2019年四川省成都市中考数学冲刺试卷（二）含答案解析

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1、2019 年四川省成都市中考数学冲刺卷(二) 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.计算 53的结果是( )A 2 B2 C 8 D 82.数 5 的算术平方根为（ ）A B 25 C 25 D 3.将一个棱长为 1 的正方体水平放于桌面（始终保持正方体的一个面落在桌面上），则该正方体正视图面积的最大值为（ ）A2 B +1 C D14.A（3，a）与点 B（3，4）关于 y 轴对称，那么 a 的值为（ ）A 3 B3 C4 D45.下列计算正确的是（ ）Aa 3+a2=a5 B（3ab） 2=9a2b 2

2、 Ca 6ba2=a3b D（ab 3） 2=a2b66.方程 1= 的解集是（ ）A3 B3 C4 D47.小刚用一张半径为 24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为 10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）A 120cm 2 B 240cm 2 C 260cm 2 D 480cm 28.将抛物线 y=x2向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）Ay=（x+2） 2+1 By=（x+2） 21 Cy=（x2） 2+1 Dy=（x2） 219.已知一组数据：92，94，98，91，95

3、的中位数为 a，方差为 b，则 a+b=（ ）A98 B99 C100 D10210.如图，已知ABC 中，ABC=45，F 是高 AD 和 BE 的交点，CD=4，则线段 DF 的长度为（ ）A B4 C D二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）11.一个等腰三角形两边的长分别为 2cm，5cm，则它的周长为 cm12.某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数 n 10 20 40 50 100 200 500 1000击中靶心的频数 m 9 19 37 45 89 181 449 901击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.

4、890 0.905 0.898 0.901该射手击中靶心的概率的估计值是 （精确到 0.01）13.如图，直线 abc，直线 l1，l 2与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F若AB：BC=1：2，DE=3，则 EF 的长为 14.如图所示，已知AOB=40，现按照以下步骤作图：在 OA，OB 上分别截取线段 OD，OE，使 OD=OE；分别以 D，E 为圆心，以大于 DE 的长为半径画弧，在AOB 内两弧交于点 C；作射线 OC则AOC 的大小为 三、 解答题（本大题共 6 小题，共 54 分）15.（1）计算：（2 2） 0+|2 |+（1） 2017 （2）化简求值（a+

5、 ）（a+ ），其中 a 316.已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长17.某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：(1)补全条形统计图；(2)求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数；(3)若该中学有 2000 名学生，请估计其中有多少名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业？18.如图 ，一艘核潜艇在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30

6、正前方的海底 C 点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行 1464 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45求海底 C 点处距离海面 DF 的深度（结果精确到个位，参考数据： 1.414， 1.732， 2.236）23519.如图，在平面直角坐标系中有 RtABC，已知CAB=90，AB=AC，A（2，0），B（0，1）（1）求点 C 的坐标；（2）将ABC 沿 x 轴正方向平移，在第一象限内 B，C 两点的对应点 B，C恰好落在某反比例函数图象上，求该反比例函数的解析式；（3）若把上一问中的反比例函数记为 y1，点 B，C所在的直线记为 y2，请直接写出在第一象限内当 y1y 2时

7、x 的取值范围20.已知 中， , ,点 为 边上一点，且 , 为 边的中点，连接,设（1）当 时（如图），连接 ,则 的长为_；（2）设 ，求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；（3）取 的中点 ,连接 并延长交 的延长线于点 ,以 为圆心 为半径作 ,试问：当 的长改变时，点 与 的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由.B 卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）21.利用 1 个 aa 的正方形，1 个 bb 的正方形和 2 个 ab 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式_22.如图，AE 垂直平分 BC 于

8、 E，AB=5，BE=3，CD=12，AD=13,则四边形 ABCD 的面积是_23.已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2，A1B1C160，对角线 A1C1，B1D1 相交于点 O以点 O 为坐标原点，分别以 OA1，OB1 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系以 B1D1 为对角线作菱形 B1C2D1A2菱形 A1B1C1D1，再以 A2C2 为对角线作菱形A2B2C2D2菱形 B1C2D1A2，再以 B2B2 为对角线作菱形 B2C3D2A3菱形 A2B2C2D2，按此规律继续作下去，在 x 轴的正半轴上得到点 A1，A2，A3，An，则点 An 的坐标为_24.如图

