2019年安徽省名校大联考中考数学模拟试卷（二）含答案解析

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1、2019 年安徽省名校大联考中考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.在每小题给出的选项中，只有一个符合题意，请将正确的一项代号填入下面括号内）1（4 分）与3 的和为 0 的有理数是（ ）A3 B3 C D2（4 分）下列运算中正确的是（ ）Ax 2+x22x 4 Bx 5x 3x 2Cx 2x3x 6 D（x） 6（x 2）x 43（4 分）如图，是一个水平放置的圆柱体笔筒的示意图，它的主视图是（ ）A B C D4（4 分）2019 年 4 月，黄山风景区玫瑰花旅游节举行，吸引着各地游客前来观赏游玩玫瑰花花粉的直径约为 0.00000018m

2、，这里“0.00000018 ”用科学记数法可表示为（ ）A1.810 6 B1.810 7 C0.1810 6 D1810 85（4 分）估算 5 在下列哪两个相邻的整数之间（ ）A21 之间 B01 之间 C12 之间 D23 之间6（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2（2k 1）x+k 2+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak Bk Ck Dk 7（4 分）对于一组数据：85，95，85，80，80，85，表述正确的是（ ）A众数是 80 和 85 B平均数是 86C方差是 25 D中位数是 808（4 分）如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在 AD 上，AD 4DE，

3、连接 BE 并延长交 AC于点 F，则 AF：FC 的值是（ ）A3：2 B4：3 C2：1 D2：39（4 分）如图，RtABC 中，C90，AB 5cm ，AC 4cm ，点 P 从点 A 出发，以1cm/s 的速度沿 AC 向点 C 运动，同时点 Q 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 ABC向点 C 运动，直到它们都到达点 C 为止若APQ 的面积为 S（cm 2），点 P 的运动时间为 t（s），则 S 与 t 的函数图象是（ ）A BC D10（4 分）如图，矩形 ABCD 中，BC2 ，AB 4 ，点 P 是对角线 AC 上的一动点，以 BP 为直角边作等腰 RtBPQ （

4、其中PBQ90），则 PQ 的最小值是（ ）A B C2 D2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11（5 分）16 的平方根是 12（5 分）分解因式 2x312x 2+18x 13（5 分）已知：如图，直线 l 经过点 A（2，0）和点 B（0，1），点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 C，若 OM2OA，则经过点 C 的反比例函数表达式为 14（5 分）ABC 中，C90，AC3，BC4，点 P 是ABC 边上的一点，且PC2PA ，则 PA 的长是 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15（8 分）先

5、化简再求值：（3 ） ，其中 x216（8 分）古代名著算学启蒙中有这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”译文：跑得快的马平均每天能跑 240 里，跑得慢的马平均每天能跑 150 里如果慢马先行 12 天，快马多少天能够追上慢马？请解答这个问题四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17（8 分）观察下列等式：124127；3242315；5243423；（1）请直接写出第个等式；（2）根据上述等式的排列规律，猜想第 n 个等式（n 是正整数），并验证它的正确性18（8 分）在边长为 1 的小正方形组成的网格中建立如图所示

6、的平面直角坐标系，ABC 为格点三角形（顶点是网格线的交点）（1）画出ABC 先向上平移 2 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度得到的A1B1C1；（2）以点 O 为位似中心，在第一象限画出 ABC 的位似图形A 2B2C2，使A 2B2C2 与ABC 的位似比为 2：1五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19（10 分）如图，是某小区入口抽象成的平面示意图，已知入口 BC 宽 4 米，栏杆支点O 与地面 BC 的距离为 0.8 米，当栏杆 OM 升起到与门卫室外墙 AB 的夹角成 30时，一辆宽 2.4 米，高 1.6 米的轿车能否从该入口的正中间位置进入该小区？

7、若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由（参考数据： 1.7）20（10 分）如图，线段 AB 为 O 的直径，点 C、E 在 O 上， ，连接BE、 CE，过点 C 作 CM BE 交 AB 的延长线于点 M（1）求证：直线 CM 是O 的切线；（2）若 sinABE ，BM 4，求 O 的半径六、（本题满分 12 分）21（12 分）某校举行“诵读经典”朗诵比赛，把比赛成绩分为四个等次：A 优秀，B良好， C一般，D 较差，从参加比赛的学生中随机抽取部分学生的成绩进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表（不完整）：等次 频数 频率A m 0.1B 20 0.4C n pD 10 0.2

