2019年河南省商丘市虞城县中考数学一模试卷（A）含答案

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1、2019 年河南省商丘市虞城县中考数学一模试卷（A 卷）一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 在-1，0，2， 四个数中，最大的数是（ ）2A. B. 0 C. 2 D. 1 22. 某种细胞的直径是 0.00000067 米，将 0.00000067 科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 6.7107 0.67108 0.67107 6.71083. 如图所示是 8 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. 4. 把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）1+23A. B. C. D. 5. 我市 3 月份某一

2、周每天的最高气温统计如表所示，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）最高气温（） 14 18 19 21天 数 1 1 3 2A. 18，19 B. 19，18 C. 19，19 D. 19，216. 在一个不透明的袋子中装有三个小球，它们除分别标有的号码 2，3，6 不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率是（ ）A. B. C. D. 12 13 14 167. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AF=3，则 FC 的值为（ ）A. 3

3、B. 4 C. 6 D. 98. 如图，点 A（0，2），在 x 轴上取一点 B，连接 AB，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、AB 于点 M、N，再以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 D，连接12AD 并延长交 x 轴于点 P若OPA 与OAB 相似，则点 P 的坐标为（ ）A. B. C. D. (1,0) (3,0) (233,0) (23,0)9. 当-2x1 时，二次函数 y=-（x- m） 2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ）A. B. 或 C. 2 或74 3 3 3D. 2 或 或3 7410. 如图，在坐标系中放置一菱形

4、OABC，已知ABC =60，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60，连续翻转 2019 次，点 B 的落点依次为 B1，B 2，B 3，则 B2019 的坐标为（ ）A. B. (1010,0) (1310,32)C. D. (1345,32) (1346,0)二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）11. 计算：（-1） 0-（ ） -1=_1212. 如图所示，已知函数 y=2x+b 与函数 y=kx-3 的图象交于点 P，则不等式 kx-32x+b 的解集是_13. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k2+k-

5、1=0 没有实数根，则 k 的取值范围是_14. 如图，正方形 ABCD 中，AB=1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90，得到线段 CE，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是_15. 如图，在边长为 3 的等边三角形 ABC 中，点 D 为 AC 上一点，CD=1，点 E 为边 AB上不与 A、B 重合的一个动点 F，连接 DE，以 DE 为对称轴折叠 AED，点 A 的对应点为点 F 当点 F 落在等边三角形 ABC 的边上时，AE 的长为_三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分）16. 化简求值：（1+ ） - ，a 取-

6、1、0、1、 2 中的一个数1 21 2122+1四、解答题（本大题共 7 小题，共 67.0 分）17. 某校准备开设音乐、绘画、体育、舞蹈 4 个课外兴趣小组，校团委在学校各年级以“你最喜欢的兴趣小组”为题随机抽取一部分学生进行调查（每位学生只选一项）校团委将调查结果进行统计，并绘制如下尚不完整的统计图根据以上统计图提供的信息，回答下列问题（1）此次调查抽取的学生人数 a=_人；（2）求选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比；（3）补全条形统计图；（4）若该校有 3000 名学生，请估计全校选择“绘画”的学生的人数18. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，以 AC 为直径的 O与

7、AB 边交于点 D，过点 D 作 O 的切线，交 BC 于点E（1）求证：BE=EC（2）填空：若B =30，AC=2 ，则 DE=_；3当B=_时，以 O， D，E，C 为顶点的四边形是正方形19. 如图，某山最高峰的高度 AC 为 500m，在点 A 看山腰点 D 的俯角为 15，AD 的距离为1600m，在点 D 看山脚点 B 的俯角为 75求水平距离 BC（结果精确到 1m）20. 如图直线 1：y=ax +b 交 x 轴于 A（3，0）点，交 y 轴于 B（0，-3）点，交反比例函数 y= 上于第一象限的点 P，点 P 的横坐标是4（1）求反比例函数 y= 的函数解析式（2）过点 P

8、 作直线 l 的垂线 l1，交反比例函数 y= 的图象于点 C，求OPC 的面积21. 冬季来临，某网店准备在厂家购进 A、B 两种暖手宝共 100 个用于销售，若购买 A 种暖手宝 8个，B 种暖手空 3 个，需要 950 元，若购买 A 种暖手宝 5 个，B 种暖手宝 6 个，则需要 800元（1）购买 A，B 两种暖手宝每个各需多少元？（2）由于资金限制，用于购买这两种暖手宝的资金不能超过 7650 元，设购买 A 种暖手宝m 个，求 m 的取值范围；在的条件下，购进 A 种暖手宝不能少于 50 个，则有哪几种购买方案？（3）购买后，若一个 A 种暖手宝运费为 5 元，一个 B 种暖手宝

