2019年山东省青岛市即墨市七级中学中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2019 年山东省青岛市即墨市七级中学中考数学二模试卷一选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1若数 a，b 在数轴上的位置如图示，则（ ）Aa+ b0 Bab0 Cab0 Dab02下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D312 月 2 日，2018 年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6 万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把 2.6 万用科学记数法表示为（ ）A0.2610 3 B2.610 3 C0.2610 4 D2.610 44如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击 10 次成绩的折线图和表

2、示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：s 甲 2s 乙 2，s 丙 2s 丁 2，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁5下列各运算中，正确的是（ ）A3x+2x4x 2 B（3x 3） 29x 6Cx 6x2x 3 D（x+1）（x +2）x 2+26如图，AB 是O 的直径，C，D 为O 上的点， ，如果CAB 40，那么CAD 的度数为（ ）A25 B50 C40 D807若 0m2，则关于 x 的一元二次方程（x+m ）（x+3m）3mx+37 根的情况是（ ）A无实数根B有两个正根C有两个根，且都大于3mD有两个根，其中一根大

3、于 m8如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12，BEEC，将正方形边 CD 沿 DE 折叠到 DF，延长 EF交 AB 于 G，连接 DG，现在有如下 4 个结论： ADGFDG； GB2AG； GDB45； SBEF 在以上 4 个结论中，正确的有（ ）A1 B2 C3 D4二填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）9计算 10如图，转动的转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是 11如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），B（4，2），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是 12某内陆国家为了落实国家“一带一路”战略，促

4、进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 420km 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了 2h求汽车原来的平均速度设汽车原来的平均速度为 xkm/h，则可列方程为 13如图，菱形 ABCD 的周长为 12cm，BC 的垂直平分线 EF 经过点 A，则对角线 BD 的长是 cm14如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 三解答题（共 1 小题，满分 4 分）15如图，ABC 中，AC8，BC 10，ACAB（1）用尺规作图法在ABC 内求作一点 D，使点 D 到两点 A、C 的距离相

5、等，又到边 AC、BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若ACD 的周长为 18，求BCD 的面积四解答题（共 9 小题，满分 74 分）16（8 分）（1）解不等式组：（2）化简：（ 2） 17（6 分）如图所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45降为30，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上若滑滑板的正前方能有3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由（参考数据： 1.414 ， 1.732， 2.449）18（6 分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上

6、面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为 6 的概率（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由19（6 分）在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区区域 A 或区域 B为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海 20 天，在区域 A、B 两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程

7、如下，请补充完整（单位：头）【收集数据】连续 20 天观察中华白海豚每天在区域 A、区域 B 出现的数量情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：【整理、描述数据】（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：海豚数 x 0x7 8x14 15x21 22x28 29x35区域 A 9 5 3 区域 B 6 5 3 3 1（2）两组数据的平均数、中位数，众数如下表所示观测点 平均数 中位数 众数区域 A 10.65 a b区域 B 13.15 13 16请填空：上表中，中位数 a ，众数 b （3）规划者们选择了区域 A 为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估

8、计在接下来的 200 天施期内，区域 A 大约有多少天中华白海豚出现的数目在 22x35 的范围内？20（8 分）如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y 的图象交于 A（1，4），B（4，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当 x0 时，kx+b 的解集（3）点 P 是 x 轴上的一动点，试确定点 P 并求出它的坐标，使 PA+PB 最小21（8 分）如图，在ABCD，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 的延长线于点 E，连接 BD、EC（1）求证：四边形 BECD 是平行四边形；（2）若BOD100，则当 A 时，四边形 BECD 是矩形2

9、2（10 分）某店只销售某种进价为 40 元/kg 的产品，已知该店按 60 元 kg 出售时，每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低 1 元，则每天的销售量可增加 10kg（1）若单价降低 2 元，则每天的销售量是 千克，每天的利润为 元；若单价降低x 元，则每天的销售量是 千克，每天的利润为 元；（用含 x 的代数式表示）（2）若该店销售这种产品计划每天获利 2240 元，单价应降价多少元？（3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？23（10 分）问题发现（1）如图 ， RtABC 中， C90，AC 3，BC 4，点 D 是 AB 边上任意一点，则

