北京市海淀区2019届高三第三次模拟考试数学理科试题（含答案）

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1、2:30lxaya1l210.已知函数 是偶函数，则()()ft t11.著名的“ 猜想” 是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n猜想，则输出的 n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛， A， B， C， D， E五个团队获得了前五名发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次： A团队说： C第一， B第二；B团队说： 第三， D第四；团队说： E第四， 第五；D团队说： 第三， C第五；E团队说： A第一， E第四如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是_团队13.已知平面内两个定点 和点 ， 是动点，且直线 , 的斜率乘积为常

2、数(3,0)M(3,0)NPPMN，设点 的轨迹为 .(0)aPC存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；(0)a(4,)存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；0,不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值；(0)aC(4,)不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值.0,其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形 中， ， 若 （ ），ABCD902DCAB=DxBAyCxyR，则 的值为_xy三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15（本小题满分 13 分）已知

3、 的内角 的对边分别为 ，满足 ABCBC， ， abc， ， sin1bCacAB（1）求角 的值；（2）若 ，求 的值=32ab， sin(2+)BA16.（本小题满分 13 分）如图，已知正三棱柱 ， ， 、 分别为 、 的中点，点 为线段1ABC12AEFBC1D上一点， AB3D（1）求证： 平面 ；1AC DEF（2）若 ，求二面角 的余弦值1B17（本小题满分 13 分）某工厂生产 A、 B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于 80cm的为正品，小于80cm的为次品 现随机抽取这两种零件各 100 个进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70,575,8080,585,

4、9090,5A零件 8 12 40 30 10B零件 9 16 40 28 7（1）试分别估计 A、 两种零件为正品的概率；（2）生产 1 个零件 ，若是正品则盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元；生产 1 个零件 ，若是正品则盈利 60 元，若是次品则亏损 15 元，在（1）的条件下：（i）设 X为生产 1 个零件 A和一个零件 B所得的总利润，求 X的分布列和数学期望；（ii）求生产 5 个零件 B所得利润不少于 160 元的概率18.（本小题满分 13 分）已知函数 ， 24lnxafxR（1）当 ，函数 图象上是否存在 3 条互相平行的切线，并说明理由？1ayf（2）讨论函数 的零

5、点个数fx19.（本小题满分 14 分）如图，设椭圆 C1： + =1（ab0），长轴的右端点与抛物线 C2：y 2=8x 的焦点 F 重合，且2222椭圆 C1 的离心率是 32（1）求椭圆 C1 的标准方程；（2）过 F 作直线 l 交抛物线 C2 于 A，B 两点，过 F 且与直线 l 垂直的直线交椭圆 C1 于另一点C，求 ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线 l 的方程20.（本小题满分 14 分）对于给定的奇数 ，设 是由 个数组成的 行 列的数表，数表中第 行，,(3)mAmmi第 列的数 ，记 为 的第 行所有数之和， 为 的第 列所有数之和，其中j01ijacii()r

6、jAj.,12,i对于 ，若 且 同时成立，则称数对,.ijm()2ijmacj (,)ij为数表 的一个“ 好位置”A(1)直接写出右面所给的 数表 的所有的“好位置” ；3A(2)当 时，若对任意的 都有 成立，求数表5m15i()3ci中的“好位置 ”个数的最小值；A(3)求证：数表 中的“ 好位置”个数的最小值为 A2m北京市清华大学附属中学 2019 届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题参考答案及评分标准一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C B D D A C二填空题9.     10.     11.  6

7、     12.     13.     14.1,20,1 1三解答题15（本小题满分 13 分）解：（1） ，sin1bCacAB由正弦定理得，    .2 分cab化简得，     .3 分22bc由余弦定理得， .5 分221osbcaA又 ，0A      .6 分3=（2）由（）知， ， 3A=又 ， ，3a=2b    .8 分sin6iAB又 ，ba      .9 分 23cos1inB= ， &n

8、bsp; .10 分2sin2icos3B    .11 分21co1i   .13 分   23sin()sin()sin2cosin336BAB16. （本小题满分 13 分）（1）证明：连结 交于 于点 ，1BCEFH、 为 、 的中点， ， ，EF114BDA1CH面 ， 面 DH1AC EF（2）矩形 中，连结 、 ，1B11连结 ， ，面 面 ， ， ，AEC1BAC1EBC面 AEF， 面 ， ，1CF1AE1F中， ，1ERt 221C， ， ，2211FCB22184B2214EFBC，4以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立

9、空间直角坐标系， ，BAxBCy1Bz 0,2F， ， ， ，1,0D,30E1,02DF0,3DE平面 的一个法向量 ， ，即 ，F1,xyzn10Fn203xzy取 ，则 ，2x12,0平面 的一个法向量 ，ADE2,1n， 的余弦值为 12,3cosnFDEB317（本小题满分 13 分）（1）指标大于或等于 80cm的为正品，且 A、 B两种零件为正品的频数分别为 80 和 75， A、 B两种零件为正品的概率估计值分别为 80415P， 753104PB（2） （i）由题意知 X可能取值为 25，35，50， 110，15420PX， 413P，30， 053X X的分布列为 X25

