浙江省嘉兴、平湖市2019年5月高三模拟考试数学试题卷含答案（PDF版）

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1、数学 试题 第 1 页（ 共 6 页） 2 0 1 8 学 年 第 二 学 期 高 三 模 拟 考 试 数 学 试 题 卷 2 0 1 9 . 5 姓 名 准 考 证 号 本 试 题 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分 。 全 卷 共 6 页 ， 选 择 题 部 分 2 页 至 3 页 ； 非 选 择 题 部 分 4 页 至 6 页 。 满 分 1 5 0 分 ， 考 试 时 间 1 2 0 分 钟 。 考 生 注 意 ： 1 答 题 前 ， 请 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 或 钢 笔 分 别 填 写 在 试 题 卷

2、和 答 题 纸 规 定 的 位 置 上 。 2 答 题 时 ， 请 按 照 答 题 纸 上 “ 注 意 事 项 ” 的 要 求 ， 在 答 题 纸 相 应 的 位 置 上 规 范 操 作 ， 在 本 试 题 卷 上 的 作 答 一 律 无 效 。 参 考 公 式 ： 如 果 事 件 A ， B 互 斥 ， 那 么 ) ( ) ( ) ( B P A P B A P 如 果 事 件 A ， B 相 互 独 立 ， 那 么 ) ( ) ( ) ( B P A P B A P 如 果 事 件 A 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 是 P ， 那 么 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事

3、件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 ) , , 2 , 1 , 0 ( ) 1 ( ) ( n k p p C k P k n k k n n 球 的 表 面 积 公 式 2 4 R S ， 其 中 R 表 示 球 的 半 径 球 的 体 积 公 式 3 3 4 R V ， 其 中 R 表 示 球 的 半 径 棱 柱 的 体 积 公 式 S h V ， 其 中 S 表 示 棱 柱 的 底 面 积 ， h 表 示 棱 柱 的 高 棱 锥 的 体 积 公 式 S h V 3 1 ， 其 中 S 表 示 棱 锥 的 底 面 积 ， h 表 示 棱 锥 的 高 棱 台 的 体 积 公 式 )

4、( 3 1 2 2 1 1 S S S S h V ， 其 中 2 1 , S S 分 别 表 示 棱 台 的 上 、 下 底 面 积 ， h 表 示 棱 台 的 高 数学 试题 第 2 页（ 共 6 页） 选 择 题 部 分 （ 共 4 0 分 ） 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 1 0 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 4 0 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。 1 设 集 合 | | 1 A x x ， 集 合 2 x y y B ， 则 B A = A 1 , 1 - B 2 , 1 - C 2

5、, 0 D 1 , 0 2 椭 圆 1 4 9 2 2 y x 的 焦 距 c 2 A 5 2 B 6 C 13 2 D 4 3 已 知 i 为 虚 数 单 位 ， 且 z ( 3 i ) 1 i ， 则 z A i 5 2 5 1 B i 5 2 5 1 C i 5 1 5 2 D i 5 1 5 2 4 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 A 8 2 2 B 8 2 4 C 4 2 4 D 1 2 5 已 知 函 数 ) ( x f y 是 函 数 ) ( x f y 的 导 函 数 ， 如 图 所 示 将 ) ( x f y 和 )

6、 ( x f y 的 图 象 画 在 同 一 个 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 其 中 可 能 成 立 的 是 A . B . C . D .数学 试题 第 3 页（ 共 6 页） 6 设 ， 为 不 重 合 的 平 面 ， n m , 为 不 重 合 的 直 线 ， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 A 若 n m n , , ， 则 m B 若 n m n m / / , , ， 则 / / C 若 n m n m , / / , / / ， 则 D 若 m n n , , ， 则 m 7 等 比 数 列 n a 中 ， 首 项 是 1 a ， 公 比 是 q ， 则 1 q 是

7、数 列 n a 单 调 递 增 的 A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 8 已 知 b a , 是 两 个 非 零 向 量 ， 且 | | 1 , | 2 | 2 b a b ， 则 | | + | | b a b 的 最 大 值 是 A . 4 5 B . 2 5 C . 3 D . 5 9 随 机 变 量 有 三 个 不 同 的 取 值 ， 且 其 分 布 列 如 下 ： x 4 2 4 8 x 4 P 4 1 4 1 m 则 ) ( E 最 大 值 为 A . 2 5 5 4 B . 6 C .

