 万用科学记数法表示为 2.27472107故选：C【点评】本题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a

12、10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（3 分）下列运算正确的是（ ）A2a 3+a3a 4 B（2x 3y） 24x 6y2Ca（ab+1 ）a 2ab D2ab3a （ba）ab3a 2【分析】分别依据合并同类项法则、单项式的乘方、单项式乘多项式法则逐一计算即可得出答案【解答】解：A2a 3 与 a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B（2x 3y） 24x 6y2，此选项正确；Ca（ab+1 ）a 2ab+a，此选项错误；D2ab3a（ba）2ab 3ab+3a2ab+3a 2，此选项错误；故选：B【点评】本题主要考查单项式乘多

13、项式，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式的乘方、单项式乘多项式法则5（3 分）湘潭市 2018 年中小学生篮球比赛，近 50 支队伍参赛，是近年来参赛队伍最多的一次，堪称我市中小学生的篮球盛事，或称篮球盛世，共历经 117 场球，小明所在篮球队在某场比赛中，投球数与得分数如表所示：分数 0 1 2 3投球数 14 5 15 3则小明所在篮球队得分的众数是（ ）A3 B2 C15 D0【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数即可得出答案【解答】解：在这一组数据中 2 分是出现次数最多的，出现了 15 次，众数是 2 分；故选：B【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组

14、数据中出现次数最多的数6（3 分）已知一元二次方程 x2+5x20 的两根为 x1， x2，则 x1x2 的值是（ ）A5 B5 C2 D2【分析】由韦达定理即可求解【解答】解：由韦达定理得，x 1x2 2故选：D【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，设一元二次方程 ax2+bx+c0（ a，b，c R，a 0）中，两根 x1，x 2 有如下关系： x1+x2 ，x 1x27（3 分）如图，已知 ab，135，则2（ ）A155 B145 C135 D125【分析】依据 ab，即可得到3135，再根据邻补角即可得到21803145【解答】解：如图，ab，3135，21803145，故

15、选：B【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等8（3 分）如图，在ABCD 中，已知 ED2AE，CE 交 BD 于点 O，若BCO 的面积为9，则DEO 的面积是（ ）A2 B4 C6 D8【分析】证明EODCOB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，ED2AE， ，ADBC，EOD COB ， （ ） 2，即 ，解得，DEO 的面积4，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键二、填空题：（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 2

16、4 分）9（3 分）分解因式：x 24 （x+2）（x 2） 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可【解答】解：x 24（x +2）（x 2）故答案为：（x+2）（x 2）【点评】本题考查了平方差公式因式分解能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反10（3 分）如果菱形的两条对角线长分别是 6cm 和 8cm，那么菱形的边长为 5 cm【分析】如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，且 AC8cm，BD 6cm，根据菱形的性质得 ACBD，OB BD3，AC AC4，然后在 RtAOB 中利用勾股定理计算出 AB 即可【解答】解：如图，菱形 ABCD 的对角线相交

17、于点 O，且 AC8cm，BD 6cm，四边形 ABCD 为菱形，ACBD，OB BD3，AC AC4，在 Rt AOB 中，AB 5，即菱形的边长为 5cm故答案为 5【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角11（3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 x10，解不等式可求 x 的范围【解答】解：根据题意得：x10，解得：x1故答案为：x1【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，

18、被开方数为非负数12（3 分）如图，已知 Rt ABC 斜边 AB 长为 13，则中线 CD 长为 6.5 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：CD 是 RtABC 斜边上的中线，CD AB6.5，故答案为：6.5【点评】本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半13（3 分）如图，点 A、B、C 、D 在圆 O 上，A140，则C 40 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算，得到答案【解答】解：点 A、B、C、D 在圆 O 上，A+C 180 ，C40，故答案为：40【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对

19、角互补是解题的关键14（3 分）河妇荡杯题：今有妇人河上荡杯（洗碗），津吏问曰：“杯何以多？”（碗为何这么多）妇人曰：“家有客”津吏问：“客几何？”妇人曰：“二人共饭（二人共用一个碗盛饭），三人共羹（三人共用一个碗盛汤），四人共肉，凡用杯（碗）六十五，不知客几何？“请你帮助津吏算一下，共有客人多少位？若设共有客人 x 位，则可列方程为 x+ x+ x65 【分析】设共有客人 x 位，根据客人共用的杯（碗）共 65 个，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解【解答】解：设共有客人 x 位，依题意，得： x+ x+ x 65故答案为： x+ x+ x65 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元

20、一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键15（3 分）已知一元二次方程 x2+3xm 0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 x 【分析】利用判别式的意义得到3 24（m ）0，然后解关于 m 的不等式即可【解答】解：根据题意得3 24（m ）0，所以 m 故答案为 m 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根16（3 分）已知函数 y （k0）的图象如图所示，且知矩形 ABOC 的面积为 4，则k 4 【分析】根据反