8、合计 1（1）这次共调查了 名学生，表中 m ，n ，p ；（2）补全频数分布直方图；（3）若抽查的学生中，等次 A 中有 2 名女生，其他为男生，从等次 A 中选取两名同学参加市中学生朗诵比赛，求恰好选取一名男生和一名女生的概率七、（本题满分 12 分）22（12 分）如图，抛物线 y1ax 2x +c 与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，并经过点（2， ），抛物线 y1 的顶点为 C将抛物线 y1 平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线l 的抛物线 y2（1）求抛物线 y2 的表达式；（2）在直线 l 上是否存在点 P，使PBC 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，

9、请说明理由八、（本题满分 14 分）23（14 分）（1）如图 1，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 有公共的顶点 A，连接DG，BE ，AC， CF求证： DG BE；求 的值；（2）将图 1 中的正方形 AEFG 旋转到图 2 的位置，当 D，G ，E 在一条直线上，若DGGE 3 ，求正方形 ABCD 的边长2019 年安徽省名校大联考中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.在每小题给出的选项中，只有一个符合题意，请将正确的一项代号填入下面括号内）1（4 分）与3 的和为 0 的有理数是（ ）A3 B3 C D【分析】

10、根据相反数和为零可得答案【解答】解：与3 的和为 0 的有理数是 3，故选：B【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数2（4 分）下列运算中正确的是（ ）Ax 2+x22x 4 Bx 5x 3x 2Cx 2x3x 6 D（x） 6（x 2）x 4【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则逐一计算可得【解答】解：Ax 2+x22x 2，此选项错误；Bx 5 与 x3 不是同类项，不能合并，此选项错误；Cx 2x3x 5，此选项错误；D（x） 6（x 2）x 4，此选项正确；故选：D【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解题的关键是掌握合并同类项法则、

11、同底数幂的乘法和除法法则3（4 分）如图，是一个水平放置的圆柱体笔筒的示意图，它的主视图是（ ）A B C D【分析】从正面看所得到的图形是主视图【解答】解：从正面看所得到的图形为 C故选：C【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向属于基础题，中考常考题型4（4 分）2019 年 4 月，黄山风景区玫瑰花旅游节举行，吸引着各地游客前来观赏游玩玫瑰花花粉的直径约为 0.00000018m，这里“0.00000018 ”用科学记数法可表示为（ ）A1.810 6 B1.810 7 C0.1810 6 D1810 8【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为

12、 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000000181.810 7 故选：B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定5（4 分）估算 5 在下列哪两个相邻的整数之间（ ）A21 之间 B01 之间 C12 之间 D23 之间【分析】利用”夹逼法“得出 的范围，继而也可得出 5 的范围【解答】解：479，2 325 3故选：D【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关

13、键是掌握夹逼法的运用6（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2（2k 1）x+k 2+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak Bk Ck Dk 【分析】先根据判别式的意义得到（2k1） 24（k 2+1）0，然后解关于 k的一元一次不等式即可【解答】解：根据题意得（2k1） 24（k 2+1）0，解得 k 故选：A【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根7（4 分）对于一组数据：85，95，85，80，80，85，表述正确的是（ ）A

14、众数是 80 和 85 B平均数是 86C方差是 25 D中位数是 80【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个利用平均数和方差的定义可分别求出【解答】解：这组数据中 85 出现了 3 次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位85；由平均数公式求得这组数据的平均数位 85，方差为： （8585） 2+（9585）2+（8585） 2+（8085） 2+（8085） 2+（8585） 225；将这组数据按从大到校的顺序排列，第 3，4 个数是 85，故中位数为 85所以选项 C 正确故选：C

15、【点评】本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与方差的定义解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选8（4 分）如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在 AD 上，AD 4DE，连接 BE 并延长交 AC于点 F，则 AF：FC 的值是（ ）A3：2 B4：3 C2：1 D2：3【分析】过点 D 作 DGAC，与 BF 交于点 G于是 FC2DG ，AF3DG，因此AF：FC3DG ：2DG3：2【解答】解：过点 D 作 DGAC ，与 BF 交于点 GAD4DE ，AE3DE ，AD 是ABC 的中线 ， ，即 AF3DG ，即 FC2DG ，AF：FC3DG ：2DG3：2故选：