8、2 5 2 D . 2 6 2 1 0 已 知 矩 形 A B C D 中 ， 1 , 2 B C A B ， F 为 线 段 C D 上 一 动 点 （ 不 含 端 点 ） ， 现 将 A D F 沿 直 线 A F 进 行 翻 折 ， 在 翻 折 的 过 程 中 不 可 能 成 立 的 是 A . 存 在 某 个 位 置 ， 使 直 线 A F 与 B D 垂 直 B . 存 在 某 个 位 置 ， 使 直 线 A D 与 B F 垂 直 C . 存 在 某 个 位 置 ， 使 直 线 A B 与 D A 垂 直 D . 存 在 某 个 位 置 ， 使 直 线 A B 与 D F 垂 直数

9、学 试题 第 4 页（ 共 6 页） 非 选 择 题 部 分 （ 共 1 1 0 分 ） 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 多 空 题 每 题 6 分 ， 单 空 题 每 题 4 分 ， 共 3 6 分 。 1 1 已 知 , 0 , ) 3 1 ( , 0 , 1 | 1 | ) ( x x x x f x 则 ) ) 1 ( ( f f ， ) ( x f 的 最 小 值 是 1 2 若 实 y x , 满 足 4 4 4 0 x y x y y ， ， ， 则 y x 2 的 最 大 值 是 ， 最 小 值 是 1 3 在 A B C 中 ， 已 知 4 A ， 5

10、 5 2 c os B ， 若 5 2 B C ， D 为 A B 的 中 点 ， 则 c os C ， C D 的 长 为 1 4 若 函 数 6 ( ) 6 4 f x x 表 示 为 2 6 0 1 2 6 ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) f x a a x a x a x ， 其 中 0 1 2 6 , , , , a a a a 为 实 数 ， 则 5 a ， 2 4 6 a a a 1 5 某 校 高 一 年 级 拟 开 设 1 2 门 选 修 课 程 ， 规 定 每 位 学 生 从 中 选 择 6 门 由 于 课 程 设 置 限 制 ， 某 学 生 从 D

11、 C B A , , , 四 门 课 程 中 最 多 选 1 门 ， 从 , E F 两 门 课 程 中 也 最 多 选 1 门 ， 则 该 学 生 共 有 种 不 同 的 选 课 种 数 （ 用 数 字 作 答 ） 1 6 已 知 P 为 椭 圆 2 2 1 16 4 x y 上 的 一 个 动 点 ， 过 点 P 作 圆 2 2 ( 1 ) 1 x y 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 是 , A B ， 则 | | A B 的 最 小 值 为 1 7 如 图 ， 矩 形 A B C D 中 ， 1 , 2 A D A B ， N M , 分 别 是 边 A D A B , 上 的

12、点 ， 设 , A M m A N n ， 且 , m n 满 足 1 ) 1 ) ( 1 ( 2 n m ， 则 M C N t an 的 最 大 值 为 数学 试题 第 5 页（ 共 6 页） 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 7 4 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 1 8 （ 本 题 满 分 1 4 分 ） A B C 中 ， 角 C B A , , 的 对 边 分 别 为 c b a , , 且 满 足 ac b c a 2 2 2 2 ， （ ） 求 角 B 的 大 小 ； （ ） 求 2 3 2 c

13、os 3 2 c os 2 s i n ) ( 2 A A A A f 的 取 值 范 围 . 1 9 （ 本 题 满 分 1 5 分 ） 如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 A B C D 中 ， 90 A D C ， / / C D A B , 4 A B , 2 C D A D , M 为 线 段 A B 的 中 点 ， 将 A D C 沿 A C 折 起 ， 得 到 几 何 体 A B C P . （ ） 求 证 ： P M A C ； （ ） 已 知 6 P M ， 求 直 线 P B 与 平 面 A P C 所 成 角 的 正 弦 值 . 2 0 （ 本 题 满 分 1 5 分