21、比例函数系数 k 的几何意义得出矩形 ABOC 的面积 S|k|4，再根据双曲线所在的象限即可求出 k 的值【解答】解：由题意得：S 矩形 ABOC|k|4，又双曲线位于第二、四象限，则 k4，故答案为：4【点评】本题主要考查了反比例函数 y 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为| k|，是经常考查的一个知识点三、解答题（共 10 小题，第 17-22 题，每小题 6 分，第 23-24 题，每小题 6 分，第 25-26题，每小题 6 分，共 72 分）17（6 分）计算： 2sin60+（ ） 1 +20190【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数

22、指数幂、零指数幂可以借答本题【解答】解： 2sin60 +（ ） 1 +201902 2 +2+12 +2+1 +3【点评】本题考查实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法18（6 分）化简求值：（x ） y，其中 x2，y 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后计算得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式 y ，当 x2，y 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键19（6 分）已知一次函数 yax+b 与反比例函数 y 的图象相交于 A（2，3），B

23、（1 ，m）求一次函数和反比例函数的解析式【分析】将点 A，点 B 坐标代入函数解析式中，可求解【解答】解：反比例函数 y 的图象过点 A（2，3），B（1，m）k321mk6，m6反比例函数解析式为：y一次函数 yax +b 过点 A（2，3），B（1，6）a3，b3一次函数解析式为：y3x+3【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，牢记图象上的点的坐标满足函数图象解析式20（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，AE，DF 相交于点 O 且 AFBE（1）求证：ABEDAF；（2）求证：AEDF 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）利用全等三角形的性质

24、解答即可【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，BDAB 90，AB AD，又AFBE，在ABE 与DAF 中ABE DAF（SAS）（2）ABEDAFBAE ODA，又BAE+OAD90DAO +ODA90，AOD 90 ，AEDF 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出DAFABE 是解本题的关键21（6 分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔

25、 P 在北偏东30方向上（1）求APB 的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 20 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在ABP 中，求出PAB、PBA 的度数即可解决问题；（2）作 PDAB 于 D求出 PD 的值即可判定；【解答】解：（1）由题意得，PAB30，PBD60，APB PBDPAB30，（2）由（1）可知APBPAB30，PBAB40（海里）过点 P 作 PD AB 于点 D，在 RtPBD 中，PDBPsin60 20 （海里）20 20海监船继续向正东方向航行是安全的【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注

26、方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键22（6 分）在雨湖区第十九届“艺术百佳”评选活动中，某中学有 A、B、C 三名同学荣获美术组一等奖，D、E 两名同学荣获舞蹈组一等奖，现要从美术组、舞蹈组中各选一名同学参加市级比赛（1）请写出所有选择方案（利用树状图或列表法表示）（2）如果（1）中各种选择方案被选中的可能性相同，那么 A 同学被选中的概率是多少？【分析】（1）利用树状图得出所有等可能结果；（2）从树状图中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得【解答】解：（1）画树状图如下：（2）由树状图知共有 6 种等可能结果，其中 A 同学被选中的有 2 种结果，A 同学被选中的概率为

27、【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23（8 分）为了更好地营造书香校园，在全校师生中倡导多读书、读好书的文明风尚，进一步推动阅读活动深入开展，提高青少年的阅读兴趣和阅读水平，促进人的成长在“4.23 世界读书日”活动中，莲城中学随机抽样调查部分同学对 A 国学类、B 科技类、C 文艺类、D 体育生活类等书籍的喜好程度（每人只选一类）根据调查结果，绘制出图 1，图 2 两幅不完整的统计图请结合图中的信息解答下列问题：（

28、1）本次调查的人数为 50 人，其中喜欢文艺类书籍的人数占 20 %；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有 2000 名学生，请估计该校学生中喜欢国学类书籍的人数【分析】（1）由 D 类别人数及其百分比可得总人数，用 C 类人数除以总人数可得对应百分比；（2）用总人数乘以 B 类别的百分比求得其人数，从而补全条形图；（3）用总人数乘以 A 类别人数所占比例即可得【解答】解：（1）本次调查的人数为 816%50（人），其中喜欢文艺类书籍的人数对应的百分比为 100% 20%，故答案为：50，20；（2）B 类别的人数为 5024%12（人），补全图形如下：（3）估计该校学生中喜欢国学类书籍的人

29、数为 2000 800（人）【点评】此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键24（8 分）为了改善我市职工生活环境，完善小区生活配套设施，市政府决定在“综合整治”规划中将 200 吨水泥，120 吨外墙涂料运往我市的 A 镇，现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水泥和外墙涂料全部运出，已知一辆甲种货车可装水泥和外墙涂料各20 吨，一辆乙种货车可装水泥 40 吨和外墙涂料 10 吨（1）请你帮忙决定如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到目的地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费 960 元，乙种货车每辆要付运输费 1200