10、CD 的最小值为 （2）如图 ，矩形 ABCD 中，AB3，BC 4，点 M、点 N 分别在 BD、BC 上，求 CM+MN 的最小值（3）如图 ，矩形 ABCD 中，AB3，BC 4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是 BC边上的任意一点，把BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG、CG，四边形 AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时 BF 的长度若不存在，请说明理由24（12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且PA PE，PE 交 CD 于 F（1）证明：PCPE；（2）

11、求CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由2019 年山东省青岛市即墨市七级中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1【分析】根据数轴上点的位置判断即可【解答】解：根据题意得：a10b1，则 a+b0，ab0，ab0，ab0，故选：D【点评】此题考查了数轴，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键2【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图

12、形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3【分析】根据科学记数法表示较大的数的方法解答【解答】解：2.6 万用科学记数法表示为：2.610 4，故选：D【点评】本题考查的是科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n

13、 的值4【分析】利用平均数和方差的意义进行判断【解答】解：由折线统计图知甲、丙的平均成绩高于乙、丁，由甲成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙成绩相对于平均成绩的波动幅度，这四人中甲的平均成绩好又发挥稳定，故选：A【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好5【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做

14、出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断【解答】解：A、原式5x ，错误；B、原式9x 6，正确；C、原式x 4，错误；D、原式x 2+3x+2，错误，故选：B【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键6【分析】先求出ABC50，进而判断出ABDCBD25，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论【解答】解：如图，连接 BC，BD，AB 为O 的直径，ACB90，CAB40，ABC50， ，ABDCBD ABC25，CADCBD25故选：A【点评】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线7【分析】

15、先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到37（m 24），然后根据 m 的范围得到0，从而根据判别式的意义可得到正确选项【解答】解：方程整理为 x2+7mx+3m2+370，49m 24（3m 2+37）37（m 24），0m2，m 240，0，方程没有实数根故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了判别式的意义8【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得 ADDF，AGFD90，于是根据“HL”判定 RtADG RtFDG，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即

16、可得到GDE GDF+ EDF ADC；再由 GF+GBGA+GB12，EBEF，BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出 AG4，BG 8，进而求出BEF 的面积【解答】解：由折叠可知，DFDCDA ，DFEC90，DFG A90，RtADGRtFDG（HL），故 正确；ADG FDG，由折叠可得，CDEFDE，GDE GDF+ EDF ADC45，故正确；正方形边长是 12，BEECEF6，设 AGFG x，则 EGx +6，BG12x，由勾股定理得：EG 2BE 2+BG2，即：（x+6） 26 2+（12x） 2，解得：x4AGGF 4，BG 8，BG 2AG，故正确；SGBE

17、6824，S BEF SGBE 24 ，故正确；故选：D【点评】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）9【分析】先化简各二次根式，再计算可得【解答】解：原式 1，故答案为：1【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算顺序及其法则10【分析】用白色区域的圆心角比周角即可得到针指向白色区域的概率【解答】解：转动的转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是 ，故答案为：

18、【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率计算方法是长度比，面积比，体积比等11【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k ，把 A 点的横纵坐标分别乘以 或 即可得到点 A的坐标【解答】解：以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把 ABO 缩小，点 A 的对应点 A的坐标是（2 ，4 ）或 2（ ），4（ ），即点 A的坐标为：（1，2）或（1，2）故答案为：（1，2）或（1，2）【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k

19、 或k 12【分析】设汽车原来的平均速度为 xkm/h，则公路升级后汽车的平均速度为（ 1+50%）xkm/h，根据时间路程速度结合提速后行驶时间缩短了 2h，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解【解答】解：设汽车原来的平均速度为 xkm/h，则公路升级后汽车的平均速度为（ 1+50%）xkm/h，依题意，得： +2故答案为： +2【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键13【分析】首先连接 AC，由 BC 的垂直平分线 EF 经过点 A，根据线段垂直平分线的性质，可得AC 的长，由菱形的性质，可求得 ACAB3，然后由勾股定理，求得 OB 的长

20、，继而求得答案【解答】解：连接 AC，菱形 ABCD 的周长为 12cm，AB3，AC BD，BC 的垂直平分线 EF 经过点 A，ACAB3，OA AC ，OB ，BD2OB 3 cm故答案为：3 【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用14【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为 cm，底面半径为 1cm，故