9、 a 是长方形纸带，DEF=25，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c中的CFE 的度数是 25.如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别是 A（1，0），B（0，2），反比例函数 y=的图象经过顶点 C，AD 边交 y 轴于点 E，若四边形 BCDE 的面积等于ABE 面积的 5 倍，则 k 的值等于 二、解答题（3 小题，共 30 分）26.荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元（每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千

10、克多少元；（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低27.在 RtABC 中，ACB=90，AB= ，AC=2，过点 B 作直线 mAC，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到ABC（点 A，B 的对应点分别为 A，B），射线 CA，CB分別交直线 m于点 P，Q（1）如图 1，当 P 与 A重合时，求ACA的度数；（2）如图 2，设 AB与 BC 的交点为 M，当 M 为 AB的中点时，求线段 PQ 的长；（3）在旋转过程中，当点 P，Q 分别在 CA，CB的延长线上时，试探究四边形 PABQ的面积是否存在最小值若存在

11、，求出四边形 PABQ 的最小面积；若不存在，请说明理由28.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O，A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（1，0），以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作P 的正半轴交于点 C（1）求经过 AB、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式；（3）试说明直线 MC 与P 的位置关系，并证明你的结论BACCD BBCCB11.一个等腰三角形两边的长分别为 2cm，5cm，则它的周长为 cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系. 【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能

12、为 2cm，只能为 5cm，然后即可求得等腰三角形的周长解：等腰三角形的两条边长分别为 2cm，5cm，由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为 2，只能为 5，等腰三角形的周长=5+5+2=12cm故答案为：12【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题要求学生应熟练掌握12.某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数 n 10 20 40 50 100 200 500 1000击中靶心的频数 m 9 19 37 45 89 181 449 901击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890

13、 0.905 0.898 0.901该射手击中靶心的概率的估计值是 （精确到 0.01）【考点】利用频率估计概率【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率解：由击中靶心频率都在 0.90 上下波动，所以该射手击中靶心的概率的估计值是 0.90，故答案为：0.90【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题13.如图，直线 abc，直线 l1，l 2与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F若AB：BC=1：2，DE=3，则 EF 的长为 【考点】平行线分线段成比例【分析】由 abc，可得 = ，由此即可解决问题解：

14、abc， = ， = ，EF=6，故答案为 6【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型 14.如图所示，已知AOB=40，现按照以下步骤作图：在 OA，OB 上分别截取线段 OD，OE，使 OD=OE；分别以 D，E 为圆心，以大于 DE 的长为半径画弧，在AOB 内两弧交于点 C；作射线 OC则AOC 的大小为 【考点】作图基本作图【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论解：由作法可知，OC 是AOB 的平分线，AOC= AOB=20故答案为：20【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键四、 解答题（本

15、大题共 6 小题，共 54 分）15.（1）计算：（2 2） 0+|2 |+（1） 2017 （2）化简求值（a+ ）（a+ ），其中 a 3【考点】分式的混合运算和求值，零指数幂，二次根式【分析】（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可解：（1）原式1+ 212；（2）原式= = ，当 a= 3 时，原式= 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，零指数幂，二次根式等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练地运用法则进行化简是解（2）的关键，注意运算顺序16.已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0（1）

16、求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长【考点】根的判别式，勾股定理的应用【分析】（1）计算该方程的判别式，判断其符号即可；（2）把方程的根代入可求得 m 的值，再求解即可，再利用勾股定理可求得直角三角形的第三边，则可求得直角三角形的周长（1）证明：方程 x2（m+2）x+（2m1）0，（m+2） 24（2m1）m 2+4m+48m+4m 24m+4+4（m2） 2+40，方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：把 x1 代入方程可得 1（m+2）+2m10，解得 m2，方程为 x24x+30，解得 x1 或

17、 x3，方程的另一根为 x3，当边长为 1 和 3 的线段为直角三角形的直角边时，则斜边 ，此时直角三角形的周长4+ ，当边长为 3 的直角三角形斜边时，则另一直角边 2 ，此时直角三角形的周长4+2 ，综上可知直角三角形的周长为 4+ 或 4+2 【点评】本题主要考查根的判别式及勾股定理的应用，在利用根的判别式时，要熟练掌握根的个数与根的判别式的关系，在求直角三角形周长时注意分两种情况17.某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：(1)补全条形统计图；(2)求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数

18、；(3)若该中学有 2000 名学生，请估计其中有多少名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）根据 A类的人数是 10，所占的百分比是 25%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得 B 类的人数；（2）用 360乘以对应的比例即可求解；（3）用总人数乘以对应的百分比即可求解解：(1)1025%=40，B 的人数为 40-10-14-3-1=12.补全条形统计图如下：(2)1-25%-30%-35%-2.5%=7.5%，3607.5%=27.扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数为 27.(3)200035%=700，该中学有 2000

