2019年广东省广州市花都区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年广东省广州市花都区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）1（3 分）下列实数属于负数的是（ ）A2 B C D02（3 分）下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D3（3 分）一组数据2，3，0，2，3 的中位数和众数分别是（ ）A0，3 B2，2 C3，3 D2，34（3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，ACB22，则AOB 的度数为（ ）A11 B22 C44 D665（3 分）下列代数式运算正确的是（ ）Aa（a+b） a2+b B（a 3） 2a 6C（a

2、+b） 2a 2+b2 D6（3 分）某商品原售价 225 元，经过连续两次降价后售价为 196 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程中正确的是（ ）A225（1x） 2196 B196（1x） 2225C225（1x 2）196 D196（1 x2）2257（3 分）如图，直线 ab，点 A、B 分别在直线 a、b 上，145，若点 C 在直线 b上，BAC105，且直线 a 和 b 的距离为 3，则线段 AC 的长度为（ ）A B C3 D68（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6cm，BC 8cm现将其沿 AE 对折，使得点B 落在边 AD 上的点 B1 处，折痕与边

3、 BC 交于点 E，则 CB1 的长为（ ）A cm B cm C8cm D10cm9（3 分）已知函数 y（xa）（x b）（其中 ab）的图象如图所示，则函数yax+ b 的图象大致是（ ）A BC D10（3 分）对于实数 a、b，定义一种新运算“”为： ，这里等式右边是通常的四则运算若（3）x 2x，则 x 的值为（ ）A2 B1 C1 D2二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）因式分解：m 2 mn 12（3 分）已知ABCDEF，且它们的周长之比为 1：3，则它们的相似比为 13（3 分）计算：| | 14（3 分）如图，RtABC 中，C9

4、0，AD 为的BAC 角平分线，与 BC 相交于点D，若 CD3，AB10，则 ABD 的面积是 15（3 分）将一个半径为 8cm，面积为 32cm2 的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的底面半径为 cm16（3 分）正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A 2，A 3和点 C1，C 2，C 3，分别在直线 ykx+ b（ k0）和 x 轴上，已知点B1（1， 1），B 2（3，2），则 B3 的坐标是 ，B 10 的坐标是 三、解答题本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5、）17（9 分）解方程组18（9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 上的点，且BF DE求证：AFCE19（10 分）为了解学生对学校饭菜的满意程度，某中学数学兴趣小组对在校就餐的学生进行了抽样调查，得到如下不完整的统计图请结合图中信息，解决下列问题：（1）此次调查中接受调查的人数为人，其中“非常满意”的人数为 （2）兴趣小组准备从“不满意”的 4 位学生中随机抽取 2 位进行回访，已知这 4 位学生中有 2 位男生 2 位女生，请用列举法求出随机抽取的学生是一男一女的概率20（10 分）已知：A（m +1）（m 1）（m +2）（ m3）（1）化简 A；（2）

6、若关于 x 的一元二次方程 x2+（m +2）x+ m20 有两个相等的实数根，求 A 的值21（12 分）如图，水坝的横断面是梯形 ABCD，背水坡 AB 的坡角BAD60，坡长AB 20m，为加强水坝强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到 E 处，使新的背水坡的坡度为 1：2，求 AE 的长度（结果精确到 1 米参考数据： 1.414， 1.732）22（12 分）如图，ABC 中，BD 是ABC 的角平分线（1）尺规作图：作线段 BD 的垂直平分线 EF，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接 DE，若 DE4，AE3，求 BC 的长23（12 分

7、）如图，已知点 A、B 分别在反比例函数 y （x0），y （k0， x0）的图象上点 B 的横坐标为 4，且点 B 在直线 yx5 上（1）求 k 的值；（2）若 OAOB，求 tanABO 的值24（14 分）如图，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A（2，0），点 B（0，2 ），动点 D 以 1 个单位长度/秒的速度从点 A 出发向 x 轴负半轴运动，同时动点 E 以 个单位长度/秒的速度从点 B 出发向 y 轴负半轴运动，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点F（1）求OAB 度