10、35 50 110P101532035 X的数学期望为 325379.20EX（ii）生产 1 个零件 B是正品的概率为 4PB，生产 5 个零件 所产生的正品数 Y服从二项分布，即 35,4YB，生产 5 个零件 B所得利润不少于 160 元，则其正品数大于或等于 4 件，生产 5 个零件 所得利润不少于 160 元的概率为415533814C2PY18. （本小题满分 13 分）（1） ， ， ，21lnxfx21xf2411xxf则函数 在 单调递减， 上单调递增， 上单调递减，fx0,11,2525, ， ， ， ， ，129ff940fx0fx存在切线斜率 ，0,.k使得 ， ， ，

11、 ，123fxffxk10,21,4x3,x函数 图象上是存在 3 条互相平行的切线yf（2） ，242xaxf当 ，有 ； ，0a210fa442e0af在 上单调递增；函数 存在唯一一个零点在 内；fx,fx41,e当 ，有 ， ； ，1a0210af442e0af在 上单调递增；函数 存在唯一一个零点在 内；fx,fx41,e当 ，有 ，01a22142600axa 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，fx10, 12,x2,x，22244e 0eaaf a，221lnlnf ， ， ，10f442e0af24e1ea函数 一个零点在区间 内，一个零点在区间 内，一个零点在

12、内fx2e,a21,a41,e函数 有三个不同零点fx综上所述：当 函数 一个零点；当 函数 三个零点,01,afx0,1afx19（本小题满分 14 分）解：（1）椭圆 C1： + =1（ab0），长轴的右端点与抛物线 C2：y 2=8x 的焦点 F 重合，2222a=2，又椭圆 C1 的离心率是 c= ， b=1，椭圆 C1 的标准方程： 32 3 24+2=1（2）过点 F（2，0）的直线 l 的方程设为：x= my+2，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）联立 得 y2-8my-16=0=+22=8y1+y2=8m，y 1y2=-16， |AB|= =8（1+m 2） 1+2

13、(1+2)2412过 F 且与直线 l 垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立  得（1+4m 2）x 2-16m2x+16m2-4=0，=(2)24+2=1xC+2= ， xC= 1621+42 2(421)42+1|CF|= 1+2|= 442+1 1+2ABC 面积 s= |AB|CF|= 12 16(1+2)42+1 1+2令 ，则 s=f（t）= ，f（t）= ，1+2=(1)163423 16(4492)(423)2令 f（t）=0 ，则 t2= ，即 1+m2= 时， ABC 面积最小94 94即当 m= 时， ABC 面积的最小值为 9，此时直线 l 的方程为：x=

14、y+252 5220. （本小题满分 14 分）解：（1）“好位置 ”有： (1,2)3,(),1（2）因为对于任意的 ， ；,45i3ci所以当 时， ，,1ija|()|2i当 时， ；,0ij, 5|5|()ijaci因此若 为“ 好位置” ，(,)ij则必有 ，且 ，即,1ija5()2rj()3rj设数表中共有 个 ，其中有 列中含 的个数不少于 ，n1t13则有 列中含 的个数不多于 ，5t2所以 ， ，2()15ttn3t因为 为自然数，所以 的最小值为tt2因此该数表中值为 ，且相应位置不为“好位置” 的数个数最多不超过1 326所以，该数表好位置的个数不少于 个 1569而下

15、面的 数表显然符合题意5此数表的“好位置 ”的个数恰好为 9综上所述，该数表的“ 好位置 ”的个数的最小值为 9（3） 当 为“ 好位置”时，且 时，(,)ij ,1ija则有 ，所以 ，|(|2mci()2ci注意到 为奇数， ，所以有m*)iN1i1 1 1 0 01 1 1 0 01 1 0 1 01 1 0 0 11 0 0 1 1同理得到 1()2mrj当 为“好位置 ”，且 时，,ij,0ija则 ，则必有 ，|()|2ci()2mci注意到 为奇数， ，所以有m*iN1i同理得到 1()2rj因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置” 的个数，所以不妨设 11(),0,()

16、,22mmciipcipi(),(),rjjqrjqj其中 ，0,pm,N则数表 可以分成如下四个子表A132A4其中 是 行 列， 是 行 列， 是 行 列， 是 行 列1pq3pmq2Apq4Ampq设 ， ， ， 中 的个数分别为1A234A1234,x则 ， ， ， 中 的个数分别为1234012,(),pqpx34(),()mqpmqx则数表 中好位置的个数为 个A14()xmpqx而 ，132mxp341()2所以 1411()22mxpq所以 1414 11()()()22mxmpqq而 ()()22mpqq2 11()p21mpq221()()24m21()()pq显然当 取得最小值时，上式取得最小值，1()()2因为 ，所以0,pqm2 21111()()()(0)2424mmmq2 2()()()()p当 时，数表 中至少含有 个 ，pmA12m而 ，所以 至少为()q2此时211()()24mpq2()()m当 时，数表 中至少含有 个1pmA1()2而 ，所以 至少为1()2mq1此时2()()4pq211()()24mm 2下面的数表满足条件，其“好位置” 的个数为