2019年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2 分）PM2.5 是大气压中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为（ ）A0.2510 5 B0.2510 6 C2.510 6 D2.510 52（2 分）下列计算正确的是（ ）Aaa 2a 3 Ba+aa 2C（a 2） 3a 5 Da 2（a+1）a 3+13（2 分）数轴上点 A、B 表示的数分别是 a、3，它们之间的距离可

2、以表示为（ ）Aa+3 Ba3 C|a+3| D|a3|4（2 分）下列水平放置的四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5（2 分）一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，汽车从A 地到 B 地一共行驶了 2.2h设普通公路长、高速公路长分别为 xkm、ykm，则可列方程组为（ ）A BC D6（2 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接 CF，DG ，则 （ ）A B C D二、填空题（本大题共 10

3、小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7（2 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 8（2 分）方程 0 的解为 9（2 分）分解因式：2x 28x+8 10（2 分）若一个反比例函数的图象经过点（3，2），则该反比例函数图象也经过点（1， ）11（2 分）如图，在ABC 中，点 M、N 分别在边 AB、AC 上，且 MNBC 若AM2，BM5，MN2，则 BC 12（2 分）设 x1，x 2 是一元二次方程 x26x+m 0 的两个根，且 x1+x2x 1x21，则m 13（2 分）如图，在O 中，OA 是半径，弦 BCO

4、A，D 为 上一点，连接OB、AD、CD ，若OBC 50，则ADC 14（2 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r2cm ，扇形的圆心角 120，则该圆锥的母线长 l 为 cm 15（2 分）如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，连接 AG、HE 交于点 M，则GME 16（2 分）在ABC 中，ABAC 5，BC 6，P、Q 分别为边 BC、AB 上的两个点，若APQ 是等腰三角形且 BPQ 是直角三角形，则 AQ 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8 分）（

5、1）计算：（3.14） 0+ 1 （2）解不等式组：18（6 分）先化简，再求值： ，其中 x 119（9 分）甲乙两人在相同条件下完成了 10 次射击训练，两人的成绩如图所示根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环 中位数/环 方差/环 2甲 7 1.2乙 7 （1）完成表格；（2）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好？为什么？20（7 分）一只不透明的袋子中装有分别标注数字为 1、2、3 的三个小球，这些球除标注的数字外都相同（1）搅匀后从中任意摸出一个球，标注的数字恰好为 2 的概率是 ；（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再从袋中任意摸出一个球，求两次

6、数字的和大于 3 的概率21（8 分）如图，在ABCD 中，E、F 为边 BC 上两点，BFCE，AEDF（1）求证：ABEDCF；（2）求证：四边形 ABCD 是矩形22（8 分）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿这条公路匀速相向而行，快车到达乙地后停止行驶，慢车到达甲地后停止行驶已知快车速度为 120km/h下图为两车之间的距离 y（km）与慢车行驶时间 x（h）的部分函数图象（1）甲、乙两地之间的距离是 km；（2）点 P 的坐标为（4， ），解释点 P 的实际意义（3）根据题意，补全函数图象（标明必要的数据）23（7 分）如图，为了测量建筑物 CD

7、的高度，小明在点 E 处分别测出建筑物 AB、CD顶端的仰角AEB30，CED45，在点 F 处分别测出建筑物 AB、CD 顶端的仰角AFB45，CFD70已知建筑物 AB 的高度为 14m，求建筑物 CD 的高度（精确到 0.1m）（参考数据： tan702.75， 1.41， 1.73）24（8 分）已知二次函数 yx 22mx+2m1（m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点（2）求证：不论 m 为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数 y（x1） 2 的图象上（3）已知点 A（a，1）、B（a+2，1），线段 AB 与函数 y（x1） 2 的图象有公

8、共点，则 a 的取值范围是 25（9 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交边 AC 于点 D（点 D 不与点 A 重合），交边 BC 于点 E，过点 E 作 EFAC ，垂足为 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 AD7，BE 2求O 的半径；连接 OC 交 EF 于点 M，则 OM 26（9 分）某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了 100件设该商品线下的销售量为 x（10x90）件，线下销售的每件利润为 y1 元，线上销售的每件利润为 y2 元下图中折线 ABC、线段 DE 分别表示 y1、y 2 与 x 之间的函数关系（1）当 x4

9、0 时，线上的销售量为 件；（2）求线段 BC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式；（3）当线下的销售量为多少时，售完这 100 件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？27（9 分）如图，一张半径为 3cm 的圆形纸片，点 O 为圆心，将该圆形纸片沿直线 l 折叠，直线 l 交O 于 A、B 两点（1）若折叠后的圆弧恰好经过点 O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段 AB 的长度（2）已知 M 是O 内一点， OM1cm若折叠后的圆弧经过点 M，则线段 AB 长度的取值范围是 若折叠后的圆弧与直线 OM 相切于点 M，则线段 AB 的

