2019年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，共 12.0 分）1. 的值等于（ ）9A. 3 B. C. D. 3 3 32. 下列计算中正确的是（ ）A. B. C. D. 2+3=25 (2)3=5 (2)3=6 23=53. 已知 a 为整数，且满足 a ，则 a 的值为（ ）5 10A. 4 B. 3 C. 2 D. 14. 已知反比例函数 y= 的图象经过点（1，3），若 x-1，则 y 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3 3 30 035. 如图，将ABC 绕点 A 旋转任意角度得到 ABC，连接BB、CC，则 BB：CC 等于（ ）A.

2、 AB：ACB. BC： ACC. AB：BCD. AC：AB6. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上的动点，且 EF=4，G 是 EF 的中点，下列结论正确的是（ ）A. B. AG 长度的最小值是 422C. +=4D. 面积的最大值是 2二、填空题（本大题共 10 小题，共 20.0 分）7. 在-3、4、-2、5 四个数中，任意两个数之积的最小值为 _8. 2018 年江苏省实现 GDP 约 92500 亿元用科学记数法表示 92500 是_9. 如果代数式 有意义，那么 x 的取值范围是_110. 计算 + 的结果是_1261211. 已知

3、关于 x 的方程 x2+mx-2=0 的两个根为 x1、x 2，若 x1+x2-x1x2=6，则 m=_12. 点（m，y 1），（m+1 ，y 2）都在函数 y=kx+b 的图象上，若 y1-y2=3，则 k=_13. 某校九年级（1）班 40 名同学期末考试成绩统计表如下成绩 x（单位：分） 60x70 70x80 80x90 90x100人数 4 14 16 6下列结论：成绩的中位数在 80x90；成绩的众数在 80x90；成绩的平均数可能为70；成绩的极差可能为 40其中所有正确结论的序号是_14. 如图，将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 绕顶点 A 顺时针旋转 60，则旋转后所

4、得图形与正六边形 ABCDEF 重叠部分的面积为_15. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6 ，E 为 AD 的中点，CED 的外接圆与BE 交于点 F，则 BF 的长度为_16. 如图，AB 是O 的弦，若O 的半径长为 6，AB=6 ，在O 上取一点 C，2使得 AC=8 ，则弦 BC 的长度为_2三、计算题（本大题共 1 小题，共 7.0 分）17. 计算：（m+2+ ）32 +124四、解答题（本大题共 10 小题，共 81.0 分）18. 解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示+2 5312 1出来19. 某区对参加 2019 年中考的 3000 名初中毕业生进行了一

5、次视力抽样调查，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图某区 2019 年初中毕业生视力抽样频数分布表视力 x 频数/人 频率4.0x4.3 50 0.254.3x4.6 30 0.154.6x4.9 60 0.304.9x5.2 a 0.255.2x5.5 10 b请根据图表信息回答下列问题：（1）在频数分布表中，a 的值为_，b 的值为_；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若视力在 4.9 以上（含 4.9）均为正常，根据以上信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？20. 在课外活动时间，小明、小华、小丽做“互相传球”游戏（球从一人随机传给另一人），球从一人传到另一人就记为一次传球

6、现从小明开始传球（1）经过三次传球后，求球仍传到小明处的概率；（2）经过四次传球后，下列说法：球仍传到小明处的可能性最大；球传到小华处的可能性最大；球传到小华和小丽处的可能性一样大其中所有正确结论的序号是_ABC21. 如图所示，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB，DF AC，垂足分别是点 E，F，且 BE=CF，求证：AD 是 ABC 的角平分线22. 【阅读材料】南京市地铁公司规定：自 2019 年 3 月 31 日起，普通成人持储值卡乘坐地铁出行，每个自然月内，达到规定消费累计金额后的乘次，享受相应的折扣优惠（见图）地铁出行消费累计金额月底清零，次月重新累计比如：李老师二月份无

