北京市昌平区2019届高三二模数学理科试卷（含答案）

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1、2122主主()主主()主昌平区 2019 年高三年级第二次统一练习数学试卷( 理科) 2019.5 本试卷共 5 页，共 150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知全集 ，集合 ,则 UR=1Ax=UCA(A) (B) (C) (D) (,)(1,)(,)(1,)1,（2）已知复数 （ 为虚数单位， 为实数）在复平面内对应的点位于第二izaa象限，则复数 的虚部可以是(A) (B) (C) (D) 1i1i2121

2、2（3）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的 的值是a(A) 1(B) 2(C) (D) （4）若直线 上存在点 满足 则实数 的最大值为2yx(,)xy30,2,ym(A) (B) (C) (D) 113（5）设 是非零向量，则“存在实数 ，使得 ”是“ ”的,abab|ab(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A） 1（B） 2开始a =2,i=1i 9 1ai=i+1结束输出 a否是（C） 3（D） 4（7 ） 嫦娥四号月球探测器于 2018 年

3、12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为 公里，远月点与月球表面距离为 公里.已知月球的直径为 公里，则该椭1040376圆形轨道的离心率约为(A) (B) 25340(C) (D) 185（8）已知函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，()fxR2(01),()exf若函数 有 6 个零点，则实数 的取值范围是()Ffmm(A) (B) 21,6e 21(,0)(,6e(C) (D) (0,) 2,第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题

4、共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （9）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为 . ()fx(2,)(4)f（10）在极坐标系中，极点到直线 的距离为_. cosin2（11）在 中，三边长分别为 ,其最大角的余弦值为_, ABCV3,5abc的面积为_.（12）2019 年 3 月 2 日，昌平 “回天”地区开展了 种不同类型的 “三月雷锋月,回天有7我”社会服务活动. 其中有 种活动既在上午开展、又在下午开展， 种活动只在上午开3A BCD EP展， 种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么2不同安排方案的种数是_.（13）设数列 的前 项和为

5、 ，且 . 请写出一个满足条件的nanS*16,NnnaS数列 的通项公式 n（14）已知平面内两个定点 和点 ， 是动点，且直线 , 的斜率乘(3,0)M(3,0)PPMN积为常数 ，设点 的轨迹为 .(0)aPC 存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；(4,) 存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；()0 不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值；0a(,) 不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值.()C4其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） （本小

6、题 13 分）已知函数 .1(=cos(3incos)+2fxx）（I）求 的值；)f（II）当 时，不等式 恒成立，求实0,2x()2cfx数 的取值范围c（16） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中，底面PABCDAB为矩形，平面 平面 ， ， ， 为 中点1BCEP（）求证： 平面 ； （）求二面角 的余弦值；ACD（）在棱 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说PMABPM明理由（17） （本小题 13 分）某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取 人，把他们的测试数据，按照国家学生体质健康标准整理如下表. 规定：数20

7、据 ，体质健康为合格.6等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分优秀 90,1591.3291良好 848484.及格 6,78701702不及格 以下0349.639.1总计 - 20520(I)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率； (II)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于 1） ，但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级 （只

8、需写出结论）（18） （本小题 13 分）已知 21exfxa(I)若曲线 yf在点 (,)f处的切线与 轴平行，求 a的值；x(II)若 ()fx在 0处取得极大值，求 a的取值范围.（19） （本小题 13 分）已知抛物线 过点 ， 是抛物线 上异于点 的不同2:0Gypx1,2M,ABGM两点，且以线段 为直径的圆恒过点 .AB（I）当点 与坐标原点 重合时，求直线 的方程；O（II）求证：直线 恒过定点，并求出这个定点的坐标.（20）(本小题 14 分) 对于集合 ， ， . 12,nAa12,mBb*,nN.集合 中的元素个数记为 .|,BxyA|A规定：若集合 满足 ，则称集合 具

9、有性质 T()|2（I）已知集合 ， ，写出 ， 的值； 1,357A148,3B|B（II）已知集合 ， 为等比数列， ，且公比为 ，证明： 具有12,naa0na23A性质 ；Tz yxOPFED CBA（III） 已知 均有性质 ，且 ，求 的最小值.,ABTnm|AB昌平区 2019 年高三年级第二次统一练习数学试卷( 理科)参考答案一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)答案 A D D B B C B C二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)(9) (10) (11) (12) 2

10、210;318(13) （答案不唯一） (14) *()Nn三、解答题(共 6 小题，共 80 分)(15)（共 13 分）解：（I） ,21(=3sincos+fxx） 31=sin2cosx=in(2)6x所以 . .8 分)1f（II）因为 ，所以 .所以 .02x5266x1sin26x（ ）由不等式 恒成立， 所以 ，解得 .()cf,21c1c所以实数 的取值范围为 . .13 分 1(,)(16)（共 14 分）解：（I）设 交 于点 ，连结 .BDACFE因为底面 是矩形,所以 为 中点 .又因为 为 中点 ,EP所以 .F因为 ,PDACEFACE平 面 ， 平 面所以 .