14、 ） 已 知 数 列 n a 满 足 奇 数 项 ， 5 3 1 , , a a a 成 等 比 数 列 ) 1 - 2 N n a n （ ， 而 偶 数 项 ， 6 4 2 , , a a a 成 等 差 数 列 ) 2 N n a n （ ， 且 1 , 2 2 1 a a ， 2 4 3 , a a a 5 6 4 a a a ， 数 列 n a 的 前 n 项 和 为 n S （ ） 求 n a ； （ ） 当 3 1 a a 时 ， 若 n n n S b 2 2 ， 试 求 n b 的 最 大 值 数学 试题 第 6 页（ 共 6 页） 21 （ 本 题 满 分 1 5 分 ）

15、已 知 抛 物 线 x y C 2 : 2 ， 过 点 ) 0 , 2 ( M 的 直 线 l 交 抛 物 线 C 于 B A , 两 点 ， 点 P 是 直 线 2 3 x 上 的 动 点 ， 且 A B P O 于 点 Q （ ） 若 直 线 O P 的 倾 斜 角 为 4 3 ， 求 A B ； （ ） 求 P Q A B 的 最 小 值 及 取 得 最 小 值 时 直 线 l 的 方 程 2 2 （ 本 题 满 分 1 5 分 ） 已 知 函 数 ， x x f l n ) ( 1 ) ( 2 bx x a x g ， ) , ( R b a （ ） 当 0 , 1 b a 时 ， 求

16、 曲 线 ) ( ) ( x g x f y 在 1 x 处 的 切 线 方 程 ； （ ） 当 0 b 时 ， 若 对 任 意 的 2 , 1 x ， 0 ) ( ) ( x g x f 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ； ( ) 当 0 , 0 b a 时 ， 若 方 程 ) ( ) ( x g x f 有 两 个 不 同 的 实 数 解 ) ( , 2 1 2 1 x x x x ， 求 证 ： 2 2 1 x x 1 2 0 1 8 学 年 第 二 学 期 高 三 模 拟 考 试 数 学 参 考 答 案 2 0 1 9 . 5 一 、 选 择 题 ： 本 题 共 1

17、 0 个 小 题 ， 每 题 4 分 ， 共 4 0 分 1 D ； 2 A ； 3 B ； 4 B ； 5 C ； 6 D ； 7 D ； 8 B ； 9 C ； 1 0 C 第 1 0 题 解 析 ： 设 ( 0 2 ) D F t t ， 所 以 2 2 1 5 4 4 1 2 2 t t t A F B D t ， 当 1 2 t 时 直 线 A F 与 B D 垂 直 ； 2 2 2 2 1 4 3 2 2 t B D t B D A D B F ， 当 3 B D 时 直 线 A D 与 B F 垂 直 ； 2 2 2 2 1 1 5 4 4 5 2 t B D t t D F A

18、 B B D t ， 当 2 4 5 0 B D t 时 直 线 D F 与 A B 垂 直 。 所 以 在 翻 折 的 过 程 中 不 可 能 成 立 的 是 ： 存 在 某 个 位 置 ， 使 直 线 A B 与 D A 垂 直 所 以 答 案 C 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 多 空 题 每 题 6 分 ， 单 空 题 每 题 4 分 ， 共 3 6 分 1 1 3 ， 1 ； 1 2 8 ， 4 ； 1 3 10 10 ， 5 ； 1 4 6 ， 3 1 ； 1 5 1 5 7 ； 1 6 4 22 11 ； 1 7 2 9 第 1 7 题 解 析 ： 设 ,

19、 A M m A N n ， , B C M D C N ， 又 1 t an 2 , t an 2 n m ， 所 以 1 2 t an t an 2 t an ( ) 1 1 t an t an 1 ( 2 ) ( ) 2 n m n m 5 2 2 ( 2 2 ) m n m n n m ， 又 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 m n ， 所 以 1 1 2 ( 1 ) m n ， 所 以 1 3 1 t an ( ) 1 2 n n n 2 7 9 1 1 ( 0 ) 2 2 1 n n n n ， 令 2 7 9 ( ) 1 ( 0 1 ) 2 1 n f n n n n ， 则 )

20、 2 1 0 ( ) 1 2 ( ) 2 ) ( 4 7 ( 2 ) ( 2 2 n n n n n n f ，2 所 以 ( ) 0 f n ， 所 以 ( ) f n 单 调 递 减 ， 所 以 m i n 1 9 ( ) ( ) 2 2 f n f 所 以 1 1 2 t an 9 t an ( ) 9 2 M C N . 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 7 4 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 8 （ 本 题 满 分 1 4 分 ） A B C 中 ， 角 C B A , , 的 对 边 分 别 为 c b