30、元，则应选择哪种方案使运输费最少？最少运费是多少？【分析】（1）设安排甲货车 x 辆，乙货车（8x）辆，根据题意列出不等式组，进而解答即可；（2）根据（1）得出三种方案的费用，进而比较即可【解答】解：（1）设安排甲货车 x 辆，乙货车（8x）辆，由题意得： ，解得 4x6，又 x 为整数，所以 x 为 4，5，6，有三种方案方案一：甲货车 4 辆，乙货车 4 辆方案二：甲货车 5 辆，乙货车 3 辆方案三：甲货车 6 辆，乙货车 2 辆；（2）三种方案费用：方案一：4960+412008640（元）方案二：5960+312008400（元）方案三：6960+212008160（元）864084

31、008160答：王老板应选择方案三使运输费最少，最少运费是 8160 元【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，用到的知识点是一元一次不等式组，关键是根据不等式组的解集求出租车方案25（10 分）如图，圆 O 与 AB 相切于点 B，连接 OA，以 A 为顶点在 OA 左侧作CAOBAO ，交圆 O 于点 C过点 C 作 CEAB，垂足为点 E，与 AO 交于点 F，连接 CB 交 AO 于点 D（1）求证：AC 与圆 O 相切（2）当 BD4，sinOAB 时，求圆 O 的半径（3）在（2）的情况下，求 EF 的长【分析】（1）过点 O 作 OC1AC，垂足为 C1，由角平分线的性质即可得

32、证；（2）设 OD3k ，OB5k，由 BD4 可求出圆的半径，（3）先根据 sinOAB 求出 BE，CE 长，可证得FDC BEC，求出 CF 长，则 EF可求出【解答】证明：（1）过点 O 作 OC1AC，垂足为 C1，圆 O 与 AB 相切于点 B，OBAB，CAOBAO，OC 1OB，又 OCOB，OC 1 与 OC 重合，OC AC ，又点 C 在圆上，AC 与圆 O 相切；解：（2）由（1）知，AC、 AB 是圆 O 的切线，由切线长定理知，AOBC 于 D，又RtABO 中，ABO90，OABDBO，sinOAB sinDBO ，设 OD3k，OB5k，又 BD4，（5k） 2

33、（3k ） 2+16，k21，解得符合题意的 k1，圆 O 的半径 OB5；（3）在 RtABO 中，ABO90，BD AO 于 D，BD4，OB5，sinOAB ，OA ，AB ，由（1）知 ACAB ，设 BEx，则 AE ，在 Rt AEC 与 RtBEC 中，AC 2AE 2BC 2BE 2，即 ，解得，x ，在 Rt BEC 中，BC8，BE ，CE ，CEAB， FDCBEC90，又DCF 为公共角，FDCBEC， ，即 ，CF5，EFCECF 【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点26（10 分）如图，抛物线 yax 2

34、+bx+4 与 x 轴交于 A（2，0）、B（4，0）两点，与 y轴交于点 C，点 P 是线段 AB 上一动点（端点除外），过点 P 作 PDBC，交 AC 于点D，连接 CP（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点 P 运动到何处时，AP 2ADAC；（3）当PCD 的面积最大时，求点 P 的坐标【分析】（1）将点 A 和点 B 的坐标代入解析式求出 a、b 的值即可得；（2）分ADPACP 和ADPAPC 两种情况分别求解，第一种情况显然不符合；第二种情况先由 PDBC 知 ，据此得 AD AP由CAP 为公共角且ADPAPC 知APDAPC依据 AP2AD AC 得 AP2 AP2 ，求出

35、 AP的长，从而得出答案；（3）由APDABC 知 （ ） 2，据此得 SAPD （ ） 2SABC ，依据 SPCD S APC S APD （x+1） 2+3，从而得出答案【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+4 与 x 轴交于 A（2，0）、B（4，0）两点， ，解得 抛物线的解析式为 y x2x +4（2） CAP 为公共角，当ADPACP 时，APDACP又PDBC，ADPACBACP，点 P 与点 B 重合，不合题意，所以此情况不存在由题意得：AO 2，BO4，CO4，AC2 又PDBC， ，即 ，AD APCAP 为公共角，当ADPAPC 时，APDAPCAP 2AD AC，即 AP2 AP2 ，AP ，P（ ，0）；（3）设 P 的坐标为（x ，0），PDBC，APDABC， （ ） 2，S APD （ ） 2SABC （ ） 2 64 ，则 SPCD S APC S APD （2x）4 （x+1） 2+3，当 x1 时，PCD 的面积最大，此时 P 的坐标为（1，0）【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、割补法求三角形的面积及二次函数的性质的运用