10、长度为 cm2019 年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2 分）PM2.5 是大气压中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为（ ）A0.2510 5 B0.2510 6 C2.510 6 D2.510 5【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零

11、的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.00000252.510 6 ，故选：C【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定2（2 分）下列计算正确的是（ ）Aaa 2a 3 Ba+aa 2C（a 2） 3a 5 Da 2（a+1）a 3+1【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识求解即可求得答案【解答】解：A、aa 2a 3，故 A 选项正确；B、a+ a2a，故 B 选项错误；C、（a 2） 3a 6，故 C 选项错误；D、a 2（a+1） a3

12、+a2，故 D 选项错误故选：A【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识，解题的关键是熟记法则3（2 分）数轴上点 A、B 表示的数分别是 a、3，它们之间的距离可以表示为（ ）Aa+3 Ba3 C|a+3| D|a3|【分析】根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案【解答】解：点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、3，A、B 两点之间的距离可以表示为：| a3|故选：D【点评】本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离理解数轴上两点间的距离与绝对值的关系是解决问题的关键4（2 分）下列水平放置的四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）

13、A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选：B【点评】考查立体图形的左视图，关键是根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形解答5（2 分）一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，汽车从A 地到 B 地一共行驶了 2.2h设

14、普通公路长、高速公路长分别为 xkm、ykm，则可列方程组为（ ）A BC D【分析】设普通公路长、高速公路长分别为 xkm、ykm ，由普通公路占总路程的 结合汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设普通公路长、高速公路长分别为 xkm、ykm，依题意，得： 故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键6（2 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接 CF，DG ，则 （ ）A B C D【分析】连接 AC 和 AF，证明DAG CAF 可

15、得 的值【解答】解：连接 AC 和 AF，则 ，DAG 45 GAC， CAF45GAC，DAG CAF DAG CAF 故选：B【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7（2 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解：式子 在实数范围内有意义，x10，解得 x1故答案为：x1【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即

16、被开方数大于等于 08（2 分）方程 0 的解为 x3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3x+34x0，解得：x3，经检验 x3 是分式方程的解故答案为：x3【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根9（2 分）分解因式：2x 28x+8 2（x 2） 2 【分析】先提公因式 2，再用完全平方公式进行因式分解即可【解答】解：原式2（x 24x+4）2（x2） 2故答案为 2（x2） 2【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是

17、基础知识要熟练掌握10（2 分）若一个反比例函数的图象经过点（3，2），则该反比例函数图象也经过点（1， 6 ）【分析】设反比例函数解析式为 y ，则把（3，2）代入可求出 k 的值，从而得到反比例函数解析式，然后计算自变量为1 所对应的函数值即可【解答】解：设反比例函数解析式为 y ，把（3，2）代入得 k326，所以反比例函数解析式为 y ，当 x1 时，y 6故答案为6【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk11（2 分）如图，在ABC 中，点 M、N 分别在边 AB、A

18、C 上，且 MNBC 若AM2，BM5，MN2，则 BC 7 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案【解答】解：MNBC，AMNACB， ，ABAM+BM7， ，BC7，故答案为：7【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型12（2 分）设 x1，x 2 是一元二次方程 x26x+m 0 的两个根，且 x1+x2x 1x21，则m 7 【分析】由根与系数的关系可得 x1+x26，x 1x2m ，代入 x1+x2x 1x21，即可求出m 的值【解答】解：x 1，x 2 是一元二次方程 x26x+m 0 的两个根，x 1+x26，x 1x2m，

19、x 1+x2x 1x21，6m1，解得 m7故答案为 7【点评】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 13（2 分）如图，在O 中，OA 是半径，弦 BCOA，D 为 上一点，连接OB、AD、CD ，若OBC 50，则ADC 20 【分析】根据垂径定理可得 ，根据圆周角定理可得BOA2ADC，进而可得答案【解答】解：如图，BC OA，OBC50，BOA40OA 是 O 的半径，弦 BCOA， ，BOA2ADC40，ADC20故答案是：20【点评】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或

20、等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半14（2 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r2cm，扇形的圆心角 120，则该圆锥的母线长 l 为 6 cm 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长【解答】解：圆锥的底面周长224 cm，设圆锥的母线长为 R，则： 4，解得 R6故答案为：6【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 15（2 分）如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，连接 AG、HE 交于点 M，则GME 67.