7、储值卡消费 260 元，若采用新规持储值卡消费，则需付费1500.95+500.9+600.8=235.5 元【解决问题】甲、乙两个成人二月份无储值卡乘坐地铁消费金额合计 300 元（甲消费金额超过 150 元，但不超过 200 元）若两人采用新规持储值卡消费，则共需付费 283.5 元求甲、乙二月份乘坐地铁的消费金额各是多少元？23. 甲、乙两艘快艇同时从 A 港口沿直线驶往 B 港口，甲快艇在整个航行的过程中速度 v 海里/小时与航行时间 t 小时的函数关系如图 所示（图中的空心圈表示不含这一点），乙快艇一直保持匀速航行，两快艇同时到达 B 港口（1）A、B 两港口之间的距离为_海里；（2

8、）若甲快艇离 B 港口的距离为 s1 海里，乙快艇离 B 港口的距离为 s2 海里，请在图中分别画出 s1、s 2 与 t 之间的函数图象（3）在整个行驶过程中，航行多少小时时两快艇相距 5 海里？24. 如图，有两座建筑物 AB 与 CD，从 A 测得建筑物顶部 D 的仰角为 16，在 BC 上有一点 E，点 E 到 B 的距离为 24 米，从 E 测得建筑物的顶部 A、D 的仰角分别为 37、45求建筑物CD 的高度（参考数据：tan160.30，tan370.75）25. 已知二次函数 y=mx2-2mx（m 为常数，且 m0）（1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴有两个公

9、共点（2）将该函数的图象向左平移 2 个单位平移后函数图象所对应的函数关系式为_；若原函数图象顶点为 A，平移后的函数图象顶点为 B，OAB 为直角三角形（O 为原点），求 m 的值26. 如图，在ABCD 中，连接 AC，O 是 ABC 的外接圆，O 交AD 于点 E（1）求证 CE=CD；（2）若 ACB=DCE求证 CD 与 O 相切；若 O 的半径为 5，BC 长为 4 ，则 AE=_527. 如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE=CF，连接 AF、BE 交于点 G，连接 CE、DF 交于点 H（1）求证四边形 EGFH 为平行四边形（2）提出问题：在 A

10、D、BC 边上是否存在点 E、F，使得四边形 EGFH 为矩形？小明从特殊到一般探究了问题【特殊化】如图，若ABC=90，AB=2，BC=6在 AD、BC 边上是否存在点 E、F，使得四边形 EGFH为矩形？若存在，求出此时 AE 的长度；若不存在，说明理由【一般化】如图，若ABC=60，AB=m ，BC=n在 AD、BC 边上是否存在点 E、F 使得四边形 EGFH为矩形？根据点 E、F 存在（或不存在）的可能情况，写出对应的 m、n 满足的条件，存在时直接写出 AE 的长度（用含 m、n 的代数式表示）答案和解析1.【答案】A【解析】解： =3，故选：A此题考查的是 9 的算术平方根，需注

11、意的是算术平方根必为非负数此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0 的算术平方根是02.【答案】D【解析】解：A、 a2 和 a3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（a2）3=a6，原式计算错误，故本选项错误； C、（ab2）3=a3b6，原式计算错误，故本选项错误； D、a2a3=a5，原式计算正确，故本选项正确 故选：D结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法运算，然后 选择正确选项本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，掌握运算法 则是解答本题的关键3.【答案】B【解析】解：2 3，3 4，又 a ，a 为整数

12、，a 的值为 3故选：B 估算出 与 的范围，进而求出整数 a 的值本题考查了估算无理数的大小，利用逼近法估算出 与 的范围是解题的关键4.【答案】C【解析】解：反比例函数 y= 的图象经过点（1，3），3= ，得 k=3，反比例函数的解析式为 y= ，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，当 x=-1 时，y=-3，x-1，y-3，又x -1 时，反比例函数的图象在第三象限，y0，当 x -1 时，y 的取值范围时-3y0，故选：C 根据反比例函数 y= 的图象经过点（1，3），可以求得 k 的值，然后根据反比例函数的性质即可求得当-1 时， y 的取值范围本题考查反比例函数图象上点的坐标