8、数；（2）当 t 为何值时，四边形 ADEF 为菱形，请求出此时二次函数解析式；（3）是否存在实数 t，使AGF 为直角三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由25（14 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，CAB 30（1）求证：ACD 是等边三角形（2）若点 E 是 的中点，连接 AE，过点 C 作 CFAE，垂足为 F，若 CF2，求线段OF 的长；（3）若O 的半径为 4，点 Q 是弦 AC 的中点，点 P 是直线 AB 上的任意一点，将点 P绕点 C 逆时针旋转 60得点 P，求线段 PQ 的最小值2019 年广东省广州市花都区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一

9、、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）1（3 分）下列实数属于负数的是（ ）A2 B C D0【分析】根据负数的定义进行判断，并且正数都大于 0，负数都小于 0，即可得到正确的选项【解答】解：20， 0， 0，且 0 既不是正数也不是负数四个选项中只有2 属于负数故选：A【点评】本题考查的是负数的定义，从负数的大小与特征上进行判断是基本方法2（3 分）下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点作答【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，

10、不符合题意；C、是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义符合题意；故选：D【点评】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点3（3 分）一组数据2，3，0，2，3 的中位数和众数分别是（ ）A0，3 B2，2 C3，3 D2，3【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众

11、数是一组数据中出现次数最多的数据【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列为：2，0，2，3，3，最中间的数是 2，则中位数是 2；在这一组数据中 3 是出现次数最多的，故众数是 3；故选：D【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错4（3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，ACB22，则AOB 的度数为（ ）A11 B22 C44 D66【分析】根据圆周角定理得出AOB2ACB，代入求出即可【解答】解： 对的圆心角是AOB，对

12、的圆周角是ACB ，ACB22，AOB2ACB 44，故选：C【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出AOB2ACB 是解此题的关键5（3 分）下列代数式运算正确的是（ ）Aa（a+b） a2+b B（a 3） 2a 6C（a+b） 2a 2+b2 D【分析】利用单项式乘多项式的法则判断 A；利用幂的乘方法则判断 B；利用完全平方公式判断 C；利用异分母分式加法法则判断 D【解答】解：A、a（a+b）a 2+ab，故本选项错误；B、（a 3） 2a 6，故本选项正确；C、（a+b） 2a 2+2ab+b2，故本选项错误；D、 + ，故本选项错误；故选：B【点评】本题考查了单项式乘多项

13、式、幂的乘方、完全平方公式，异分母分式的加法，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键6（3 分）某商品原售价 225 元，经过连续两次降价后售价为 196 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程中正确的是（ ）A225（1x） 2196 B196（1x） 2225C225（1x 2）196 D196（1 x2）225【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格（1降低的百分率）225，把相应数值代入即可求解【解答】解：第一次降价后的价格为 225（1x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低 x，为 225（1x）（1x ），则列出的方程是 225（1x

14、） 2196故选：A【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b7（3 分）如图，直线 ab，点 A、B 分别在直线 a、b 上，145，若点 C 在直线 b上，BAC105，且直线 a 和 b 的距离为 3，则线段 AC 的长度为（ ）A B C3 D6【分析】过 C 作 CD直线 a，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过 C 作 CD直线 a，ADC90，145，BAC105，DAC30，CD3，AC2CD6，故选：D【点评】本题考查了平行线间的距离，平角的定义，解直角三

15、角形，正确的理解题意是解题的关键8（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6cm，BC 8cm现将其沿 AE 对折，使得点B 落在边 AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CB1 的长为（ ）A cm B cm C8cm D10cm【分析】根据翻折变换的性质可以证明四边形 ABEB1 为正方形，得到 BEAB，根据ECBCBE 计算得到 EC，再根据勾股定理可求答案【解答】解：AB 1EB90，BAB 190，四边形 ABEB1 为矩形，又ABAB 1，四边形 ABEB1 为正方形，BEAB6cm，ECBCBE2cm，CB 1 2 cm故选：B【点评】本题考查的是翻折变换

16、、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质和矩形和正方形的判定定理和性质定理是解题的关键9（3 分）已知函数 y（xa）（x b）（其中 ab）的图象如图所示，则函数yax+ b 的图象大致是（ ）A BC D【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量 x1 及 x1 的情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：y（x a）（x b）x 2（a+b）x+ab ，抛物线的开口向上知 a0，与 y 轴的交点为在 y 轴负半轴上，ab0，对称轴在 y 轴的左侧，二次项系数大于 0，（a+b）0a+b0，ab，a0，b

