2019年4月山东省莱芜市中考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2019 年山东省莱芜市中考数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（每小题 3 分，12 小题；共 36 分）1（3 分）8 的立方根与 4 的平方根的和是（ ）A0 B0 或 4 C4 D0 或42（3 分）未来三年，国家将投入 8 500 亿元用于缓解群众“看病难，看病贵”问题将8 500 亿元用科学记数法表示为（ ）A0.8510 4 亿元 B8.510 3 亿元C8.510 4 亿元 D8510 2 亿元3（3 分）无理数 介于那两个相邻的整数之间（ ）A4 和 5 之间 B2 和 3 之间 C3 和 4 之间 D1 和 2 之间4（3 分）在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C

2、 D5（3 分）分式 可变形为（ ）A B C D6（3 分）某校八年级二班的 10 名团员在“情系芦山”的献爱心捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10，8，12，15，10，12，11，9，13，10则这组数据的（ ）A众数是 10.5 B方差是 3.8 C极差是 8 D中位数是 107（3 分）一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）A1 B C D8（3 分）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来方向相反，那么这两次拐变的角度是（ ）A第一次向右拐 40，第二次左拐 140B第一次向左拐 40，第二次右拐 40C第一次向左拐 40，第二次左拐

3、140D第一次向右拐 40，第二次右拐 409（3 分）如图，将等边ABC 沿射线 BC 向右平移到DCE 的位置，连接 AD、BD，则下列结论：ADBC；BD、AC 互相平分； 四边形 ACED 是菱形； BDDE其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D410（3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y3x 2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）Ay3（x+1） 2+2 By3（x+1） 22Cy 3（x 1） 2+2 Dy3（x1） 2211（3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，给下以下结论：2a b0；9a+3b+c0

4、；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c+30 有两个相等实数根；8a+c0其中正确的个数是（ ）A2 B3 C4 D512（3 分）如图，在ABCD 中，DAB60，AB 10 ，AD 6O 分别切边AB， AD 于点 E，F，且圆心 O 恰好落在 DE 上现将O 沿 AB 方向滚动到与边 BC 相切（点 O 在ABCD 的内部），则圆心 O 移动的路径长为（ ）A4 B6 C7 D102二、填空题（共 5 小题；15 分）13（3 分）计算：（3） 0| |+（ ） 2 14（3 分）若 x1，x 2 是一元二次方程 x23x40 的两根，则 x1+x2 15（3 分）如图，正三角形和

5、矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 和 2，则图中阴影部分的面积是 16（3 分）ABC 三边长分别为 2，3， ，则ABC 的面积为 17（3 分）如图，将一块含 30角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切若半径 OA 4，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）三、解答题（7 小题；共 69 分）18（8 分）计算：cot30sin60 + 19（10 分）在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B ，C ，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 90 分，80 分，70 分，60

6、 分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：请你根据以上提供的信息解答下列问题：（1）此次竞赛中二班成绩在 70 分及其以上的人数有 人；（2）补全下表中空缺的三个统计量：平均数（分） 中位数（分） 众数（分）一班 77.6 80 二班 90（3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出两个结论20（10 分）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BCAD，斜坡 AB40 米，坡角BAD 60，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B

7、沿 BC 削进到 E 处，问 BE 至少是多少米？（结果保留根号）21（10 分）荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元（每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低22（10 分）如图，在O 中，AB 是直径，点 D 是O 上的一点，点 C 是 的中点，弦CM 垂直 AB 于点 F，连接 AD，交 CF 于点 P，连接 BC，DAB3

8、0（1）求ABC 的度数；（2）若 CM4 ，求 的长度（结果保留 ）23（10 分）如图，ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点E，过点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知 BD2 ，CF2，求 AE 和 BG 的长24（11 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B （5，0）两点，直线 y x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 于点 E设点 P 的横坐标为

9、 m（1）求抛物线的解析式；（2）若 PE5EF ，求 m 的值；（3）若点 E是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 E落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年山东省莱芜市中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，12 小题；共 36 分）1（3 分）8 的立方根与 4 的平方根的和是（ ）A0 B0 或 4 C4 D0 或4【分析】根据立方根的定义求出8 的立方根，根据平方根的定义求出 4 的平方根，然后即可解决问题【解答】解：8 的立方根为2，4 的平方根为2，8 的立方根与 4 的平方根的