13、特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答5.【答案】A【解析】解：ABC 绕点 A 旋转任意角度得到 ABC，BAB=CAC，AB=AB，AC=AC，ABBACC， = 故选：A利用旋转的性质得BAB=CAC， AB=AB，AC=AC，则可判断ABB ACC，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等6.【答案】B【解析】解：A 选项：假设 AGEF，G 为 EF 中点，AE=AF，则ABEAFD，则 BE=DF假设不成立，所以 A 选项错误 ；B

14、选项 ：连接 CG，G 为 RtEFC 的中点，CG=2 是定值当 A、G、C 三点共线时， AG 最短，此时 AC 是对角线为 4 ，所以 AG 最短为 4 -2，B 选项正确；C 选项 ：假设 BE+DF=4，则 BE+DF=DC，则 BE=FC，假设不成立，所以 C 选项错误 ；D 选项：过 C 点作 CHEF 于 H 点，由于 EF=4 是定值，只要 CH 最大则EFC 面积最大CHCG，当 CH=CG 时，EFC 面积最大为 42=4所以 D 选项错误故选：B 对于 A 选项和 C 选项，先假 设选项内容成立，再进行推理验证假设是否成立；B 选项连接 CG，G 为 RtEFC 的中点

15、，CG=2 是定值，当 A、G、C 三点共线时，AG 最短；D 选项过 C 点作 CHEF 于 H 点，由于 EF=4 是定值，只要 CH 最大则 EFC 面积最大，求解CH 最大值即可判断本题主要考查了正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是从所给选项入手逐一排除7.【答案】-15【解析】解：（-3 ）4=-12，（-3）（-2）=6，（-3）5=-15； 4（-2）=-8，45=20，（-2）5=-10， -15-12 -10-8620， 在-3、4、 -2、5 四个数中，任意两个数之 积的最小值为-15 故答案为：-15首先求出任意两个数的积是多少，然后根据有理数的大小比较法

16、则比较即可此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，要熟练掌握8.【答案】9.2510 4【解析】解：用科学记数法表示 92500 是 9.25104 故答案为：9.2510 4科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10， n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值 以及 n 的值9.【答案】x1【解析】解：代数式 有意义

17、，x-10，解得 x1故答案为：x1先根据分式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为 010.【答案】3 3【解析】解：原式=2 +=2 +=3 故答案为 3 先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍11.【答案】-4【解析】解：依题意得：x 1+x2=-m，x1x2=-2所以 x1+x2-x1x2=-m-（-2）=6所以

18、m=-4故答案是：-4 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x 1+x2=- ，x1x2= 12.【答案】-3【解析】解：将（m，y 1），（m+1，y2）分别代入函数 y=kx+b，可得 y1=mk+b，y2=k（m+1）+b， y1-y2=3， mk+b-k（m+1）-b=3， k=-3， 故答案为：-3 将（m，y 1），（m+1，y2）分别代入函数 y=kx+b，可得 y1=mk+b，y2=k（m+1）+b，再根据 y1-y2=3，即可得到 k 的值本题

19、考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 y=kx+b，（k0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b13.【答案】【解析】解：共有 40 名同学，最中 间的数是第 20 和 21 个数的平均数， 成绩的中位数在 80x90， 故正确； 成绩在 80x90 最多，共有 16 人， 成绩的众数在 80x90， 故正确； 这 40 名同学的平均成绩不能计算，故不正确； 成绩的极差可能为 100-60=40，故正确； 故答案为：根据中位数、众数、平均数和极差的概念分别进行解答，即可得出答案本题考查了中位数、众数、平均数和极差的概念，中位数是将一组数据