17、0，yax+b 的图象是 C 选项，故选：C【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式10（3 分）对于实数 a、b，定义一种新运算“”为： ，这里等式右边是通常的四则运算若（3）x 2x，则 x 的值为（ ）A2 B1 C1 D2【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可【解答】解：根据题中的新定义化简得： ，去分母得：126x27+9x ，解得：x1，经检验 x1 是分式方程的解，故选：B【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验二、填空题（本大题

18、共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）因式分解：m 2 mn m（mn） 【分析】提取公因式 m，即可将此多项式因式分解【解答】解：m 2mnm（mn）故答案为：m（mn）【点评】此题考查了提公因式分解因式的知识此题比较简单，注意准确找到公因式是解此题的关键12（3 分）已知ABCDEF，且它们的周长之比为 1：3，则它们的相似比为 1：3 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答【解答】解：ABCDEF，周长之比为 1：3，它们的相似比为 1：3，故答案为：1：3【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键13（3 分）计算：|

19、 | 2 【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简得出答案【解答】解：| | 2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确化简二次根式是解题关键14（3 分）如图，RtABC 中，C90，AD 为的BAC 角平分线，与 BC 相交于点D，若 CD3，AB10，则 ABD 的面积是 15 【分析】作 DEAB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案【解答】解：作 DEAB 于 E，AD 为的BAC 角平分线，C 90，DE AB，DEDC3，ABD 的面积 ABDE 10315，故答案为：15【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分

20、线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键15（3 分）将一个半径为 8cm，面积为 32cm2 的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的底面半径为 4 cm【分析】首先设出扇形的半径，然后表示出扇形的底面周长，利用扇形的面积公式求得底面半径即可【解答】解：设底面半径为 R，由底面周长2R ，扇形的面积 2R88R32 cm2，R4cm故答案为：4【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够了解扇形的面积公式，难度不大16（3 分）正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A 2，A 3和点 C1，C 2，C 3，分别在直

21、线 ykx+ b（ k0）和 x 轴上，已知点B1（1，1），B 2（3，2），则 B3 的坐标是 （7，4） ，B 10 的坐标是 （1023，512） 【分析】根据已知 B1（1，1），B 2（3，2），求出 A1（0，1），A 2（1，2），就可以确定一次函数的解析式；根据图象能够求得 B3（7，4），通过观察图象可以得到 Bn 的横坐标是 An+1 的横坐标，B n 的纵坐标是 An 的纵坐标；再通过 An（2 n1 1，2 n1 ）的规律，确定 Bn（2 n1，2 n1 ）的规律，进而求解本题【解答】解：点 B1（1，1），B 2（3，2），A 1（0，1），A 2（1，2），将点

22、A1，A 2 代入直线 ykx+b（k0），yx+1，通过观察图象可知 Bn 的横坐标是 An+1 的横坐标，B n 的纵坐标是 An 的纵坐标，A 3（3，4），A 4（7，8），An（2 n1 1，2 n1 ），Bn（2 n1，2 n1 ），B 3（7，4），B 10（1023，512）【点评】考查知识点：待定系数法求一次函数解析式；结合图象找点的规律本题解题关键是确定点的规律本题重要的解题思想是数形结合思想三、解答题本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（9 分）解方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解： ，+得：3x 15，

23、解得：x5，把 x5 代入得：y1，则方程组的解为 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法18（9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 上的点，且BF DE求证：AFCE【分析】根据“平行四边形 ABCD 的对边平行且相等的性质”证得四边形 AECF 为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC；又BFDE ，AECF，AECF，四边形 AECF 为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），AFCE（平行四边形的对边相等）【点评

24、】本题考查了平行四边形的判定与性质平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法19（10 分）为了解学生对学校饭菜的满意程度，某中学数学兴趣小组对在校就餐的学生进行了抽样调查，得到如下不完整的统计图请结合图中信息，解决下列问题：（1）此次调查中接受调查的人数为人，其中“非常满意”的人数为 18 人 （2）兴趣小组准备从“不满意”的 4 位学生中随机抽取 2 位进行回访，已知这 4 位学生中有 2 位男生 2 位女生，请用列举法求出随机抽取的学生是一男一女的概率【分析】（1）用“满意”的人数除以它所占的百分比可计算出调查的总人数，然后总人