21、a , , 且 满 足 ac b c a 2 2 2 2 ， （ ） 求 角 B 的 大 小 ； （ ） 求 2 3 2 c os 3 2 c os 2 s i n ) ( 2 A A A A f 的 取 值 范 围 . 解 : ( ) 由 2 2 2 2 a c b a c ， 得 2 2 2 2 2 c os 2 2 2 a c b ac B ac ac ， 又 因 为 0 B ， 所 以 4 B . （ ） 2 3 1 3 ( ) s i n c os 3 c os s i n c os s i n ( ) 2 2 2 2 2 2 3 A A A f A A A A . 因 为 3 0

22、4 A , 所 以 1 3 3 3 1 2 A , 因 为 13 2 6 s i n s i n 12 12 4 ， 所 以 2 6 s i n ( ) 1 4 3 A , 所 以 ( ) f A 的 取 值 范 围 是 2 6 ( , 1 4 . 1 9 （ 本 题 1 5 分 ） 如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 A B C D 中 ， 90 A D C ， / / C D A B , 4 A B , 2 C D A D , M 为 线 段 A B 的 中 点 ， 将 A D C 沿 A C 折 起 ， 得 到 几 何 体 A B C P . （ ） 求 证 ： P M A C ；

23、（ ） 已 知 6 P M ， 求 直 线 P B 与 平 面 A P C 所 成 角 的 余 弦 值 . 解 : （ I ） 取 A C 中 点 E , 连 接 P E ， E M ， 因 为 E 为 中 点 ， A P C P ， 所 以 A C P E , 因 为 M E 为 中 位 线 ， 所 以 / / M E B C , 易 证 B C A C , 所 以 M E A C ， 因 为3 M E P E E ， 所 以 A C P M E 平 面 ， 所 以 A C P M . （ I I ） 解 法 一 ： 梯 形 A B C D 中 延 长 A D 与 B C 交 于 点 F ,

24、 几 何 体 P A B C 中 作 B G 垂 直 F C 的 延 长 线 于 G 点 ， 连 接 P G . 因 为 A C C F ， A C C B ， 所 以 A C B C F 平 面 ， 所 以 A C B G , 所 以 B G A C F 平 面 ， 所 以 B P G 即 为 所 求 . 因 为 M 为 中 点 ， 所 以 2 P E E M ， 6 P M ， 所 以 1 2 0 P E M F C B ， 即 6 0 B C G , 所 以 6 B G . 作 P H F C ， 直 角 三 角 形 P H G 中 ， 2 P H ， 2 2 H G ， 1 0 P G

25、 ， 所 以 4 P B ， 所 以 4 6 s i n B P G . 解 法 二 ： 作 P 在 平 面 A B C 的 投 影 O , 以 O 为 原 点 建 系 , 如 图 ， 因 为 6 P M ， 所 以 6 0 P E O ， 2 2 O E ， 2 ( 2 , , 0 ) 2 A ， 2 ( 2 , , 0 ) 2 C ， 6 ( 0 , 0 , ) 2 P ， 5 2 ( 2 , , 0 ) 2 B ， 所 以 ( 2 2 , 0 , 0 ) A C ， 2 6 ( 2 , , ) 2 2 C P ， 5 2 6 ( 2 , , ) 2 2 B P ， E H G F M C

26、 P B A E O P B M C A x y z A B C D F M 4 设 平 面 A C P 的 法 向 量 为 ( , , ) n x y z ， 则 n A C n C P ， 即 0 0 n A C n C P ， 解 得 ( 0 , 3 , 1 ) n . 设 直 线 P B 与 平 面 A P C 所 成 线 面 角 为 , 所 以 s i n c os , n B P 5 6 6 2 2 6 2 4 4 n B P n B P . 2 0 （ 本 题 满 分 1 5 分 ） 已 知 数 列 n a 满 足 奇 数 项 5 3 1 , , a a a 成 等 比 数 列