20、从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数14.【答案】2 3【解析】解：如图所示：将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 绕顶点 A 顺时针旋转 60，则旋转后所得图形与正六边形 ABCDEF 重叠部分是一个菱形，由边长为 2 的两个等边三角形组成，重叠部分的面积=2 2 =2 ；故答案为：2 根据题意得出旋转后所得图形与正六边形 ABCDEF 重叠部分是一个菱形，由边长为 2的两个等边三角形组成，由三角形面积公式即可得出结果本题考查了正多边形

21、的性质、旋转的性质、等 边三角形的性质以及三角形面积公式；熟练掌握旋转的性质，熟记正六边形的性质是解题关键15.【答案】3.6【解析】解：如图，连接 CF，在矩形 ABCD 中，ADC=90 ，A=90CED 的外接圆与 BE 交于点 F，CFE+ADC=180，CFE=CFB=90，AB=4，BC=AD=6，E 为 AD 的中点，BE= ，cosAEB= ，ADBC，AEB=CBF，cosCBF= ，BF=3.6故答案为：3.6连接 CF，根据圆内接四边形对角互补可得CFE= CFB=90，因为cosCBF=cosAEB= ，在 RtBFC 中，利用锐角三角函数即可得出 BF 的长本题考查圆

22、内接四边形的性质，锐角三角函数的定义解题的关键是掌握圆内接四边形对角互补的性质16.【答案】82 2【解析】解：如图所示：连接 OA、OB，作 BDAC 于 D，OA=OB=6，AB=6 ，OA2+OB2=AB2，OAB 是直角三角形， AOB=90，ACB= AOB=45，BDAC，BCD 是等腰直角三角形，BD=CD，BC= BD，设 BD=CD=x，则 AD=8 -x，在 RtABD 中，由勾股定理得：x 2+（8 -x）2=（6 ）2，解得：x=4 2，BC= （4 2）=82 ；故答案为：82 连接 OA、OB，作 BDAC 于 D，由勾股定理的逆定理证出OAB 是直角三角形，AOB

23、=90，由圆周角定理得出 ACB= AOB=45，得出 BCD 是等腰直角三角形，得 BD=CD，BC= BD，设 BD=CD=x，则 AD=8 -x，在 RtABD 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 x=4 2，即可得出 BC 的长本题考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理得出方程是解题关键17.【答案】解：原式= = =2（m-1）=2m-2 (+2)(2)+32 +12(2)(+1)(1)2 2(2)+1【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果此题考查了分式的

24、混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18.【答案】解： +2 5312 1由得：x3，由得：x-3，不等式组的解集为：-3x 3，在数轴上表示不等式组的解集为：【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中19.【答案】50 0.05【解析】解：（1）总人数=500.25=200（人），a=2000.25=50（人），b= =0.05，故答案为 50，0.05（2）直方图如图所示：（3）3000 =900（人），估计全区初

25、中毕业生中视力正常的学生有 900 人（1）求出总人数即可解决问题（2）根据第四组人数画出直方图即可（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可本题考查频数分布表，频数分布直方图， 样本估计总体的思想等知识，解 题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20.【答案】A【解析】解：（1）设小明、小华、小丽分别记为甲、乙、丙；画树状图如下：由树状图知，从甲开始，经过三次传球后共有 8 种等可能结果，其中球 传到甲处的有 2种结果，所以球传到甲处的概率为 = ；（2）由树状图知，从甲开始，经过四次传球后共有 16 种等可能结果，其中球传到甲处的有 6 种结果，所以球传到甲处的概率为若从甲开始踢，则球