19、 名学生中有 700 名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业.【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18.如图 ，一艘核潜艇在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底 C 点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行 1464 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45求海底 C 点处距离海面 DF 的深度（结果精确到个位，参考数据： 1.414， 1.732， 2.236）235【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

20、【分析】首先作 CEAB 于 E，依题意，AB=1000，EAC=30，CBE=45，设 CD=x，则BE=x，进而利用正切函数的定义求出 x 即可解：作 CEAB 于 E，依题意，AB=1464，EAC=30，CBE=45，设 CE=x，则 BE=x，RtACE 中，tan30= = = ，CAE146x3整理得出：3x=1464 + x，3解得：x=732（ +1）2000 米，AD+CE=2000+600=2600即黑匣子 C 离海面约 2600 米【点评】此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题19.如图，

21、在平面直角坐标系中有 RtABC，已知CAB=90，AB=AC，A（2，0），B（0，1）（1）求点 C 的坐标；（2）将ABC 沿 x 轴正方向平移，在第一象限内 B，C 两点的对应点 B，C恰好落在某反比例函数图象上，求该反比例函数的解析式；（3）若把上一问中的反比例函数记为 y1，点 B，C所在的直线记为 y2，请直接写出在第一象限内当 y1y 2时 x 的取值范围【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）作 CNx 轴于点 N，根据 HL 证明 RtCANRtAOB，求出 NO 的长度，进而求出d；（2）设ABC 沿 x 轴的正方向平移 c 个单位，用 c 表示出 C和 B，根据两点都在

22、反比例函数图象上，求出 k 的值，进而求出 c 的值，即可求出反比例函数和直线 BC的解析式；（3）直接从图象上找出 y1y 2时，x 的取值范围解：（1）作 CNx 轴于点 N，A（2，0）B（0，1）OB=1，AO=2，在 RtCAN 和 RtAOB， ，RtCANRtAOB（HL），AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，又点 C 在第二象限，C（3，2）；（2）设ABC 沿 x 轴的正方向平移 c 个单位，则 C（3+c，2），则 B（c，1）又点 C和 B在该比例函数图象上，把点 C和 B的坐标分别代入 y1= ，得6+2c=c，解得 c=6，即反比例函数解析式为 y1

23、= ，（3）此时 C（3，2），B（6，1），设直线 BC的解析式 y2=mx+n， ， ，直线 CB的解析式为 y2= x+3；由图象可知反比例函数 y1和此时的直线 BC的交点为 C（3，2），B（6，1），若 y1y 2时，则 3x6【点评】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第（2）问关键求出 c 的值，此题难度不是很大 20.已知 中， , ,点 为 边上一点，且 , 为 边的中点，连接,设（1）当 时（如图），连接 ,则 的长为_；（2）设 ，求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；（3）取 的中点 ,连接 并延长

24、交 的延长线于点 ,以 为圆心 为半径作 ,试问：当 的长改变时，点 与 的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由.【考点】点与圆的位置关系, 列函数关系式, 三角形的面积, 线段垂直平分线【分析】（1）利用已知条件即可得到 DE 是线段 BC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得到 BD 的长；（2）分别表示出两个三角形的面积，利用它们的面积的比即可得到函数关系式；（3）由已知条件得出 AP=AM 之后即可得到点与圆的位置关系解：（1）如图所示，连接 ., 为 边的中点，；（2） 为 边的中点，即 ，.（3）点 在 上，理由如下：如图所示，取

25、中点 ,则 ；为 中点，为 中点，且 ，点 在 上.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系, 列函数关系式, 三角形的面积, 线段垂直平分线的性质等知识.综合运用所涉及的知识并作出相应的辅助线是解题的关键.B 卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）21.利用 1 个 aa 的正方形，1 个 bb 的正方形和 2 个 ab 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式_【考点】因式分解的应用【分析】根据提示可知 1 个 aa 的正方形，1 个 bb 的正方形和 2 个 ab 的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解解：两个正方形的面积分别为 a2， b2，两个长方形的