9、运费为 4 元，在第（2）各种购买方案中，购买 100 个暖手宝，哪一种购买方案所付的运费最少？最少运费多少元？22. 特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， ACB=90，作 CM 平分ACB 交 AB 于点M，点 D 为射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90得到线段 CE，连接 DE 交射线 CB 于点 F，连接 BD、BE填空：线段 BD、BE 的数量关系为_线段 BC、DE 的位置关系为_一般：（2）如图 2，在等腰三角形 ABC 中， ACB=a，作 CM 平分ACB 交 AB 于点 M，点D 为ABC 外部射线 CM 上一点以点 C 为

10、旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 度得到线段 CE，连接 DE、BD 、BE ，请判断（ 1）中的结论是否成立，请说明理由特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分ABC 交 AC 于点 M，点 D 为射线BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60得到线段 BE，连接 DE 交射线 BA于点 F，连接 AD、AE 若 AB=4，当ADM 与 AFD 全等时，请直接写出 DE 的值23. 如图，抛物线 y=ax2+bx+4（a0）交 x 轴于点 A（4，0）、B（-2 ，0），交 y 轴于点 C（1）求抛物线的解析式（2）点 Q 是 x 轴上位于点 A、

11、B 之间的一个动点，点 E 为线段 BC 上一个动点，若始终保持 EQB=CAB，连接 CQ，设CQE 的面积为S，点 Q 的横坐标为 m，求出 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 取最大值时点 Q 的坐标（3）点 P 为抛物线上位于 AC 上方的一个动点，过点 P 作 PFy 轴，交直线 AC 于点 F，点D 的坐标为（2，0），若点 O、D、F 三点中，当其中一点恰好位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在？若存在，请直接写出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据实数比较大小的方法

12、，可得-10 2，在：-1，0， 2， 四个数中，最大的数是 2故选：C 正实数都大于 0，负实数都小于 0，正 实数大于一切负实数，两个 负实数绝对值大的反而小，据此判断即可此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小2.【答案】A【解析】解：0.00000067=6.710 -7 故选：A绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10-n，与 较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10-n

13、，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3.【答案】B【解析】解：该几何体的左视图是：故选：B 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、 侧 面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力4.【答案】B【解析】解：由第一个不等式得：x-1； 由 x+23 得： x1 不等式组的解集为-1x1 故选：B 求得不等式组的解集为-1x1，所以 B 是正确的不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解

14、集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“ ”，“”要用空心 圆点表示5.【答案】C【解析】解：19 出现了 3 次，出现 的次数最多， 这组数据（最高气温）的众数是 19， 把这组 数据从小到大排列为：14、 18、19、19、19、21、21， 最中间的数是 19， 这组数据的中位数是 19， 故选：C 根据众数的定义，找出出现次数最多的数就是众数，根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列后，找出最中间的那个数就是中位数此题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（

15、最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一 组数据中出现次数最多的数6.【答案】A【解析】解：画树形图得：由树形图可知第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率= ，故选：A首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的情况，再利用概率公式即可求得答案此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比7.【答案】C【解析】解：四 边形 ABCD 是平行

16、四边形，ABCD，AB=CD，AEFCDF，AE=EB= CD， = = ，AF=3，CF=6，故选：C 利用相似三角形的性质解决问题即可本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8.【答案】C【解析】解：由点 D 的画法可知 AD 平分OABOPAOAB，OAP=OBA= OABOAB+OBA=OAB+ OAB=90，OAB=60，OAP=30，AP=2OP在 RtOAP 中， AOP=90，OA=2，OA= = OP，OP= ，点 P 的坐标为（ ，0）故选：C 根据点 D 的画法可得出 AD 平分OAB，由角平分线的性质结合相似

17、三角形的性质可得出 OBA= OAB，利用二角互补即可求出OBA=OAP=30，通过解含 30 度角的直角三角形即可得出点 P 的坐 标本题考查了基本作图、角平分线的性质、相似三角形的性质以及解含 30 度角的直角三角形，求出OAP=30 是解题的关键9.【答案】C【解析】解：二次函数的对称轴为直线 x=m，m-2 时，x=-2 时二次函数有最大 值，此时-（ -2-m）2+m2+1=4，解得 m=- ，与 m-2 矛盾，故 m 值不存在；当-2m1 时， x=m 时，二次函数有最大 值，此时，m 2+1=4，解得 m=- ，m= （舍去）；当 m1 时 ，x=1 时二次函数有最大值，此时，-