10、和是 0 或4故选：D【点评】本题考查了平方根和立方根的概念注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0 的立方根式 02（3 分）未来三年，国家将投入 8 500 亿元用于缓解群众“看病难，看病贵”问题将8 500 亿元用科学记数法表示为（ ）A0.8510 4 亿元 B8.510 3 亿元C8.510 4 亿元 D8510 2 亿元【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动

11、的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：按照科学记数法的形式 8 500 亿元应该写成 8.5103 亿元故选：B【点评】用科学记数法表示数，一定要注意 a 的形式，以及指数 n 的确定方法3（3 分）无理数 介于那两个相邻的整数之间（ ）A4 和 5 之间 B2 和 3 之间 C3 和 4 之间 D1 和 2 之间【分析】估算确定出所求范围即可【解答】解：82127，2 3，则无理数 介于 2 和 3 之间，故选：B【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键4（3 分）在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C

12、D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心5（3 分）分式 可变形为（ ）A B C D【分析】先提取1，再根据分式的符号变化规律得出即可【解答】解： ，故选：D【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式本身的符号，分子的符号，分

13、母的符号，变换其中的两个，分式的值不变6（3 分）某校八年级二班的 10 名团员在“情系芦山”的献爱心捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10，8，12，15，10，12，11，9，13，10则这组数据的（ ）A众数是 10.5 B方差是 3.8 C极差是 8 D中位数是 10【分析】根据众数、方差、极差、中位数的定义和公式分别进行计算，即可得出答案【解答】解：这组数据 10，8，12，15，10，12，11，9，13，10 中，10 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 10；平均数是（10+8+12+15+10+12+11+9+13+10）1011，则方差 3（1011） 2+（81

14、1） 2+2（1211） 2+（1511） 2+（1111）2+（911） 2+（1311） 23.8；极差是：1587；把这组数据从小到大排列为：8，9，10，10，10，11，12，12，13，15，最中间两个数的平均数是（10+11）210.5；故选：B【点评】此题考查了众数、方差、极差、中位数，方差公式 S2 （x 1 ） 2+（x 2） 2+（x n ） 2，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数7（3 分）一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）A1 B C D【分析

15、】根据展开的半圆就是底面周长列出方程【解答】解：根据题意得： ，解得 r ，故选：C【点评】本题的关键是明白展开的半圆就是底面周长8（3 分）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来方向相反，那么这两次拐变的角度是（ ）A第一次向右拐 40，第二次左拐 140B第一次向左拐 40，第二次右拐 40C第一次向左拐 40，第二次左拐 140D第一次向右拐 40，第二次右拐 40【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进，所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：C【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补

16、得出是解题关键9（3 分）如图，将等边ABC 沿射线 BC 向右平移到DCE 的位置，连接 AD、BD，则下列结论：ADBC；BD、AC 互相平分； 四边形 ACED 是菱形； BDDE其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据等边三角形的性质得 ABBC，再根据平移的性质得 ABDC，ABDC，则可判断四边形 ABCD 为菱形，根据菱形的性质得 ADBC，BD、AC 互相平分；同理可得四边形 ACED 为菱形；由于 BDAC，ACDE ，易得 BDDE 【解答】解：ABC 为等边三角形，ABBC，等边ABC 沿射线 BC 向右平移到DCE 的位置，ABDC，AB DC ，四边形

17、 ABCD 为平行四边形，而 ABBC，四边形 ABCD 为菱形，ADBC，BD、AC 互相平分，所以正确；同理可得四边形 ACED 为菱形，所以正确；BDAC，ACDE，BDDE ，所以 正确故选：D【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等也考查了等边三角形的性质和菱形的判定与性质10（3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y3x 2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）Ay3

18、（x+1） 2+2 By3（x+1） 22Cy 3（x 1） 2+2 Dy3（x1） 22【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线 y3x 2 的对称轴为直线 x0，顶点坐标为（0，0），则抛物线 y3x 2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式【解答】解：抛物线 y3x 2 的对称轴为直线 x0，顶点坐标为（ 0，0），抛物线 y3x 2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，2），平移后抛物线的解析式为 y3（x1） 2+2故选：C