26、面积都为 ab，组成的正方形的边长为a b，面积为( a b)2，所以 a22 ab b2( a b)2【点睛】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系22.如图，AE 垂直平分 BC 于 E，AB=5，BE=3，CD=12，AD=13,则四边形 ABCD 的面积是_【考点】勾股定理，线段垂直平分线的性质【分析】连接 AC，根据已知条件可知该四边形由三个直角三角形组成，S 四边形 ABCDSABESAECS ACD.解：连接 AC，由题意知，AE 直平分 BC 于 E，AB5，BE3，AEB90，CD12，AD13；AE 4,又EC3,AE4，AEB90，

27、AC 5，又AC5，CD12，AD13；有勾股定理可知ACD 为直角三角形，其中ACD 为直角，S 四边形 ABCDSABESAECSACD， 34 34 512，42.故答案为：42.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.23.已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2，A1B1C160，对角线 A1C1，B1D1 相交于点 O以点 O 为坐标原点，分别以 OA1，OB1 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系以B1D1 为对角线作菱形 B1C2D1A2菱形 A1B1C1D1，再以 A2C2 为对角线作菱形 A2B2C2D2菱形B1C2

28、D1A2，再以 B2B2 为对角线作菱形 B2C3D2A3菱形 A2B2C2D2，按此规律继续作下去，在 x 轴的正半轴上得到点 A1，A2，A3，An，则点 An 的坐标为_【考点】菱形的性质；相似多边形的性质；坐标与图形的性质【分析】由题意，点 A1 的坐标为（1，0），点 A2 的坐标为（3，0），即（3 21，0）点 A3 的坐标为（9，0），即（3 31，0）点 A4 的坐标为（27，0），即（3 41，0）点 An 的坐标为（3 n1，0）解：菱形 A1B1C1D1 的边长为 2，A1B1C1=60，OA1=A1B1sin30=2 =1，OB1=A1B1cos30=2 = ，A1（

29、1，0）B1C2D1A2菱形 A1B1C1D1，OA2= = =3，A2（3，0）同理可得 A3（9，0）An（3n1，0）故答案为：（3n1，0）【点评】 本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键24.如图 a 是长方形纸带，DEF=25，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的CFE 的度数是 【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则BFE=DEF=25，根据平角定义，则EFC=155（图 a），进一步求得BFC=15525=130（图 b），进而求得CFE=13025=105（图 c）解：ADBC，

30、DEF=25，BFE=DEF=25，EFC=155（图 a），BFC=15525=130（图 b），CFE=13025=105（图 c）故答案为：105【点评】此题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质和平角定义25.如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别是 A（1，0），B（0，2），反比例函数 y= 的图象经过顶点 C，AD 边交 y 轴于点 E，若四边形 BCDE 的面积等于ABE 面积的 5 倍，则 k 的值等于 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】首先得出AEBGBE，再利用四边形 BCDE 的面积等于ABE 面积的 5 倍，进而得出AE 与 BC

31、 之间的关系，由BCFEAO，得出 C 点坐标，进而求出 k 的值解：如图，作 CFy 轴于 F，作 EGBC 于 G，EGB=EAB=ABG=90，四边形 ABGE 是矩形，在AEB 和GBE 中，AEBGBE（SSS），AB 的坐标分别是 A（1，0）、B（0，2），AB 直线解析式为：y=kx+b，故将两点代入得出： ，解得： ，故直线 AB 解析式为：y=2x2，ADAB，AOBE，OA 2=OEOB，即 12=OE2，OE= ，E（0， ）S 四边形 BCDE=5SAEBS 四边形 BCDE=5SGBES 四边形 CDEG=4SGBECG=2BG=2AE=2 = ，BG= ，AEO=

32、CBF，EOA=CFB=90，BCFEAO， = = ，AE=BG= ，BC=BG+CG= + = = = =3，BF=3EO= ，CF=3AO=3，OF=OBBF=2 = ，设 C 的坐标为（x，y）则 x=3，y= 故 k=xy=3（ ）= 故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标是解题关键二、解答题（3 小题，共 30 分）26.荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元（每次两种荔枝的售价都不变

33、）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低【考点】一次函数的应用，二元一次方程组的应【分析】（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据单价和费用关系列出方程组，解方程组即可；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得出12t2t，得出 t4，由题意得出 W=5t+240，由一次函数的性质得出 W 随 t 的增大而减小，得出当 t=4 时，W 的最小值=220（元），求出 124=8 即可解：（1）设桂

34、味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据题意得： ，解得： ；答：桂味的售价为每千克 15 元，糯米糍的售价为每千克 20 元；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得：12t2t，t4，W=15t+20（12t）=5t+240，k=50，W 随 t 的增大而减小，当 t=4 时，W 的最小值=220（元），此时 124=8；答：购买桂味 4 千克，糯米糍 8 千克时，所需总费用最低【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关键27.在 RtABC 中，ACB=90，