26、传到甲处的概率为 = ；传到乙的概率均为 ，传到丙的概率均为 ，所以若经过四次传球后，小明处的可能性最大，球 传到小华和小丽处的可能性一样大故答案为：A（1）根据题意画出树状图，得出所有的可能情况数，找出球传到甲处的情况数，即可求出所求的概率；（2）根据题意画出树状图，得出所有的可能情况数，即可求出所求的概率此题考查了列表法与画树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比21.【答案】证明：DEAB，DFAC，BDEDCF 是直角三角形在 RtBDE 与 RtDCF 中，=RtBDERtDCF（HL ），DE=DF，又 DEAB，DFAC，AD 是ABC 的角平分线【解析】首先可证明

27、 RtBDERtDCF（HL），再根据三角形角平分线的逆定理求得 AD 是ABC 的角平分 线即可此题主要考查了角平分线的性质与判定，直角三角形全等的判定要证边相等，想 办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用22.【答案】解：设甲二月份乘坐地铁的消费金额是 x 元，乙二月份乘坐地铁的消费金额是 y 元，依题意，得： ，+=3001500.95+0.9(150)+0.95=283.5解得： =180=120答：甲二月份乘坐地铁的消费金额是 180 元，乙二月份乘坐地铁的消费金额是 120 元【解析】设甲二月份乘坐地铁的消费金额是 x 元，乙二月份乘坐地铁的消费金额是

28、y 元，根据甲、乙两个成人二月份无储值卡乘坐地铁消费金额及采用新规持储值卡消费金额，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 结论本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键23.【答案】150【解析】解：（1）301+60（3-1）=150（海里）；（2）如图所示：（3）根据题意可知：，s2=50t；两快艇相距 5 海里时，50t-30t=5 或 50t-（60t-30）=5，解得 t= 或 ，所以在整个行驶过程中，航行 小时或 小时时两快艇相距 5 海里（1）根据图可知甲快艇以 30 海里/时行驶了 1 小时，以 60 海里/时行驶了 2 小

29、时，根据“路程=速度时间”即可求解；（2）根据题意可知 s1 与 t 之间是分段函数， s2 与 t 是正比例函数，据此解答即可；（3）根据 s1、s2 与 t 之间的函数关系式列方程解答即可本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数图象实际意义，应用了用方程思想解决函数问题24.【答案】解：作 AFCD 于 F，设 CD=x 米，DEC=45，EC=CD=x 米，在 RtABE 中，AB=BEtan AEB18，则 CF=18，DF=x-18，在 RtAFD 中， tanDAF= ，即 =0.3， 18+24解得，x=36，答：建筑物 CD 的高度约为 36 米【解析】作 AFCD 于 F，

30、设 CD=x 米，根据正切的定义求出 AB，用 x 表示出 AF、DF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键25.【答案】y=m（x+1 ） 2-m【解析】解：（1）由题意知，b 2-4ac=（-2m）2-4m0=4m2， m0， b2-4ac=4m20， 不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴有两个公共点； （2）将该函数的 图象向左平移 2 个单位，平移后函数图象所对应的函数关系式为y=m（x+2）2-2m（x+2）， 整理，得：y=m（x+1） 2-m； y=mx2-2mx=m（x-

31、1）2-m， 原函数图象的顶点 A 的坐标为（1， -m）， 又平移后函数图象的顶点 B 的坐标为（-1，-m），点 O 的坐标为（0， 0）， OA=OB， AOB=90， OA2=OB2=1+m2，AB2=4， 2（1+m2）=4， 解得 m=1 故答案为：y=m（x+1 ）2-m（1）由 b2-4ac=（-2m）2-4m0=4m2，且 m0 可得答案； （2）根据函数平移的 规 律解答即可； 根据平移前后抛物线解析式求得点 A，B 坐标，据此得出 OA=OB，从而知AOB=90 ，再根据勾股定理知 2（1+m2）=4，解之可得本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线与 x 轴的交