19、【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式ya（xk） 2+h，其中对称轴为直线 xk，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移 m 个单位，向上平移 n 个单位，则得到的抛物线的解析式为 ya（xk m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移11（3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，给下以下结论：2a b0；9a+3b+c0；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c+30 有两个相等实数根；8a+c0其中正确的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】 根据抛物线的对称轴为 x 1，可得出 2ab4a0，结论不正确

20、； 根据二次函数的对称性，可得出当 x3 时，yax 2+bx+c9a+3b+c0，结论正确； 将二次 yax 2+bx+c 图象沿 y 轴正方向平移 3 个单位长度，可得出二次函数yax 2+bx+c+3 的图象与 x 轴只有一个交点，即关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c+30有两个相等实数根，结论正确； 将 x2 代入二次函数解析式中，可得出y4a2b+c 0，再结合 b2a 即可得出 8a+c0，结论不正确综上即可得出结论【解答】解：抛物线的对称轴为 x 1，b2a，2ab4a0，结论不正确；抛物线的对称轴为 x1，当 x1 时，yax 2+bx+c0，当 x3 时，y ax 2

21、+bx+c9a+3b+ c0，结论 正确；二次函数 yax 2+bx+c 的图象的顶点坐标为（1，3），将二次函数 yax 2+bx+c 图象沿 y 轴正方向平移 3 个单位长度得到 yax 2+bx+c+3，且二次函数 yax 2+bx+c+3 的图象与 x 轴只有一个交点，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c+30 有两个相等实数根，结论正确；当 x2 时，yax 2+bx+c4a2b+c 0，b2a，4a2（2a）+c8a+c0，结论不正确综上所述：正确的结论有故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论

22、的正误是解题的关键12（3 分）如图，在ABCD 中，DAB60，AB 10 ，AD 6O 分别切边AB， AD 于点 E，F，且圆心 O 恰好落在 DE 上现将O 沿 AB 方向滚动到与边 BC 相切（点 O 在ABCD 的内部），则圆心 O 移动的路径长为（ ）A4 B6 C7 D102【分析】图所示，O 滚过的路程即线段 EN 的长度ENABAEBN，所以只需求AE、BN 的长度即可分别根据 AE 和 BN 所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可【解答】解：连接 OE，OA、BO AB，AD 分别与 O 相切于点 E、F，OEAB，OFAD，OAEOAD30，在 Rt ADE 中，AD

23、6，ADE30，AE AD3，OEAE ADBC，DAB 60，ABC120 设当运动停止时，O 与 BC，AB 分别相切于点 M，N ，连接 ON，OM 同理可得，BON 为 30，且 ON 为 ，BNONtan30 1cm ，ENABAE BN103 16 O 滚过的路程为 6 故选：B【点评】此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，关键时计算出 AE 和 BN 的长度二、填空题（共 5 小题；15 分）13（3 分）计算：（3） 0| |+（ ） 2 5 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质化简求出答案【解答】解：（3） 0| |+（

24、） 21 +45 故答案为：5 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键14（3 分）若 x1，x 2 是一元二次方程 x23x40 的两根，则 x1+x2 3 【分析】利用根与系数的关系求解【解答】解：根据题意得 x1+x23故答案为 3【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 15（3 分）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 和 2，则图中阴影部分的面积是 2 【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求

25、得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积【解答】解：设正三角形的边长为 a，则 a2 2 ，解得 a2 则图中阴影部分的面积2 22故答案是：2【点评】考查了二次根式的应用解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽16（3 分）ABC 三边长分别为 2，3， ，则ABC 的面积为 3 【分析】先判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式即可得出结论【解答】解：2 2+32（ ） 2，ABC 是直角三角形，S ABC 233故答案为：3【点评】本题考查的是勾股定理，先根据题意判断出三角形ABC 是直角三角形是解答此题的关键17（3 分）如图，将一块含

