湖南省衡阳市2019届高三第三次联考（三模）理科数学试题（含答案）

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1、衡阳市 2019 届高中毕业班联考（三）理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求.1. 已知复数 z 满足 ，则 z 在复平面内所对应的点位于12iiA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 若集合 ，则实数 a 的值为()122log0xxaA B 2 C D1133.若双曲线 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为3xtyA B C D 22364. 已知某批电子产品的尺寸服从正态分布 ，从中随机取一件，其尺寸落在区间 (1,4)N的概率为(3,5)（附：若随机变量 X 服从正态分布 ，则2(,)0.

2、6827, 0.9545 ）()P)PXA 0.3174 B 0.2718 C 0.1359 D 0.04565. 若 ，则2sin(75)3cos(02)A. B. C. D. 494959596. 著名的“ 猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会31n变成 1. 右边的程序框图示意了 猜想，则输出的 n 为31nA. 5 B. 6 C. 7 D. 87. 已知正项等比数列 满足 ，若 ，则 n 为na12348,2a123naA 5 B 6 C 9 D108.设两直线 l1: 与 垂直，则 的展开式中 x 220xy2:0lxy4()xa的系数为A12 B3 C D52729.

3、函数 的图像不可能是()()axfR10. 已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为 ，43则 a 的值为A. B. 323C. D. 211. 已知函数 e 为自然对数的底数），若 ，使得()(1)(xfea0(,)x成立，则 a 的取值范围为00(lg)fxA B C D 1,2(,)1,)(2,)12. 已知点 R ，曲线 C : ，直线 与曲线 C 交于(,)42()0ypx0,mM , N 两点，若RMN 周长的最小值为 2 ，则 p 的值为A8 B6 C4 D 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知向量 ，若 ，则 .(2,1)(,)

4、abab_14. 如图，茎叶图表示甲、乙两人在 5 次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则 的值为_15.若 x, y 满足约束条件 ，则 的最大值为_.401xy23zxy16.已知数列 满足对 ，都有 成立， ，函数na,mnNmnma72a，记 ，则数列 的前 13 项和为_。2()sin4cosxfx()nyfany.三、解答题 :本大题共共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）已知函数 的最大值为 1.()2cosin()3fxxt（1）求 t 的值；（2）已知锐角ABC 的内角 A, B, C 所对的边

5、分别为 a、b、 c，若 ，三角形2aABC 的面积为 ，且 ，求 b + c 的值.33()2fA18. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 M ABCD 中， AB=2DC ，与MAD 都是等边三角形，90,CDABCDA且点 M 在底面 ABCD 的投影为 O .（1）证明： O 为 AC 的中点；（2）求二面角 DMCB 的余弦值.19.（本小题满分 12 分）某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去 40 期的养殖档案，该池塘的养殖重量 X（百斤）都在 20 百斤以上，其中不足 40 百斤的有 8 期，不低于 40 百斤且不超过 60 百斤的有 20 期，超过 60 百斤的有 12 期.根

6、据统计，该池塘的草鱼重量的增加量 y（百 斤）与使用某种饵料的质量 x （百斤）之间的关系如图所示.（1）根据数据可知 y 与 x 具有线性相关关系，请建立 y 关于 x 的回归方程 ；如果此人设想使用某种饵料 10 百斤时，草ba鱼重量的增加量须多于 5 百斤，请根据回归方程计算，确定此方案 是否可行？并说明理由. （2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养 殖户提供收费服务，即提供不超过 3 台增氧冲水机，每期养殖使用 的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量 X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利 5 千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损 2 千元.视频率为概率

7、，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水 机？附：对于一组数据 ，其回归程 的斜率和截距的最小12(,),(,)nxyxy ybxa二乘估计公式分别为20.（本小题满分 12 分）已知以椭圆 C： 的一个焦点，短轴的一个21(0)xyab端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点 在椭圆上。4(,)2T（1）求椭圆 C 的标准方程;（2）过点 T 作圆 的切线,切点分别为 A、B ，直线 AB 与 x 轴交于点 E 2xy，过点 E 作直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两点，点 E 关于 y 轴的对称点为 Q ，求QMN 面积的最大值。21（.本小题满分 12 分）

8、已知函数 存在极大值与极小值，且在22()xfea处取得极小值. 1x（1）求实数 a 的值；（2）若函数 有两个零点，求实数 m 的取值范围.（参考数据：()2gxfxm）.7,5.36e请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l ： 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极2(6xty坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 . 2245cos360（1）求曲线 C 的参数方程和直线 l 的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 M 作与 l 夹角为 的直线，交 l 于点 N ，求 的最小 M值.23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知不等式 的解集为 A .231x（1）求 A ；（2）若 ，且 m +n = 4 .证明：,n281nm