21、表面积rl+ r21 3+124cm 2，故答案为：4cm 2，【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体三解答题（共 1 小题，满分 4 分，每小题 4 分）15【分析】（1）作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 M，作ACB 的平分线 CK，交 MN 于点D，点 D 即为所求（2）作 DFBC 于 F，连接 AD，BD 利用角平分线的性质定理求出 DF 即可解决问题【解答】解：（1）作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 M，作ACB 的平分线 CK，交 MN 于点 D，点 D 即为所求（2）作 DFBC 于 F，连接

22、AD，BD AC+CD +AD18，ACDA，AC 8，CD5，CE4，DE 3，CD 平分ACB，DEAC，DF CB，DFDE 3，S BCD BCDF 10315【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型四解答题（共 9 小题，满分 74 分）16【分析】（1）先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得【解答】解：（1）解不等式 1，得：x5，解不等式 2x+1614，得：x1，则不等式组的解集为1x5；（2）原式（ ） 【点评】本题主要考查分式的混合运算和解

23、一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤和分式混合运算顺序和运算法则17【分析】在 RtABC 中求出 AC，在 RtADC 中求出 CD，求出 BD 的长度后可得出剩余空地的长度，继而可作出判断【解答】解：在 RtABC 中，sin45 ，ACABsin45 m，在 RtABC 中，C90，ABC45，BCAC m，在 RtADC 中，tan30 ，CD m，BDCDBC （ ）2.58752.59m ，62.593.41（米）3 米，这样改造是可行的【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求同学们能利用三角函数求出表示出线段的长度，难度一般18【分析】（1）首先根据题意列

24、表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为 6 的情况，再利用概率公式求解即可；（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性【解答】解：（1）列表如下：2 3 42 2+24 2+35 2+463 3+25 3+36 3+474 4+26 4+37 4+48由表可知，总共有 9 种结果，其中和为 6 的有 3 种，则这两数和为 6 的概率 ；（2）这个游戏规则对双方不公平 理由：因为 P（和为奇数） ，P（和为偶数） ，而 ，所以这个游戏规则对双方是不公平的【点评】此题考查了列表法求概率注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况用到的知识点为：概率所求情况数与总情

25、况数之比19【分析】（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题目中的数据可以分别求得 a、b 的值；（3）根据表格中的数据可以求得区域 A 大约有多少天中华白海豚出现的数目在 22x35 的范围内【解答】解：（1）由收集数据中的数据可得，22x28 时，中华白海豚在区域 A 出现的数目为：2，29x35 时，中华白海豚在区域 A 出现的数目为：1，故答案为：2，1；（2）由收集数据中的数据可得，a ，b6，故答案为：8，6；（3）200 30（天），答：区域 A 大约有 30 天中华白海豚出现的数目在 22x35 的范围内【点评】本题考查用样本估计总体、算术平均数、中位数、众数，

26、解答本题的关键是明确题意，求出相应的中位数、众数20【分析】（1）将点 A（1，4）代入 y 可得 m 的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点 B 坐标，再由 A、B 两点的坐标可得一次函数的解析式；（2）根据图象得出不等式 kx+b 的解集即可；（3）作 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于 P，此时 PA+PBAB最小，根据 B的坐标求得 B的坐标，然后根据待定系数法求得直线 AB的解析式，进而求得与 x 轴的交点P 即可【解答】解：（1）把 A（1，4）代入 y ，得：m4，反比例函数的解析式为 y ；把 B（4，n）代入 y ，得：n1，B（4，1）

27、，把 A（1，4）、（4，1）代入 ykx+b，得： ，解得： ，一次函数的解析式为 yx+5；（2）根据图象得当 0x1 或 x4，一次函数 yx+5 的图象在反比例函数 y 的下方；当 x0 时，kx+b 的解集为 0x1 或 x4；（3）如图，作 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于 P，此时 PA+PBAB最小，B（4，1），B（4，1），设直线 AB的解析式为 ypx+ q， ，解得 ，直线 AB的解析式为 y x+ ，令 y0，得 x+ 0，解得 x ，点 P 的坐标为（ ，0）【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、轴对称最短路线

28、问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键21【分析】（1）由 AAS 证明BOECOD ，得出 OEOD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出BCDA50，由三角形的外角性质求出ODCBCD，得出 OCOD，证出 DEBC ，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC，AB CD ，OEBODC，又O 为 BC 的中点，BOCO，在BOE 和COD 中， ，BOECOD（AAS）；OEOD ，四边形 BECD 是平行四边形；（2）解：若BOD100，则当 A50时，四边形 BECD 是矩形理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，BCDA50