26、 30角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切若半径 OA 4，则图中阴影部分的面积为 +2 （结果保留）【分析】求出 OC OB2 ，BC 2 ，图中阴影部分的面积扇形 BOD 的面积+BOC 的面积【解答】解：如图所示：斜边与半圆相切，点 B 是切点，EBO90又E30，EBC60BOD 120 ，OAOB 4，OC OB 2，BC2 S 阴影 S 扇形 BOD+SBOC + 22 +2 故答案为： +2 【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算此题利用了“分割法”求得阴影部分的面积三、解答题（7 小题；共 69 分）18（8 分）计算：cot30sin60 + 【

27、分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案【解答】解：原式 【点评】此题主要考查了特殊角三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键19（10 分）在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B ，C ，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 90 分，80 分，70 分，60 分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：请你根据以上提供的信息解答下列问题：（1）此次竞赛中二班成绩在 70 分及其以上的人数有 21 人；（2）补全下表中空缺的三个统计量：平均数（分） 中位数（分） 众数（分）一班 77.6 80 80 二班 77.6 70 90（3）请根据上述图

28、表对这次竞赛成绩进行分析，写出两个结论【分析】（1）根据条形统计图得到参赛人数，然后根据每个级别所占比例求出成绩在70 分以上的人数；（2）由上题中求得的总人数分别求出各个成绩段的人数，然后可以求平均数、中位数、众数；（3）根据其成绩，作出合理的分析即可【解答】解：（1）一班参赛人数为：6+12+2+525（人），两班参赛人数相同，二班成绩在 70 分以上（包括 70 分）的人数为 2584%21 人；（2）平均数：9044%+804%+7036%+6016% 77.6（分）；中位数：70（分）；众数：80（分）填表如下：平均数（分） 中位数（分） 众数（分）一班 77.6 80 80二班 7

29、7.6 70 90（3） 平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些请一班的同学加强基础知识训练，争取更好的成绩故答案为：21；80，77.6，70【点评】本题考查了各种统计图之间的相互转化的知识，在解决本题时关键的地方是根据题目提供的信息得到相应的解决下一题的信息，考查了学生们加工信息的能力20（10 分）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BCAD，斜坡 AB40 米，坡角BAD 60，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B 沿 BC 削进到 E 处

30、，问 BE 至少是多少米？（结果保留根号）【分析】BEFG ，应根据三角函数值先求得斜坡的高度，再得到 AF、AG 的值，进而求解【解答】解：作 BGAD 于 G，作 EFAD 于 F，则在 RtABG 中，BAD60，AB40，所以就有 BGAB Sin6020 ，AGABCos6020，同理在 RtAEF 中，EAD45，则有 AFEFBG20 ，所以 BEFG AFAG20（ 1）米故 BE 至少是 20（ 1）米【点评】本题考查锐角三角函数的应用需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法21（10 分）荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90

31、元；后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元（每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低【分析】（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据单价和费用关系列出方程组，解方程组即可；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得出12t2t，得出 t4，由题意得出 W5t +240，由一次函数的性质得出 W 随 t 的增大而减小，得出当 t4 时，W 的最小值220

32、（元），求出 1248 即可【解答】解：（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据题意得： ，解得： ；答：桂味的售价为每千克 15 元，糯米糍的售价为每千克 20 元；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得：12t2t，t4，W15t+20 （12t）5 t+240，k50，W 随 t 的增大而减小，当 t4 时，W 的最小值220（元），此时 1248；答：购买桂味 4 千克，糯米糍 8 千克时，所需总费用最低【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关

33、键22（10 分）如图，在O 中，AB 是直径，点 D 是O 上的一点，点 C 是 的中点，弦CM 垂直 AB 于点 F，连接 AD，交 CF 于点 P，连接 BC，DAB30（1）求ABC 的度数；（2）若 CM4 ，求 的长度（结果保留 ）【分析】（1）连接 BD，根据 AB 为O 的直径，求出ADB90，得到ABD60，再根据 C 是 的中点，求出ABC 的度数；（2）连接 OC，则AOC2ABC 60，求出 CO 的长，即可求出 的长度【解答】解：（1）如图，连接 BD，AB 为O 的直径，ADB90，DAB30，ABD903060C 是 的中点，ABCDBC ABD30（2）如图，连