32、点问题、函数图象平移规律、直角三角形的判定与勾股定理等知识点26.【答案】455【解析】解：（1）四边形 ABCD 为平行四边形，B=D，DEC+AEC=90，B+AEC=90，DEC=B，DEC=D，CE=CD；（2）如图 1，连接 CO 并延长，交 O 于 M，连接 EM，四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC，AD=BC，DAC=ACB，ACB=DCE，DAC=DCE，DAC=M，DCE=M，CM 为 O 直径，MEC=90，M+ECM=90，DCE+ECM=90，CDCM，CD 与 O 相切；如图 2，设 CM 与 O 交于点 H，四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，AB=CD

33、，BHC=DCM=90，CHAB，AH=BH，CA=CB，过点 O 作 ONBC 于点 N，则 CN=BN= CB=2 ，在 RtONC 中，OH= = ，OCN=BCH，ONC=CHB=90，CONCBH， = ，即 = ，BH=4，AB=2BH=8，CD=CE=8， = =1，DCE=ACB，DCEACB， = ， = ，DE= ，AD=BC=4 ，AE=AD-DE= ，故答案为： （1）利用平行四边形的性质得到B= D，利用圆内接四边形的性质证得DEC= B，即可得到DEC=D， 进一步可推出结论；（2）连接 CO 并延长，交 O 于 M，连接 EM，先证明DCE= DAC，进一步证明M

34、=DCE，即可证明 DCM=90，可推出 结论；先证明 COAB，推出ABC 为等腰三角形，设 CM 与O 交于点 H，过点 O 作ONBC 于点 N，求出 ON 的长度，再证CON 与CBH 相似，求出 AB 的长度，最后证CAB 与CDE 相似，通过相似比求出 DE 的长度，进一步求出 AE 的长度本题考查了平行四边形的性质，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是能够灵活运用平行四边形的性质27.【答案】（1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC，AD =BC，AE=CF，DE=BF，四边形 AECF、四边形 EDFB 为平行四边形，EHGF，GE FH，四边

35、形 EGFH 为平行四边形；（2）解：存在，如图所示，理由如下：四边形 ABCD 是矩形，AB=CD=2，ABC =ADC=BAD=90，ABE+AEB=90，四边形 EGFH 为矩形时，BEC=90，则AEB+DEC=90，ABE=DEC，ABEDEC， = ，即 = ， 2 26解得：AE=3 ；5即在 AD、BC 边上存在点 E、F，使得四边形 EGFH 为矩形，此时 AE 的长度为 3 ；5（3）解：存在，如图所示，理由如下：作 APAD 于 P，CQ AD 于 Q，则 BP=CQ，PQ=BC= AD，AP=DQ，ADBC，PAB=ABC=60，ABP=30，AP= AB= m，12

36、12BP=CQ= AP= m，332设 AE=x，则 PE=x+ m，AQ=n- x- m，12 12同（2）得：BPE EQC， = ，即 = ， +1232 3212整理得：x 2+（m-n）x +m2- =0，2=（m- n） 2-4（m 2- ）= n2-3m2，2当0，即 n2-3m20 时，方程有解，即 m、n 满足 n m 时，3在 AD、BC 边上存在点 E、F 使得四边形 EGFH 为矩形，此时 AE= 2322【解析】（1）由条件可证明四边形 AECF 和四边形 EDFB 为 平行四边形，可得到EHGF，GEFH，可 证明四边形 EGFH 为平行四边形；（2）由矩形的性质得

37、出 AB=CD=2，ABC=ADC=BAD=90，证出 ABE=DEC，得出ABEDEC，得出 = ，即可求出 AE 的长；（3）作 APAD 于 P，CQAD 于 Q，则 BP=CQ，PQ=BC=AD，由直角三角形的性质得出AP= AB= m，BP=CQ= AP= m，设 AE=x，则 PE=x+ m，AQ=n-x- m，同（2）得：BPEEQC，得出 = ，得出方程整理得：x 2+（m-n）x+m2- =0，由判别式=n2-3m2，当0，即 n2-3m20时，方程有解，得出 m、n 满足的条件和 AE 的长本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及判别式的运用等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键。