18、（1-m） 2+m2+1=4，解得 m=2，综上所述，m 的值为 2 或 - 故选：C 根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论10.【答案】D【解析】解：连接 AC，如图所示四边形 OABC 是菱形，OA=AB=BC=OCABC=60，ABC 是等边三角形AC=ABAC=OAOA=1，AC=1画出第 5 次、第 6 次、第 7 次翻转后的图形，如图所示由图可知：每翻转 6 次，图形向右平移 42019=3366+3，点 B3 向右平移 1344（即 3364）到点 B2019B3 的坐标为 （2，0），B2019 的坐标为 （2+1344，0）

19、，B2019 的坐标为 （1346，0）故选：D连接 AC，根据条件可以求出 AC，画出第 5 次、第 6 次、第 7 次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转 6 次，图形向右平移 4由于 2019=3366+3，因此点 B3 向右平移 1344（即3364）即可到达点 B2019，根据点 B3 的坐标就可求出点 B2019 的坐标本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、 发现规律的能力发现“每翻转 6 次， 图形向右平移 4”是解决本题的关键11.【答案】-1【解析】解：（-1 ）0-（ ）-1=1-2=-1故答案为：-1 首先根据负整数指数幂的运算方法，分别求出

20、（-1） 0、（ ）-1 的值是多少，然后把它们相减，求出算式（-1 ）0-（ ）-1 的值是多少即可此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a-p= （a0，p 为正整数）；计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；当底数是分数时，只要把分子、分母 颠倒， 负指数就可变为正指数12.【答案】x4【解析】解：函数 y=2x+b 与函数 y=kx-3 的图象交于点 P（4，-6）， 不等式 kx-32x+b 的解集是 x4 故答案为 x4直线 y=kx-3 落在直线 y=2x+b 上方的部分对应的 x 的取值范围即为所求本题主要考查一次函数和一元一次不等

21、式的关系及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形 结合13.【答案】k1【解析】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k2+k-1=0 没有实数根， =b2-4ac0， 即（2k） 2-41（k2+k-1）0， 解这个不等式得：k1 故答案为：k1若关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k2+k-1=0 没有实 数根，则=b 2-4ac0，列出关于 k的不等式，求得 k 的取值范围即可本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0 方程没有实数根14

22、.【答案】 -324【解析】解：在 RtBCD 中，BD= = ，图中阴影部分的面积= BCD 的面积+ 扇形 DCE 的面 积+ BEF 的面积-扇形 DBF 的面积= 12+ + 21-= -故答案为： -根据勾股定理求出 BD，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S= 是解题的关键15.【答案】1 或 5- 13【解析】解：分析可知，F 点只可能落在边 AB 或 BC 上，当 F 点落在边 BC 上时，EFC=B+BEF，即 EFD+DFC=B+BEFEFD=A=B=60，DFC=BEF，DFCFEB， ，而 EF+BE=EA+BE

23、=AB=3，DF=DA=AC-CD=2， ，解得 AE=5- ，或 AE=5+ （舍去）；F 点落在边 AB 上时，A=DFE=60，DEA=90，ADE=30，AE= AD= （AC-CD）= 2=1所以 AE 的长为 1 或 5- 先判断 F 点只可能落在 边 AB 或 BC 上，然后分两种情况：当 F 点落在边 BC 上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质，判断DFC FEB，得到对应边成比例，解比例式可求出 AE；F 点落在边 AB 上时，利用 30所对的直角边等于斜边的一半即可求出 AE本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含 30角的直角三角形的性质，解题时要考虑全面，难度

24、中等16.【答案】解：原式= -+1 (+1)(1)21(1)2= -1121(1)2=12+1(1)2=- ，(1)2当 a=2 时，原式=-2【解析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把 a=2 代入计算即可求出值此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17.【答案】100【解析】解：（1）a=2020%=100 人，故答案为：100；（2） 100%=40%；（3）体育的人数：100-20-40-10=30 人，补全统计图如图所示；（4）选择“绘画 ”的学生共有 3000