16、A【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线充分利用平行线分线段成比例的性质是解题的关键9（4 分）如图，RtABC 中，C90，AB 5cm ，AC 4cm ，点 P 从点 A 出发，以1cm/s 的速度沿 AC 向点 C 运动，同时点 Q 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 ABC向点 C 运动，直到它们都到达点 C 为止若APQ 的面积为 S（cm 2），点 P 的运动时间为 t（s），则 S 与 t 的函数图象是（ ）A BC D【分析】分两种情况讨论：当 0t 时，过 Q 作 QDAC 交 AC 于点 D，S APQ APQD；当 t4 时，S APQ S ABC S

17、 CPQ SABQ ；【解答】解：当 0t 时，点 Q 在 AB 上，AQ2t，AP t，过 Q 作 QDAC 交 AC 于点 D，RtABC 中，C90，AB 5cm ，AC 4cm，BC3cm， ，QD t，SAPQ APQD t t t2，当 t4 时，点 Q 在 BC 上，SAPQ SABC S CPQ SABQ 34 （4t）（82t） 4（2t 5）t 2+4t（t 2） 2，综上所述，正确的图象是 D故选：D【点评】本题考查动点运动，三角形面积B 点是 Q 点运动的分界点，将运动过程分两种情况进行讨论是解题的关键10（4 分）如图，矩形 ABCD 中，BC2 ，AB 4 ，点 P

18、 是对角线 AC 上的一动点，以 BP 为直角边作等腰 RtBPQ （其中PBQ90），则 PQ 的最小值是（ ）A B C2 D2【分析】根据题意可得当 BP 最短时，PQ 值最小，即 BPAC 时，PQ 最小利用面积法计算 BP 长度，即可得 PQ 长度【解答】解：BPQ 是等腰直角三角形，若 PQ 最小，则 BP 值最小即可点 P 是对角线 AC 上的一动点，B 点是定点，当 BPAC 时， BP 最短在 Rt ABC 中，AC 2 ，2 BP2 4 ，解得 BP 在等腰 RtBPQ 中，PQ BP 故选：B【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理以及垂线段最短，解题的关键是根据图形特征

19、转化最短线段二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11（5 分）16 的平方根是 4 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题【解答】解：（4） 216，16 的平方根是4故答案为：4【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根12（5 分）分解因式 2x312x 2+18x 2x（x3） 2 【分析】首先提公因式 2x，然后利用完全平方公式即可分解【解答】解：原式2x（x 26x +9）2x（x3） 2故答案是：2x（x 3

20、） 2【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底13（5 分）已知：如图，直线 l 经过点 A（2，0）和点 B（0，1），点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 C，若 OM2OA，则经过点 C 的反比例函数表达式为 y 【分析】设直线 l 的解析式为 ykx+ b，列方程组求得 y x+1，根据已知条件得到点C（3，4），设反比例函数表达式为 y ，把 C 的坐标代入即可得到结论【解答】解：设直线 l 的解析式为： ykx+ b，直线 l 经过点 A（2，0）和点 B（0，1）， ，解得： ，直线 l 的

21、解析式为：y x+1，点 A（2，0），OA2，OM 2OA，OM 4，点 C 的横坐标为 4，当 x4 时，y3，点 C（3，4），设反比例函数表达式为 y ，m12，反比例函数表达式为 y ，故答案为：y 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键14（5 分）ABC 中，C90，AC3，BC4，点 P 是ABC 边上的一点，且PC2PA ，则 PA 的长是 1 或 【分析】根据勾股定理求出 AB，分点 P 在 AC 上、点 P 在 AB 上、点 P 在 BC 上三种情况，结合图形、根据勾股定理计算，得到答案【解答】解：由勾股定理得，AB 5，当

22、点 P 在 AC 上时，AC3，PC 2PA，AP1；当点 P 在 AB 上时，作 CDAB 于 D，ACBC ABCD，即 34 5CD，解得，CD ，由勾股定理得，AD ，设 APx，则 PD x，PC2x，则（2x） 2（ x ） 2+（ ） 2，解得，x 1 ，x 2 （舍去）；当点 P 在 BC 上时，PA PC ，PC 2PA，综上所述，PC2PA 时，则 PA 的长为 1 或 ，故答案为：1 或 【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c 2三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16