11、.4 分平 面（II）取 的中点 ，连结 ， .OP因为底面 为矩形, B所以 .CD因为 ， ,P为 中 点所以 .,F所以 .O又因为 ,CDAB平 面 平 面,PPCD平 面 平 面 平 面所以 .平 面如图，建立空间直角坐标系 ,则Oxyz1(1,0)(,1)(,0),)(,)2ACBPE，设平面 的法向量为E,xyzm3(1,20)(,)2所以0, 2,1.xyACxyzE 令 ，则 ，所以 .1y2,xz2,1（ ， ）m平面 的法向量为 ，ACD(0,)OP.6cos,m|如图可知二面角 为钝角，所以二面角 的余弦值为 .EAEACD6.10 分（）在棱 上存在点 , 使 .PD

12、MBD设 ,则 . (01)()xyz,01,P（ ， ）因为 ,所以 . ,xyz(,).(1,),1,20)ABD因为 ,所以 . AMBD0A所以 ，解得 .12=0（ ） 1,2所以在棱 上存在点 ,使 ，且 . .14 分PMBD12P(17)（共 13 分）解：（I）样本中合格的学生数为： ，样本总数为：5248134，204这名学生体质健康合格的概率为 . .5 分3170（II）设事件 为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀 ”， A.51()204P事件 为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”, .B 21()0PB因为 为独立事件，A故所求概率为 ()

13、()()(1()()PABPABA. .10 分1934010（III）去掉的等级为优秀. .13 分(18)（共 13 分）解：(I)因为 , 的定义域为 ，21exfxafx(,)所以 . xf1e.a由题设知 ， 即 解得 0fxe0,ae此时 (1)2f=所以 的值为 .5 分ae（II）由(I)得 . (e)xxfa 若 ，则当 时， 所以 ；1a,0,1e0,xa()0fx当 时， 所以 (0,ln)xaln0,e0,xa()0fx所以 在 处取得极大值.f 若 ，则当 时， ， ，1a(0,1)xxe10xxa所以 ()f所以 不是 f (x)的极大值点0综上可知，a 的取值范围

14、是（ ，+） .13 分1(19)（共 13 分）解：（I）因为 在抛物线 上，所以 ，1,2M2:0Gypx21p所以 ，抛物线 .p:4yx当点 与点 重合时，易知 ，AO2AMk因为以线段 为直径的圆恒过点 ，所以 .所以 .BMB12BMk所以 ,即直线 的方程为 . .5 分1:2MyxB250xy（II）显然直线 与 轴不平行，设直线 方程为 .AAmn，消去 得 .2,4xmnyx240ymn设 ，因为直线 与抛物线交于两点，12(,)(,)BB所以 1212=60,4,nyyn因为以线段 为直径的圆恒过点 ，所以 .AMAB因为 是抛物线上异于 的不同两点,所以 , .12x1

15、MBk,同理得 .12114=MAyky2224=1MBykxy所以 ,即 , .124y12()60y1212(+)0将 代入得， ，即 .80nm=5nm代入直线方程得 . 5()xy所以直线 恒过定点 . .13 分AB5,2（ ）(20) (共 14 分 )解：（I） .4 分|7;|10.（II）要证 具有性质 ，只需证明，若 ，则 .AT1234nn1423nnaa假设上式结论不成立，即若 ，则 .12341423n即 ，即 ，3142nnqq34121nnq，314121()()()3n.3143412142 41nnn 因为上式的右边为 的倍数，而上式的左边为 的倍数，所以上式不成立.2故假设不成立，原命题成立. .10 分（III）由题意，集合 具有性质 ，等价于任意两个元素之和均不相同.AT如，对于任意的 ，有 ，abcdabc等价于 ，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.dc令 ，*|,AxyAxy所以 具有性质 .T*(1)(1)|22nnA因为集合 均有性质 ，且 ，,Bm所以 ，当且仅当 时等号成立.2*|An2()()nAB所以 的最小值为 . .14 分|(1)