29、，BOD BCD +ODC，ODC1005050BCD，OCOD，BOCO，ODOE，DEBC，四边形 BECD 是平行四边形，四边形 BECD 是矩形；故答案是：50【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键22【分析】（1）利润售价进价，降低 1 元增加 10 件，可知降低 x 元增加 10x 件，列出算式即可；（2）根据上题列出方程，一件商品的利润乘以销售量得到总利润；（3）根据已知得出销量乘以每千克利润总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可【解答】解：（1）若单价降低 2 元，则每天的销

30、售量是 100+210120 千克，每天的利润为（60240）1202160 元；若单价降低 x 元，则每天的销售量是 100+10x 千克，每天的利润为（20x）（100+10x）元；故答案为：120、2160、100+10x、（20x）（100+10x）；（2）根据题意得：（6040x）（100+10x）2240，整理得：x 210x +240，解得：x 14，x 26答：每千克应降价 4 元或 6 元（3）该店每天的总利润 y 与降价 x 元的函数关系式为：y（60x40）（100+10 x）10x 2+100x+200010（x5） 2+2250，当 x5 时，y 最大，最大值为 22

31、50，答：当单价降低 5 元时，该店每天的利润最大，最大利润是 2250 元【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型23【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；（2）先根据轴对称确定出点 M 和 N 的位置，再利用面积求出 CF，进而求出 CE，最后用三角函数即可求出 CM+MN 的最小值；（3）先确定出 EGAC 时，四边形 AGCD 的面积最小，再用锐角三角函数求出点 G 到 AC 的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出 CF 即可求出 BF【解答】解：

32、（1）如图，过点 C 作 CDAB 于 D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD 最小，在 Rt ABC 中，AC3，BC4，根据勾股定理得，AB5， ACBC ABCD，CD ，故答案为 ；（2）如图 ，作出点 C 关于 BD 的对称点 E，过点 E 作 ENBC 于 N，交 BD 于 M，连接 CM，此时 CM+MNEN 最小；四边形 ABCD 是矩形，BCD90，CDAB3，根据勾股定理得，BD5，CEBC， BDCF BCCD，CF ，由对称得，CE2CF ，在 Rt BCF 中，cosBCF ，sinBCF ，在 Rt CEN 中， ENCEsinBCE ；即：CM+MN 的最小值

33、为 ；（3）如图 3，四边形 ABCD 是矩形，CDAB 3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5，AB3，AE2，点 F 在 BC 上的任何位置时，点 G 始终在 AC 的下方，设点 G 到 AC 的距离为 h，S 四边形 AGCDS ACD +SACG ADCD+ ACh 43+ 5h h+6，要四边形 AGCD 的面积最小，即： h 最小，点 G 是以点 E 为圆心，BE1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一部分点，EGAC 时，h 最小，由折叠知EGFABC 90，延长 EG 交 AC 于 H，则 EHAC ，在 Rt ABC 中，sinBAC ，在 Rt AEH 中，

34、AE 2，sinBAC ，EH AE ，hEHEG 1 ，S 四边形 AGCD 最小 h+6 +6 ，过点 F 作 FM AC 于 M，EHFG ，EHAC，四边形 FGHM 是矩形，FMGHFCMACB，CMF CBA 90，CMFCBA， ， ，CF1BFBCCF413【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题24【分析】（1）欲证明 PCPE ，只要证明ABPCBP 即可；（2）利用“8 字型”证明角相等即可解决问题；（3）首先证明ABPCBP （SAS ）推出 PAPC ， BAPBCP ，再

35、证明EPC 是等边三角形，可得 PCCE，即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，ABBC，ABP CBP45，在ABP 和CBP 中，ABP CBP（SAS），PAPC，PAPE，PCPE；（2）由（1）知，ABPCBP ，BAP BCP，DAPDCP，PAPE，DAPE，DCPE，CFPEFD（对顶角相等），180PFCPCF180DFEE ，即CPFEDF90；（3）在菱形 ABCD 中，AB BC，ABPCBP ，在ABP 和CBP 中，ABP CBP（SAS），PAPC， BAPBCP，DAPDCP，PAPE，PCPE，PAPE，DAP E， DCPE，CFPEFD，CPF EDFABCADC120，CPFEDF180ADC60，EPC 是等边三角形，PCCE，APCE；【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题