23、 分）15（8 分）先化简再求值：（3 ） ，其中 x2【分析】直接将括号里面通分运算，再进行分式的加减以及乘除运算，进而把已知代入求出答案【解答】解：原式 ，当 x2 时，原式 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的加减运算是解题关键16（8 分）古代名著算学启蒙中有这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”译文：跑得快的马平均每天能跑 240 里，跑得慢的马平均每天能跑 150 里如果慢马先行 12 天，快马多少天能够追上慢马？请解答这个问题【分析】设快马 x 天能够追上慢马，根据快马和慢马的路程相等，可得出关于 x 的一元一

24、次方程，解之即可得出结论【解答】解：设快马 x 天能够追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，依题意，得：240x150（x +12），解得：x20答：快马 20 天能够追上慢马【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17（8 分）观察下列等式：124127；3242315；5243423；（1）请直接写出第个等式；（2）根据上述等式的排列规律，猜想第 n 个等式（n 是正整数），并验证它的正确性【分析】（1）通过观察可知，7 244531；（2）把题目中的式子用含 n 的形式分别表示出来，从而寻

25、得规律【解答】解：（1）第个等式：7 244531；（2）题目中的式子用含 n 的形式分别表示出来是：（2n1） 24n（n+1）8n+1验证：等式左边4n 24n+14n 24n8n+1等式右边，结论正确【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现通过观察，分析、归纳，发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力18（8 分）在边长为 1 的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 为格点三角形（顶点是网格线的交点）（1）画出ABC 先向上平移 2 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度得到的A1B1C1；（2）以点 O 为位似中心，在第一象限画出

26、 ABC 的位似图形A 2B2C2，使A 2B2C2 与ABC 的位似比为 2：1【分析】（1）分别画出 A，B，C 的对应点 A1，B 1，C 1 即可（2）延长 OA 到 A2，使得 OA22OA 1，同法作出 B2，C 2 即可【解答】解：（1）A 1B1C1；如图所示（2）A 2B2C2 如图所示【点评】本题考查作图位似变换，作图平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19（10 分）如图，是某小区入口抽象成的平面示意图，已知入口 BC 宽 4 米，栏杆支点O 与地面 BC 的距离为 0.8 米，当栏杆

27、OM 升起到与门卫室外墙 AB 的夹角成 30时，一辆宽 2.4 米，高 1.6 米的轿车能否从该入口的正中间位置进入该小区？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由（参考数据： 1.7）【分析】直接在 BC 上取点 Q，使 BQ0.8m ，过 Q 作 QPBC 交 MO 于点 P，过 O 作OMOQ 于点 M，分别得出 PM，PQ 的长进而得出答案【解答】解：轿车能安全通过理由：如图所示：当轿车从该入口的正中间位置进入该小区时，车与 OB 的距离为：4.02 2.420.8（m ），在 BC 上取点 Q，使 BQ0.8 m，过 Q 作 QPBC 交 MO 于点 P，过 O 作 OMOQ 于点

28、 M，则 MQOB0.8m ，OM BQ0.8m，在 Rt OPM 中，tan60 ，PMOMtan600.8 1.36（m），PQPM+ MQ2.16m1.6m，轿车能安全通过【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 PQ 的长是解题关键20（10 分）如图，线段 AB 为 O 的直径，点 C、E 在 O 上， ，连接BE、 CE，过点 C 作 CM BE 交 AB 的延长线于点 M（1）求证：直线 CM 是O 的切线；（2）若 sinABE ，BM 4，求 O 的半径【分析】（1）连接 OC 交 BE 于 G，根据垂径定理得到 OCBE，根据平行线的性质得到OCMOGB90，于是

29、得到结论；（2）根据平行线的性质得到ABEOMC，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】（1）证明：连接 OC 交 BE 于 G， ，OCBE ，OGB 90 ，CMBE，OCMOGB90，直线 CM 是O 的切线；（2）解：CMBE，ABE OMC ，sinABE ，sinOMC ，OCM90，sinOMC ，设 O 的半径为 r， ，解得：r6， O 的半径为 6【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键六、（本题满分 12 分）21（12 分）某校举行“诵读经典”朗诵比赛，把比赛成绩分为四个等次：A 优秀，B良好， C一般，D 较差，从参加