27、) 1 - 2 N n a n （ ， 而 偶 数 项 6 4 2 , , a a a 成 等 差 数 列 ) 2 N n a n （ ， 且 1 , 2 2 1 a a ， 2 4 3 , a a a 5 6 4 a a a ， 数 列 n a 的 前 n 项 和 为 n S （ ） 求 n a ； （ ） 当 3 1 a a 时 ， 若 n n n S b 2 2 ， 试 求 n b 的 最 大 值 解 ： （ ） 设 等 比 数 列 2 1 ( ) n a n N 的 公 比 为 q ， 等 差 数 列 2 ( ) n a n N 的 公 差 为 d ， 由 2 4 3 4 6 5 ,

28、a a a a a a 得 1 ( 1 ) 2 d q ， 2 ( 1 ) ( 1 2 ) 2 d d q ， 解 得 2 2 q d 或 1 0 q d 当 2 2 q d 时 ， 1 2 2 1 2 n n a ， 2 2 1 n a n ， 即 数 列 的 通 项 + 1 2 2 , 1 , . n n n a n n 为 奇 数 ； 为 偶 数 当 1 0 q d 时 ， 2 1 2 n a ， 2 1 n a ， 即 数 列 的 通 项 2 , 1 , . n n a n 为 奇 数 ； 为 偶 数 （ ） 当 1 3 a a 时 ， 由 （ ） 得 + 1 2 2 , 1 , .

29、n n n a n n 为 奇 数 ； 为 偶 数 ，5 所 以 2 1 2 2 2 n n S S S n 奇 偶 ， 所 以 2 1 2 2 2 2 2 n n n n n S n b ， 2 2 2 1 2 1 1 1 ( 1 ) 2 2 2 2 4 ( 1 ) 2 2 2 n n n n n n n n n n b b 所 以 1 2 3 4 b b b b ， 且 当 4 n 时 ， 1 n n b b 综 上 所 述 ， n b 的 最 大 值 是 3 4 23 8 b b 2 1 （ 本 题 1 5 分 ） 已 知 抛 物 线 x y C 2 : 2 ， 过 点 ) 0 , 2

30、( M 的 直 线 l 交 抛 物 线 C 于 B A , 两 点 ， 点 P 是 直 线 2 3 x 上 的 动 点 ， 且 A B P O 于 点 Q （ ） 若 直 线 O P 的 倾 斜 角 为 4 3 ， 求 A B ； （ ） 求 P Q A B 的 最 小 值 及 取 得 最 小 值 时 直 线 l 的 方 程 解 ： （ ） 因 为 直 线 O P 的 倾 斜 角 为 3 4 ， 所 以 直 线 : 2 l y x ， 2 2 2 y x y x ， 所 以 2 6 4 0 x x ， 所 以 1 1 36 16 2 10 A B ； 解 法 一 ： （ ） 当 直 线 l 的

31、 斜 率 不 存 在 时 ， : 2 l x ， 此 时 4 A B ， 8 3 P Q ， 所 以 3 2 A B P Q ； 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 ， 设 : ( 2 ) l y k x ， 由 2 2 ( 2 ) y x y k x 得 2 2 2 2 ( 4 2 ) 4 0 k x k x k 设 1 1 2 2 ( , ) , ( , ) A x y B x y 所 以 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 ( 4 2 ) 4 4 16 4 0 4 2 4 4 k k k k k x x k k x x k 6 所 以 2 2 2 16 4 1 k A

32、 B k k 因 为 P O A B ， 所 以 1 : O P y x k ， 所 以 2 2 ( , ) 3 3 P k 所 以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 2 2 2 1 | | | 1 4 | 3 2 1 | 2 3 2 3 2 | | | k k k k k k k P Q d 所 以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 4 1 ( 1 ) 3 ( 4 1 ) 4 1 2 3 1 k k A B k k P Q k k k k k 令 2 0 k t ， 令 2 2 7 1 ( 1 ) 1 1 4 ( ) ( 4 1 ) 4 4 4 t t f t t t t t 所

33、以 1 3 3 ( ) 3 4 2 A B f t P Q 综 上 所 述 ， A B P Q 的 最 小 值 为 3 2 ， 此 时 直 线 : 2 l x 解 法 二 ： （ ） 设 : 2 l x m y ， 由 2 2 2 y x x m y 得 2 2 4 0 y m y 设 1 1 2 2 ( , ) , ( , ) A x y B x y , 所 以 2 1 2 1 2 ( 2 ) 4 ( 4 ) 0 2 4 m y y m y y ， 所 以 2 2 1 4 16 A B m m 又 : P Q y m x ， 所 以 2 2 ( , ) 3 3 m P ， 所 以 点 P 到