21、5 【分析】根据正求出多边形的内角和公式AHG，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出HAG，计算即可【解答】解：八边形 ABCDEFGH 是正八边形，AHG （8 2）180 8135，AH HG，AHE90，HAG （180 135） 222.5，GMEAMH 90HAG 67.5，故答案为：67.5，【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键16（2 分）在ABC 中，ABAC 5，BC 6，P、Q 分别为边 BC、AB 上的两个点，若APQ 是等腰三角形且 BPQ 是直角三角形，则 AQ 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当 AQP

22、Q，QPB 90时， 当AQPQ，PQB90时；根据相似三角形的性质列方程即可得到结论【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D，ABAC5， BC6，CDBD3，AD4，如图 1 中，当 AQPQ，QPB90时，设 AQPQx，PQAD ，BPQBDA， ， ，x ，AQ ；当 AQPQ，PQB90时，设 AQPQ y BQPBDA， ， ，y 综上所述，满足条件的 AQ 的值为 或 故答案为： 或 【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答

23、题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8 分）（1）计算：（3.14） 0+ 1 （2）解不等式组：【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）分别求出每个不等式的解集，再根据口诀即可得出答案【解答】解：（1）原式1+241（2）由 得： x2，由得： x1，不等式组的解集为 1x2【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤18（6 分）先化简，再求值： ，其中 x 1【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可【解答】解：原式 x+1，当 x 1 时，原式 1+1 【点评

24、】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键19（9 分）甲乙两人在相同条件下完成了 10 次射击训练，两人的成绩如图所示根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环 中位数/环 方差/环 2甲 7 7 1.2乙 7 7.5 5.4 （1）完成表格；（2）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好？为什么？【分析】（1）依据平均数、中位数以及方差的计算公式，即可得到结果；（2）依据甲乙两人平均成绩一样，甲射击成绩的方差小于乙，即可得出甲的成绩更加稳定，所以选择甲去参赛【解答】解：（1）甲的平均成绩为： （5+62+7 4+82+9）7（环），乙成绩的中位数为： 7.5，

25、乙成绩的方差为： （27） 2+（47） 2+（67） 2+（87） 2+（77）2+（77） 2+（87） 2+（9 7） 2+（97） 2+（107） 25.4，故答案为：7；7.5；5.4；（2）我选择甲去参赛因为甲乙两人平均成绩一样，甲射击成绩的方差小于乙，所以甲的成绩更加稳定，所以选择甲去参赛【点评】本题考查方差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立20（7 分）一只不透明的袋子中装有分别标注数字为 1、2、3 的三个小球，这些球除标注的数字外都相同（1）搅匀后从中任意摸出一个球，标注的数字恰好为 2 的概率是 ；（2）搅匀后从中任意摸出一个球，

26、记录下数字后放回袋中并搅匀，再从袋中任意摸出一个球，求两次数字的和大于 3 的概率【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）列举所有等可能结果，再根据概率公式计算可得【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出一个球，标注的数字恰好为 2 的概率是 ，故答案为： ；（2）所有可能出现的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共有 9 种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两次数字的和大于 3”（记为事件 A）的结果有 6 种，所以 P（A ） 【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关

27、键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图21（8 分）如图，在ABCD 中，E、F 为边 BC 上两点，BFCE，AEDF（1）求证：ABEDCF；（2）求证：四边形 ABCD 是矩形【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ABDC根据全等三角形的判定定理即可得到结论（2）根据全等三角形的性质得到BC根据平行四边形的性质得到 ABCD根据矩形的判定定理即可得到结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDCBFCE，BFEFCEEF，BE CF在ABE 和DCF 中，ABE DCF（SSS）；（2

28、）证明：ABEDCF，BC四边形 ABCD 是平行四边形，ABCDB+C 180 BC90四边形 ABCD 是平行四边形，B90，四边形 ABCD 是矩形【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键22（8 分）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿这条公路匀速相向而行，快车到达乙地后停止行驶，慢车到达甲地后停止行驶已知快车速度为 120km/h下图为两车之间的距离 y（km）与慢车行驶时间 x（h）的部分函数图象（1）甲、乙两地之间的距离是 480 km；（2）点 P 的坐标为（4， 320 ），解释点 P

29、 的实际意义（3）根据题意，补全函数图象（标明必要的数据）【分析】（1）观察图象，两车之间的距离与慢车的行驶时间之间的感受图象；（2）观察图象，根据慢车行驶 2.4 小时时，两车之间的距离为 0，求出慢车的行驶的速度，再求出当 x4 时的路程；（3）根据两地之间的距离 480km，画出图象即可【解答】解：（1）从图象可以看出，两地之间的距离是 480km；故答案为：480；（2）从图象中可以看出，慢车行驶 2.4 小时时，两车之间的距离为 0，即相遇，慢车的速度为：4802.412020012080，当 x4 时，快车已经到达乙地，此时两车之间的距离就是慢车行驶的路程，当 x4 时，两车之间的