30、比赛的学生中随机抽取部分学生的成绩进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表（不完整）：等次 频数 频率A m 0.1B 20 0.4C n pD 10 0.2合计 1（1）这次共调查了 50 名学生，表中 m 5 ，n 15 ，p 0.3 ；（2）补全频数分布直方图；（3）若抽查的学生中，等次 A 中有 2 名女生，其他为男生，从等次 A 中选取两名同学参加市中学生朗诵比赛，求恰好选取一名男生和一名女生的概率【分析】（1）根据 B 等级的人数和频率求出总人数，用总人数乘以 A 等级的频率求出m，用总人数减去其它等级的人数求出 n，再用 C 等级的人数除以总人数求出 p；（2）根据（1）求出

31、 m 和 n 的值，即可补全统计图；（3）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选取一名男生和一名女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）共抽查了 200.450 名学生；m500.15；n505201015；p 0.3；故答案为：50，5，15，0.3；（2）根据（1）的结果补全统计图如下：（3）根据题意画图如下：共有 20 种等可能情况，而选取一名男生和一名女生的情况有 12 种，所以恰好选取一名男生和一名女生的概率 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时

32、要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比七、（本题满分 12 分）22（12 分）如图，抛物线 y1ax 2x +c 与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，并经过点（2， ），抛物线 y1 的顶点为 C将抛物线 y1 平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线l 的抛物线 y2（1）求抛物线 y2 的表达式；（2）在直线 l 上是否存在点 P，使PBC 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线 y1 x2x+ ，然后求得点 B 的坐标，根据题意即可求得抛物线 y2 的表达式；（2）由 y1 x2

33、x + （x+1） 2+2 可知 C 点的坐标为（1，2），根据勾股定理 BC 2 ，设 P 点的坐标为（1，m），然后分三种情况列出关于 m 的方程，解方程即可求得【解答】解：（1）由于抛物线 y1ax 2x +c 与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，并经过点（2， ）， ，解得 ，抛物线 y1 x2x + ，当 y10 时， x2x + 0，解得 x13，x 21，B 点的坐标为（1，0），将抛物线 y1 平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线 l 的抛物线 y2抛物线 y2 的表达式为：y 2 （x 1） 2；（2）在直线 l 上存在点 P，使PBC 是等腰三角形，由 y1 x2 x+

34、 （x+1） 2+2 可知 C 点的坐标为（1，2），根据勾股定理 BC 2 ，设 P 点的坐标为（ 1，m），分三种情况：当 PBPC 时，m 22 2+（m2） 2，解得 m2，此时点 P 坐标为（1，2）；当 PBBC 时，m 2（2 ） 2，解得 m2 ，此时点 P 坐标为（1，2 ）或（1，2 ）；当 PCBC 时，2 2+（m2） 2（2 ） 2，解得 m4 或 m0（舍去），此时点 P坐标为（1，4）；综上，PBC 是等三角形时，点 P 的坐标为（1，2）或（1，2 ）或（1，2 ）或（1，4）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数性质、等腰三角形判定，应用了数形结合和分

35、类讨论的数学思想八、（本题满分 14 分）23（14 分）（1）如图 1，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 有公共的顶点 A，连接DG，BE ，AC， CF求证： DG BE；求 的值；（2）将图 1 中的正方形 AEFG 旋转到图 2 的位置，当 D，G ，E 在一条直线上，若DGGE 3，求正方形 ABCD 的边长【分析】（1）可通过证明ADG BEA，得到 DG BE可通过证明DAG CAF，得到 CF 和 DG 的比值（2）可以根据相似和题目当中的特殊角度，利用勾股定理或者三角函数求相关的线段长度【解答】证明：（1）四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形ADAB，AGAE，

36、DABGAE90DAG BAE，且 ADAB，AGAEADG ABE（SAS）DGBE如图 1 所示，连接 AF，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形CADFAG45，CDAEGA90，CDAD，AG GFAC AD，AF AG，DAGFAC ，且DAG FACDAG CAF（2）如图 2 所示，连接 BE，由可知ADGABE，DGBE3 ，由得 ，CFADGA18045135 ，CF6，CFG90，而GFE90，C、F、E 共线，EFAE3，在 Rt CEA 中，AC3 ，AD3 ，正方形的边长为 3 【点评】此题考查了全等三角形的判定和相似三角形的判定以及性质，找到相似三角形列出比例关系以及借助特殊角度为解题关键