2019年高考（理科）数学考前30天：计算题专训（十九）含答案

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1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（十九）17 （12 分）在等差数列 na中， 3412a，公差 d，记数列 21na的前 项和为 nS（1）求 nS；（2）设数列 1na的前 项和为 nT，若 2a， 5， m成等比数列，求 mT【 解 析 】 解：（1） 341a， 112502ad， 1， 21na3 分 2143nn， 24nSn6 分（2）若 2a， 5， m成等比数列，则 225ma，即 319， 148 分 122naSnn， 14141357929mT 12 分18（12 分）如图，在底面为矩形的四棱锥 PABCD中， PAB（1）证明：平面 B平面 PCD

2、；（2）若异面直线 C与 所成角为 60， ， C，求二面角BPD的大小【 解 析 】 （1）证明：由已知四边形 ABCD 为矩形，得 ABC，PBA， BC， A平面 PBC，又 CD ， 平面 PBC，平面 PCD， 平面 P平面 PCD； 4 分（2）解：以 B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，设 1PA， 0Ca，则 0,B， ,， 1,P， ,1Da，5 分所以 1,PCaur， 0,Baur，则 cos60CBur，即21a，解得 （ 舍去） 7 分设 1,nxyzr是平面 PBD的法向量，则 0nBPDru即 10xyz，可取 0,r，设 2,mxyzur是平面

3、 PCD的法向量，则 0mPCDur即 220xyz，可取 1,0r，所以 1cos,2nru，由图可知二面角 BPDC为锐角，所以二面角 BPDC的大小为 6012 分19（12 分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量 x（千辆） 2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 y(元 ) 3.2 2.4 2 1.9 1.7根据以上数据，研究

4、人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： (1)4.yx，方程乙： (2)6.41yx（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到 0.1）（备注： iiey， ie称为相应于点 (,)ixy的残差（也叫随机误差）；租用单车数量 x（千辆） 2 3 4 5 8每天一辆车平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7估计值 (1)iy2.4 2.1 1.6模型甲残差 (1)ie0 0.1 0.1模型乙 估计值 (2)iy2.3 2 1.9残差 (2)ie0.1 0 0分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 1Q及 2，并通过比较 1Q， 2的

5、大小，判断哪个模型拟合效果更好（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8 千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6 元收入的概率分别为0.6，0.4；投放 1 万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6 元收入的概率分别为 0.4，0.6问该公司应该投放 8 千辆还是 1 万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润收入成本）【 解 析 】 解：（1）经计算，可得下表：3 分 221010.3Q， 20.1Q， 5 分12，故模型乙的拟合效

6、果更好 6 分（2）若投放量为 8 千辆，则公司获得每一辆车的收入期望为0.6.4，所以一天的总利润为 8.4170536（元） ， 8分若投放量为 1 万辆，由（1）可知，每辆车的成本为 26.41.60（元） ， 9 分每辆车一天收入期望为 .0.76， 10 分所以公司一天获得的总利润为 .1405936（元） ， 11 分因为 59360，所以投放 1 万辆能获得更多利润，应该增加到投放 1 万辆 12 分20 （12 分）如图，设椭圆 2:10xyCab的离心率为 12， A， B分别为椭圆 C的左、右顶点， F为右焦点直线 6x与 C的交点到 y轴的距离为 27过点 做x轴的垂线

7、l， D为 l上异于点 B的一点，以 D为直径作圆 E（1）求 C的方程；（2）若直线 A与 的另一个交点为 P，证明：直线 PF与圆 相切【 解 析 】 （1）解：由题可知 12ca， c， 23b1 分设椭圆 C的方程为2143xyc，2 分由21,436xyc得 27cx， 1， 2a， 3b，故 C的方程为2143xy5 分（2）证明：由（1）可得 ,0F，设圆 E的圆心为 2,0t，则 2,Dt，圆 E的半径为 Rt6 分直线 AD的方程为 2tyx7 分（方法一）由2134xyt，得 223410txt，8 分由2Ptx，得26Ptx， 263Pttyx，直线 F的方程为 2231

8、16ttyxxt，即 210txyt10 分点 ,Et到直线 PF的距离为 2 232411tttd t，直线 PF与圆 E相切12 分（方法二）设过 与圆 相切的直线方程为 1xky，则 21kt，整理得21tk，8 分由21tyx，得2263txyt，10 分又22613643tt，11 分直线 PF与圆 E相切 12 分21 （12 分）已知函数 21lnfxaxb的图象在 1x处的切线 l过点 1,2（1）若函数 0gf，求 g的最大值（用 a表示） ；（2）若 4a， 121213fxfx，证明： 12x 【 解 析 】 （1）解：由 fxab，得 fab，1 分l的方程为 112yabx，又 l过点 ,2， 122，解得 0b3 分 21ln1gxfaxax， 2 111 0axaxgx a，4 分当 0,a时， 0gx， x单调递增；当 1,x时， x， gx单调递减；6 分故 2max11lnln2gaaa7 分（2）证明： 4， 22121211 1213lnln3fxfxxxx1212121ln， 12121212lnxxx9 分令 120m， lm， 1m，令 得 1；令 0得 在 0,上递减，在 ,上递增， 1m ， 2121xx ， 120x，解得 12x 12 分