25、40%=1200（人）答：估计全校选择“ 绘画” 的学生大 约有 1200 人（1）用音乐的人数除以所占的百分比计算即可求出 a；（2）根据题意列式计算即可；（3）求出体育的人数，然后补全统计图即可；（4）用总人数乘以“ 绘画” 所占的百分比 计算即可得解本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18.【答案】3 45【解析】（1）证明：连接 DO；如图所示：ACB=90，AC 为直径，EC 为 O 的切线；又ED 也为O 的切线，EC=ED，又EDO=

26、90，BDE+ADO=90，BDE+A=90又B+A=90 ，BDE=B，BE=ED，BE=EC；（2）解： ACB=90，B=30，AC=2 ，AB=2AC=4 ，BC= =6，AC 为直径，BDC=ADC=90，由（1）得：BE=EC ，DE= BC=3，故答案为：3；当B=45时，四边形 ODEC 是正方形，理由如下：ACB=90，A=45，OA=OD，ADO=45，AOD=90，DOC=90，ODE=90，四边形 DECO 是矩形，OD=OC，矩形 DECO 是正方形故答案为：45（1）证出 EC 为O 的切线 ；由切线长定理得出 EC=ED，再求得 EB=ED，即可得出 结论；（2）

27、由含 30角的直角三角形的性质得出 AB，由勾股定理求出 BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出 DE；由等腰三角形的性质，得到ODA= A=45，于是 DOC=90然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理运用切 线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题19.【答案】解：如图，作 DEAC 于 E，DF BC 于 F在 RtADE 中，cos15= ，0.97= ，1600DE=1552（m ），AE=ADsin15=416（m），四边形 DECF 是矩形，DF=EC=AC-

28、AE=500-416=84（m ），DE=CF =1552（m ），在 RtDFB 中， BF=DFtan15=22.68（m），BC=CF+BF=1552+22.68=1574.681575（m ）答：水平距离 BC 为 1575 米【解析】如图，作 DEAC 于 E，DFBC 于 F在 RtADE 中，求出 AE，DE，再在 RtDFB 中，求出 BF 即可解决问题本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题20.【答案】解：（1）将 A（3，0），B（0，-3）分别代入 y=ax+b 中可得：，解得： ，0=3+3= =1=3直线 1：

29、y=x-3，直线交反比例函数于第一象限的点 P，点 P 的横坐标是 4，P（ 4，1），反比例函数的函数解析式为 ；=4（2）设直线 PC 交 y 轴于点 F，作 PEy 轴于点 E，l1l， OBA=45，EFP=45，EF=PE=4，OF=4+1=5，F（ 0，5），设直线 l1 的解析式为 y=ex+f，将 P（4，1）和 F（0，5）代入得：y=-x+5，解方程组 得：=4=+5点 C 的坐标为（1，4），F（ 0，5），C（1，4），P （4，1），B（0，-3），OPC 的面积 =FPB 的面积 -OFC 的面积- OPB 的面积= 128412151234=152【解析】（1）将

30、 A、B 两点的坐标代入一次函数解析式中求得一次函数的解析市式后即可求出 P的坐标，从而求出反比例函数的解析式； （2）根据函数上点的坐标特征求出点 P、C、B、F 的坐标，再根据OPC 的面积=FPB的面积-OFC 的面积- OPB 的面积求出面积即可此题主要考查反比例函数的基本概念，以及一次函数的应用，难易适中在求解面 积时要注意运用分割法21.【答案】解：（1）设购买 A 种暖手宝每个需 x 元，购买 B 种暖手宝每个需 y 元，由题意得：解得：8+3=9505+6=800 =100=50故购买 A 种暖手宝每个需 100 元，购买 B 种暖手宝每个需 50 元（2）设购买 A 种暖手宝

31、 m 个，则购买 B 种暖手宝（100-m）个，由题意得：100m+50（100-m）7650解得：m53，m0故 m 的取值范围为：0m53 购进 A 种暖手宝不能少于 50 个50m53故由四种购买方案，分别为：A 种购买 50 个，B 种购买 50 个；A 种购买 51 个，B 种购买 49 个；A 种购买 52 个，B 种购买 48 个；A 种购买 53 个，B 种购买 47 个（3）令两种暖手宝的运费为 w，则 w=5m+4（100-m）即 w=m+400（50m53）由一次函数的性质可知 w 随 m 的增大而增大，因此当 m=50 时，函数取最小值，即 w=50+400=450故当