35、AB= ，AC=2，过点 B 作直线 mAC，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到ABC（点 A，B 的对应点分别为 A，B），射线 CA，CB分別交直线 m 于点P，Q（1）如图 1，当 P 与 A重合时，求ACA的度数；（2）如图 2，设 AB与 BC 的交点为 M，当 M 为 AB的中点时，求线段 PQ 的长；（3）在旋转过程中，当点 P，Q 分别在 CA，CB的延长线上时，试探究四边形 PABQ 的面积是否存在最小值若存在，求出四边形 PABQ 的最小面积；若不存在，请说明理由【考点】四边形综合题【分析】（1）由旋转可得：AC=AC=2，进而得到 BC= ，依据ABC=90，可得 cos

36、ACB= ，即可得到ACB=30，ACA=60；（2）根据 M 为 AB的中点，即可得出A=ACM，进而得到 PB= BC= ，依据tanQ=tanA= ，即可得到 BQ=BC =2，进而得出 PQ=PB+BQ= ；（3）依据 S 四边形 PABQ =SPCQ S ACB =SPCQ ，即可得到 S 四边形 PABQ 最小，即 SPCQ 最小，而 SPCQ = PQBC= PQ，利用几何法或代数法即可得到 SPCQ 的最小值=3，S 四边形 PABQ =3解：（1）由旋转可得：AC=AC=2，ACB=90，AB= ，AC=2，BC= ，ACB=90，mAC，ABC=90，cosACB= = ，

37、ACB=30，ACA=60；（2）M 为 AB的中点，ACM=MAC，由旋转可得，MAC=A，A=ACM，tanPCB=tanA= ，PB= BC= ，BQC=BCP=A，tanBQC=tanA= ，BQ=BC =2，PQ=PB+BQ= ；（3）S 四边形 PABQ =SPCQ S ACB =SPCQ ，S 四边形 PABQ 最小，即 SPCQ 最小，S PCQ = PQBC= PQ，法一：（几何法）取 PQ 的中点 G，PCQ=90，CG= PQ，即 PQ=2CG，当 CG 最小时，PQ 最小，CGPQ，即 CG 与 CB 重合时，CG 最小，CG min= ，PQ min=2 ，S PCQ

38、 的最小值=3，S 四边形 PABQ =3 ；法二（代数法）设 PB=x，BQ=y，由射影定理得：xy=3，当 PQ 最小时，x+y 最小，（x+y） 2=x2+2xy+y2=x2+6+y22xy+6=12，当 x=y= 时，“=”成立，PQ= + =2 ，S PCQ 的最小值=3，S 四边形 PABQ =3 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等28.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O，A 点坐标为（4，0），B 点

39、坐标为（1，0），以AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作P 的正半轴交于点 C（1）求经过 AB、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式；（3）试说明直线 MC 与P 的位置关系，并证明你的结论【考点】二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定 【分析】（1）求出半径，根据勾股定理求出 C 的坐标，设经过 AB、C 三点抛物线解析式是y=a（x4）（x+1），把 C（0，2）代入求出 a 即可；（2）求出 M 的坐标，设直线

40、 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，把 C（0，2），M（ ， ）代入得到方程组，求出方程组的解即可；（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出 PC、DC、PD 的平方，根据勾股定理的逆定理得出PCD=90，即可求出答案解：（1）连接 PC，A（4，0），B（1，0），AB=5，半径 PC=PB=PA= ，OP= 1= ，在CPO 中，由勾股定理得：OC= =2，C（0，2），设经过 AB、C 三点抛物线解析式是 y=a（x4）（x+1），把 C（0，2）代入得：2=a（04）（0+1），a= ，y= （x4）（x+1）= x2+ x+2，答：经过 AB、C 三点抛物线解析式是 y= x2+

41、x+2（2）y= x2+ x+2= + ，M（ ， ），设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，把 C（0，2），M（ ， ）代入得： ，解得： ，y= x+2，答：直线 MC 对应函数表达式是 y= x+2（3）MC 与P 的位置关系是相切证明：设直线 MC 交 x 轴于 D，当 y=0 时，0= x+2，x= ，OD= ，D（ ，0），在COD 中，由勾股定理得：CD 2=22+ = = ，PC2= = = ，PD2= = ，CD 2+PC2=PD2，PCD=90，PCDC，PC 为半径，MC 与P 的位置关系是相切【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元 一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键