34、接 OC，则AOC2ABC 60，CM直径 AB 于点 F，CF CM 2 在 RtCOF 中，CO CF 2 4， 的长度为 【点评】本题考查了圆周角定理，作出辅助线，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解答23（10 分）如图，ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点E，过点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知 BD2 ，CF2，求 AE 和 BG 的长【分析】（1）连接 OD，AD，由圆周角定理可得 ADBC，结合等腰三角形的性质知BDCD，再根据 OAOB 知 ODAC，从而由 DGAC

35、 可得 ODFG，即可得证；（2）连接 BEBE GF，推出AEBAFG，可得 ，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）连接 OD，AD，AB 为O 的直径，ADB90，即 ADBC，ABAC，BDCD，又OAOB ，ODAC，DGAC，ODFG ，直线 FG 与O 相切；（2）连接 BEBD 2 ， ，CF2，DF 4，AB 是直径，AEB CEB90，BEAC， DFAC，DFBE，EFFC，BE2DF 8，cosCcosABC， ， ，AB10，AE 6，BEAC，DFAC，BEGF ，AEB AFG， ， ，BG 【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与

36、性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键24（11 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B （5，0）两点，直线 y x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 于点 E设点 P 的横坐标为 m（1）求抛物线的解析式；（2）若 PE5EF ，求 m 的值；（3）若点 E是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 E落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数

37、法求出抛物线的解析式；（2）用含 m 的代数式分别表示出 PE、EF，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出当四边形 PECE是菱形，然后根据 PECE 的条件，列出方程求解；当四边形 PECE是菱形不存在时，P 点 y 轴上，即可得到点 P 坐标【解答】方法一：解：（1）将点 A、B 坐标代入抛物线解析式，得：，解得 ，抛物线的解析式为：yx 2+4x+5（2）点 P 的横坐标为 m，P（m，m 2+4m+5），E （ m， m+3），F（m，0）PE|y Py E|（m 2+4m+5）（ m+3）|m 2+ m+2|，EF| yEy F|（ m+3）0| m+3|由题意，PE5EF ，即：

38、| m 2+ m+2|5| m+3| m+15|若 m2+ m+2 m+15，整理得：2m 217m +260，解得：m2 或 m ；若 m2+ m+2（ m+15），整理得：m 2m170，解得：m 或 m 由题意，m 的取值范围为： 1m 5，故 m 、m 这两个解均舍去m2 或 m （3）假设存在作出示意图如下：点 E、E 关于直线 PC 对称，12，CECE，PEPEPE 平行于 y 轴，13，23，PECE，PECEPECE，即四边形 PECE是菱形当四边形 PECE是菱形存在时，由直线 CD 解析式 y x+3，可得 OD4，OC3，由勾股定理得 CD5过点 E 作 EM x 轴，

39、交 y 轴于点 M，易得CEM CDO， ，即 ，解得 CE |m|，PECE |m|，又由（2）可知：PE|m 2+ m+2| m2+ m+2| |m|若 m2+ m+2 m，整理得：2m 27m 40，解得 m4 或 m ；若 m2+ m+2 m，整理得：m 26m 20，解得m13+ ，m 23 由题意，m 的取值范围为： 1m 5，故 m3+ 这个解舍去当四边形 PECE是菱形这一条件不存在时，此时 P 点横坐标为 0，E，C，E三点重合与 y 轴上，也符合题意，P（0，5）综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P 坐标为（0，5），（ ， ），（4，5），（3 ，2 3）方法二：

40、（1）略（2）略（3）若 E（不与 C 重合时）关于直线 PC 的对称点 E在 y 轴上，则直线 CD 与直线CE关于 PC 轴对称点 D 关于直线 PC 的对称点 D也在 y 轴上，DDCP，y x+3，D（4，0），CD5，OC3，OD8 或 OD2，当 OD8 时，D（0，8），设 P（t ，t 2+4t+5），D（4，0），C（0，3），PCDD，K PCKDD 1， ，2t 27t40，t 14，t2 ，当 OD2 时，D（0，2），设 P（t，t 2+4t+5），PCDD，K PCKDD 1， 1，t 13+ ，t23 ，点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，1t5，点 P 的坐标为（ ， ），（4，5），（3 ，2 3）若点 E 与 C 重合时，P（0，5）也符合题意综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P 坐标为（0，5），（ ， ），（4，5），（3 ，2 3）【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算