25、数乘以 36%得到“非常满意 ”的人数；（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再出抽取的学生是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）此次调查中接受调查的人数为 2040%50（人），“非常满意”的人数为 5036%18（人）；故答案为 18 人；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中随机抽取的学生是一男一女的结果数为 8，所以随机抽取的学生是一男一女的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率20（10 分）已知：A

26、（m +1）（m 1）（m +2）（ m3）（1）化简 A；（2）若关于 x 的一元二次方程 x2+（m +2）x+ m20 有两个相等的实数根，求 A 的值【分析】（1）根据平方差公式及多项式的乘法法则运算即可；（2）若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式b 24ac0，建立关于m 的等式，求出 m 的值，代入 A 的式子求值即可【解答】解：（1）A（m+1）（m 1）（m +2）（m3）m 21（m 2m6），m 21m 2+m+6，m+5 ，（2）一元二次方程 x2+（m +2）x + m20 有两个相等的实数根，0，即（m+2） 24 0，解得 m1当 m1 时，Am+51+5

27、4【点评】本题考查的是整式的化简求值及根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c0（ a0）的根与b 24ac 的关系是解答此题的关键21（12 分）如图，水坝的横断面是梯形 ABCD，背水坡 AB 的坡角BAD60，坡长AB 20m，为加强水坝强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到 E 处，使新的背水坡的坡度为 1：2，求 AE 的长度（结果精确到 1 米参考数据： 1.414， 1.732）【分析】作 BHAD 于 H，根据正弦的定义求出 BH，AH，根据正切的定义求出 EH，结合图形计算，得到答案【解答】解：作 BHAD 于 H，在 Rt ABH 中，sinBAH ，则 BHABsinB

28、AH 20 10 ，AH AB10，在 Rt EBH 中，BE 的坡度为 1：2，BH 10 ，EH20 ，AEEH AH20 1025（米），答：AE 的长度约为 25 米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键22（12 分）如图，ABC 中，BD 是ABC 的角平分线（1）尺规作图：作线段 BD 的垂直平分线 EF，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接 DE，若 DE4，AE3，求 BC 的长【分析】（1）利用基本作图，作线段 BD 的垂直平分线；（2）先根据线段垂直平分线的性质

29、得到 EBED4，再证明EDB CBD 得到DEBC，则可判定ADE ACB，然后利用相似比可计算出 BC 的长【解答】解：（1）如图，EF 为所作；（2）EF 垂直平分 BD，EBED 4，EDBEBC，ABDCBD，EDBCBD，DEBC，ADEACB， ，即 ，BC 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了相似三角形的判定与性质23（12 分）如图，已知点 A、B 分别在反比例函数 y （x0），y （k 0，x0）的图象上点 B 的横坐标为 4，且点 B 在

30、直线 yx5 上（1）求 k 的值；（2）若 OAOB，求 tanABO 的值【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，求得 B 点的坐标，然后根据待定系数法即可求得 k 的值；（2）过 A 作 AC 垂直于 y 轴，过 B 作 BD 垂直于 y 轴，易证AOCOBD ，利用反比例函数 k 的几何意义求出两三角形的面积，进一步求得 OA 与 OB 的比值，在直角三角形 AOB 中，利用锐角三角函数定义即可求出 tanB 的值【解答】解：（1）点 B 的横坐标为 4，且点 B 在直线 yx5 上点 B 的纵坐标为 y451，B（4，1），B 在反比例函数 y （k 0，x 0）的图象上k4（

31、1）4；（2）过 A 作 ACy 轴，过 B 作 BDy 轴，可得ACOBDO 90，AOC+OAC90，OAOB ，AOC+BOD90，OACBOD，AOCOBD，点 A、B 分别在反比例函数 y （x0），y （x 0）的图象上，S AOC ，S OBD | |，S AOC ：S OBD 1：|k|，（ ） 2 ， ，则在 RtAOB 中，tan B 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数 k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键24（14 分）如图，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A（2，0），点 B（0，2 ），动点 D

32、以 1 个单位长度/秒的速度从点 A 出发向 x 轴负半轴运动，同时动点 E 以 个单位长度/秒的速度从点 B 出发向 y 轴负半轴运动，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点F（1）求OAB 度数；（2）当 t 为何值时，四边形 ADEF 为菱形，请求出此时二次函数解析式；（3）是否存在实数 t，使AGF 为直角三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）在 RtBOA 中，OA 2，OB2 ，根据锐角三角函数的定义即可得出tanOAB 的值，进而得出OAB 的度数；（2）证