32、 A 种购买 50 个，B 种购买 50 个时运费最少，为 450 元【解析】（1）将两种暖手宝的进价设为未知量，列出二元一次方程组求解即可； （2）A 种暖手宝 m 个，两种暖手宝共 100 个，则 B 种暖手宝为（100-m）个，由资金不超过 7650 元，列一元一次不等式求解即可； 根据题目要求直接由上问的结果可得出方案； （3）根据题意将总运费设为 w，则可用一次函数判断运费最少的方案此题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用；解题的关键在于理清思路，选择适当的方法进行求解22.【答案】BD=BE BCDE【解析】解：（1）如图 1 中，CM 平分A

33、CB， ACB=90，ACM=BCM=45，DCE=90，BCD=BCE=45，BC=BC，CD=CE，BCDBCE（SAS），BE=BE，CD=CE，BC 垂直平分线段 DE，故答案为 BD=BE，BCDE（2）结论仍然成立理由：如图 2 中，CM 平分ACB， ACB=，ACM=BCM= ，DCE=，BCD=BCE= ，BC=BC，CD=CE，BCDBCE（SAS），BD=BE，CD=CE，BC 垂直平分线段 DE（3）如图 3-1 中，当点 D 在线段 BM 上时，由 题意：AF=AM=CM=BF=2在 RtBEF 中，BFE=90，EF=BFtan30= ，DE=2EF= 如图 3-2

34、 中，当点 D 在线段 BM 的延长线上时，同法可得 DE=2EF=4综上所述，满足条件的 DE 的值为 或 4 （1）证明BCD BCE（SAS），可得结论（2）结论仍然成立证明BCD BCE（SAS），可得结论（3）分两种情形分别求解即可、本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解 题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考 压轴题23.【答案】解：（1）把点 A（4，0）、B（-2，0）代入 y=ax2+bx+4，得：解得：16+4+4=042+4=0 =12=1抛物线解析式为：y= x2+x+412（2）EQB= CAB

35、EQCAA（ 4，0）、B（-2，0）、C（0，4）直线 AC 解析式为： y=-x+4，直线 BC 解析式为：y=2x+4设直线 EQ 解析式为：y =-x+cQ（ m， 0）（-2m4）-m+c=0 得：c=m直线 EQ 解析式为：y =-x+m，与 y 轴交点 G（0，m ）CG=4-m把直线 EQ、BC 解析式联立方程组解得：=+=2+4 =43=2+43 E（ ）43， 2+43S=SCEG+SCQG= = = = =12|+12| 12() 12(4)(43) 132+23+8313(1)2+3当 m=1 时，S 有最大值Q（ 1， 0）（3）点 O、D、F 三点中有“和谐点”的存

36、在，点 P 坐标为（ 1+ ，3）或（1+ ，2）3 5若点 F 在 OD 的垂直平分线上，则 OF=FD点 F 在直线 x=1 上yP=yF=-1+4=3- x2+x+4=3 解得：x 1=1+ ，x 2=1- （P 的横坐标为正数，舍去）12 3 3点 P（1+ ，3）3若点 O 在 DF 的垂直平分线上，则 OF=OD=2设 F（d，- d+4）OF2=d2+（- d+4） 2=22方程无解若点 D 在 OF 的垂直平分线上，则 FD=OD=2DF2=（2- d） 2+（- d+4） 2=22解得：d 1=2，d 2=4（此时 F、P、A 重合，不符题意，舍去）yP=yF=-2+4=2-

37、 x2+x+4=2 解得：x 1=1+ ，x 2=1- （舍去）12 5 5点 P（1+ ，2）5综上所述，点 O、D、F 三点中有“和谐点”的存在，点 P 坐标为（1+ ，3）或（1+ ，2）3 5【解析】（1）用待定系数法即能求抛物线解析式（2）用待定系数法易求直线 AC、BC 的解析式，由EQB= CAB 得 EQCA，故直线 EQ解析式的 k 值与 AC 相同，把 Q（m，0）代入即可求 EQ 的解析式把直线 EQ、BC 解析式联立方程组，求得点 E 坐标根据坐标系中三角形面积等于 即求出 S（3）根据题意需分 3 种情况讨论，根据垂直平分线性质，一点在另外两点组成线段的垂直平分线上等价于线段相等，利用 OD=2 是固定值作为等量关系即可求得 F 的坐标，再利用 P 与 F 的纵坐标相同把 P 的横坐标即可本题考查了待定系数法求函数解析式，平行线的判定，三角形面积计算，函数与方程的关系，垂直平分线的性质，勾股定理第（ 3）题正确理解 “新定义”并把问题转化为线段相等是解题关键.