34、 直 线 l 的 距 离 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ) 3 3 | | 3 1 1 m m d P Q m m 所 以 2 2 2 2 2 2 2 1 4 16 ( 1 ) 3 2 ( 4 ) 4 3 1 A B m m m P Q m m m 7 令 2 4 ( 4 ) m t t ， 令 2 ( 3 ) 9 ( ) 6 t f t t t t ， 所 以 ) ( t f 在 4, 上 单 调 递 增 ， 所 以 m i n 1 ( ) ( 4 ) 4 f t f ， 此 时 0 m 所 以 1 3 3 ( ) 3 4 2 A B f t P Q ， 即 A B P Q 的 最

35、 小 值 为 3 2 ， 此 时 直 线 : 2 l x 2 2 （ 本 题 满 分 1 5 分 ） 已 知 函 数 ， x x f l n ) ( 1 ) ( 2 bx x a x g ， ) , ( R b a （ ） 当 0 , 1 b a 时 ， 求 曲 线 ) ( ) ( x g x f y 在 1 x 处 的 切 线 方 程 ； （ ） 当 0 b 时 ， 若 对 任 意 的 2 , 1 x ， 0 ) ( ) ( x g x f 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ； ( ) 当 0 , 0 b a 时 ， 若 方 程 ) ( ) ( x g x f 有 两 个

36、不 同 的 实 数 解 ) ( , 2 1 2 1 x x x x ， 求 证 ： 2 2 1 x x 解 （ ） 当 1 , 0 a b 时 ， 2 1 l n 1 y x x ， 所 以 当 1 x 时 ， 2 y ， 所 以 3 1 2 y x x ， 所 以 1 1 x y 从 而 曲 线 ( ) ( ) y f x g x 在 1 x 处 的 切 线 为 2 ( 1 ) y x ， 即 3 0 x y （ ） 当 0 b 时 ， 对 任 意 的 1 , 2 x ， 2 ( ) ( ) l n 1 0 a f x g x x x 都 成 立 即 有 2 2 l n a x x x 令

37、) 2 1 ( l n ) ( 2 2 x x x x x h 所 以 ( ) 2 l n h x x x x ， 令 ( ) 0 h x 得 x e ， 所 以 ( ) y h x 在 1 , e 上 单 调 递 增 ， 在 , 2 e 上 单 调 递 减 ， 所 以 ， , 2 ) ( ) ( m ax e e h x h 所 以 2 e a . （ ） 当 0 , 0 a b 时 ， 由 ( ) ( ) f x g x 得 l n 1 x b x ， 则 l n 1 0 x b x 8 令 ( ) l n 1 ( 0 ) F x x b x x ， 则 ( ) ( ) 1 2 0 F x

38、 F x 所 以 1 ( ) F x b x ， 令 ( ) 0 F x 得 1 x b 所 以 ( ) F x 在 ( , ) 1 0 b 上 是 增 函 数 ， 在 ( , ) 1 b 上 是 减 函 数 ， 由 题 意 知 m a x ( ) ( ) 1 0 F x F b ， 解 得 0 1 b 又 ( ) , ( ) 1 0 1 1 0 b F F b e e ， 所 以 1 1 1 1 x e b ， 所 以 1 2 1 x b b 所 以 只 要 证 明 2 1 2 x x b ， 就 能 得 到 1 2 2 2 x x b 即 只 要 证 ( ) ( ) 1 1 2 0 F x

39、 F x b 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 G x F x F x x b b ， 则 2 2 l n ) 2 l n ( ) ( bx x x b x G 所 以 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 0 2 2 b x b G x b x x x x b b 所 以 ( ) G x 在 区 间 ( , ) 1 0 b 上 单 调 递 减 ， 所 以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 0 G x G F F b b b b 所 以 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 0 G x F x F x b ， 所 以 ( ) ( ) 1 2 2 0 F x F x b 所 以 1 2 2 x x b ， 即 1 2 2 2 x x b ， 证 毕