33、明 DEAB ，可得四边形 ADEF 为平行四边形，当 ADDE 时，四边形 ADEF为菱形，用 t 表示出 AD，DE 的长，解方程即可得出 t 的值，再设顶点式可求得此时二次函数的解析式；（3）由题意可得GFABAO60，FGA 90，所以使 AGF 为直角三角形，只能是FAG90，用 t 分别表示出 AF，FG 的长，根据 FG2AF，即可得出 t 的值【解答】解：（1）直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A（2，0），点 B（0，2 ），BOA90，OA2，OB2 ，tanOAB ，OAB60；（2）ADt，BE tm ，DEAB，EDO BAO60，过点 E 作 x 轴的平行线

34、，与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点 F，四边形 ADEF 为平行四边形，当 ADDE 时，四边形 ADEF 为菱形，OD2t 或 ODt2，DE2OD，DE42t 或 DE2t4，t42t 或 t2t4，解得：t 或 t4，当 t 时，点 E 坐标为（0， ），设二次函数解析式为 ya（x2） 2，将点 E 坐标代入，可得 a ，二次函数解析式为 y （x2） 2；当 t4 时，点 E 坐标为（0， ），设二次函数解析式为 ya（x2） 2，将点 E 坐标代入，可得 a ，二次函数解析式为 y （x2） 2；（3）EGOA，GFABAO60，G 在二次函数图象上，FGA90，使

35、AGF 为直角三角形，只能是FAG90，由对称性可得，EG4，四边形 ADEF 为平行四边形，EFAD t， AFDE2（2t ），FG2AF，4t4（2t），解得：t ，存在实数 t ，使AGF 为直角三角形【点评】本题考查用待定系数法求二次函数的表达式，锐角三角函数的定义，平行四边形、菱形的判定，分类讨论思想解题的关键是用 t 来代数式来建立相应的方程25（14 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，CAB 30（1）求证：ACD 是等边三角形（2）若点 E 是 的中点，连接 AE，过点 C 作 CFAE，垂足为 F，若 CF2，求线段OF 的长；（3）若O 的半径为 4，点 Q

36、是弦 AC 的中点，点 P 是直线 AB 上的任意一点，将点 P绕点 C 逆时针旋转 60得点 P，求线段 PQ 的最小值【分析】（1）利用垂径定理的推论证明 AB 垂直平分 DC，得到 ADAC，再证明DAC60即可推出ACD 是等边三角形；（2）连接 OC，OE，先证明 OCF90，再求出半径 OC 的长，在 RtOCF 中通过勾股定理即可求出 OF 的长；（3）先判断点 P的轨迹是直线 DB，过点 Q 作 QPDB 于点 P，则 QP的值最小，连接 DQ，再求出 DQ 的长度，在 RtQDP中，求出 QP的值即可【解答】（1）证明：如图 1，设 AB 与 DC 交点为 H，AB 是O 的

37、直径，CDAB，DHCH， ， ，ADAC，CABDAB30，DACCAB+DAB 60，ACD 是等边三角形；（2）解：如图 2，连接 OC，OE，ACD 是等边三角形，ADDCAC，AOC 360120，OAOC，OACOCA30，HOC60，E 为 中点， ，EOCEOA 12060，EAC EOC30，在 Rt ACF 中，CF2，AC4，ACF60，OCFOCA+ACF 90，DCAC4，CH DC2，在 Rt OHC 中，HOC 60，OCH 30，OC2 ，在 Rt OCF 中，OF ；（3）解：如图 3，随着点 P 的运动，点 P的轨迹为直线 DB，过点 Q 作 QPDB 于点P，则 QP的值最小，连接 DQ，Q 为 AC 中点，AQCQ AC，ADQ CDQ ADC30，OCH30，在 Rt OCH 中，OC 4，HC4 2 ，DC4 ，在 Rt DCQ 中，DCQ 60，DQ4 6，在 Rt QDP中，QDP 90ADQ60，QP6 3 【点评】本题考查了垂径定理等圆的有关性质，还考查了勾股定理等，解题的关键是能够判断 P的轨迹是直线 DB，然后根垂线段最短求解