30、距离为：480320，点 P 的纵坐标为：320，实际意义为：两车出发了 4 小时后，相距 320km，此时快车到达了乙地，故答案为：320；（3）慢车距离甲地还有 480320160km，需要用时：160802（小时），2 小时后到达甲地，图象如图所示【点评】本题主要考查一次函数的应用，解决此题的关键是能根据慢车行驶 2.4 小时时，两车相遇，求出慢车的行驶速度23（7 分）如图，为了测量建筑物 CD 的高度，小明在点 E 处分别测出建筑物 AB、CD顶端的仰角AEB30，CED45，在点 F 处分别测出建筑物 AB、CD 顶端的仰角AFB45，CFD70已知建筑物 AB 的高度为 14m，

31、求建筑物 CD 的高度（精确到 0.1m）（参考数据： tan702.75， 1.41， 1.73）【分析】设 CDx m想办法构建方程即可解决问题【解答】解：设 CDx m在 RtBAE 中，tan AEB ，AE 14 在 RtBAF 中，AFB45，AFAB14，EFAE +AF14 +14在 RtDCE 中，CED 45，EC CDx在 RtDCF 中，tanCFD ，CF x 14 +14x 222.7360.0660.1 m因此，建筑物 CD 的高度为 60.1 m【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型24（8 分）已知二次函

32、数 yx 22mx+2m1（m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点（2）求证：不论 m 为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数 y（x1） 2 的图象上（3）已知点 A（a，1）、B（a+2，1），线段 AB 与函数 y（x1） 2 的图象有公共点，则 a 的取值范围是 2a2 【分析】（1）计算判别式的值得到0，从而根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到二次函数 yx 22mx+2m1 的顶点坐标为（m，（m1） 2），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（3）先计算出抛物线 y（x1） 2 与直线 y1 的交点的横坐标，然后结合图象得

33、到 a+20 且 a2【解答】（1）证明：4m 24（2m 1）4m 28m+44（m1） 20，所以不论 m 为何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）证明：yx 22mx+2m1（xm） 2（m +1） 2，二次函数 yx 22mx+2m1 的顶点坐标为（m，（m 1） 2）当 xm 时，y（x1） 2（m1） 2，所以不论 m 为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数 y（x1） 2 的图象上；（3）当 y1 时，y （x 1） 21，解得 x10，x 22，当 a+20 且 a2 时，线段 AB 与函数 y（x1） 2 的图象有公共点，所以 a 的范围为2a2故答案为2a2【点

34、评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质25（9 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交边 AC 于点 D（点 D 不与点 A 重合），交边 BC 于点 E，过点 E 作 EFAC ，垂足为 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 AD7，BE 2求O 的半径；连接 OC 交 EF 于点 M，则 OM 【分析】（1）连接 OE根据等腰三角形的性质得到 OEB C，根据平行线的性质得到OEF+AFE180根据切线的判定定理即可得到结论

35、；（2） 连接 BD，AE，根据圆周角定理得到ADB 90 ，AEB90，求得AEBC根据勾股定理即可得到结论；根据勾股定理得到 BD ，CD1，根据相似三角形的性质得到EM ，根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）证明：连接 OE在ABC 中，AB AC，BCOBOE ，OBEOEBOEBC，OEACOEF+AFE180EFAC 于点 F，EFA 90OEF90，OEEFOEEF 于点 E，OE 是O 的半径，EF 是O 的切线；（2） 解：连接 BD，AE，AB 是O 的直径，ADB90，AEB90，AEBC在ABC 中，AB AC，CEBE2，BC2BE4 ，ADB+CDB180，CDB

36、90在 Rt ADB 中，ADB90，BD 2AB 2AD 2在 Rt CDB 中， CDB90 ，BD 2BC 2CD 2AB 2AD 2BC 2CD 2设 CDx，则 ABAC7+ x（7+x） 27 24 2x 2，x1AB7+x8r AB4解： AD 7，ABAC8，BD ，CD1，BECE2， EFBD，EF BD ，CF CD ，ABAC，AEBC，BAE CAE， ，OEBD ，OEEF，OECF，CFMOEM， ， ，EM ，OM 故答案为： 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键26（9 分）某企业销售某商品，以“线

37、上”与“线下”相结合的方式一共销售了 100件设该商品线下的销售量为 x（10x90）件，线下销售的每件利润为 y1 元，线上销售的每件利润为 y2 元下图中折线 ABC、线段 DE 分别表示 y1、y 2 与 x 之间的函数关系（1）当 x40 时，线上的销售量为 60 件；（2）求线段 BC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式；（3）当线下的销售量为多少时，售完这 100 件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了 100 件可求得线上的销售量；（2）用待定系数法解答便可；（3）根据已知条件求出线上与线下的利润与 x 的函数关

38、系，进而得总利润与 x 的函数关系式，再根据函数的性质和求最值的方法继续解答便可【解答】解：（1）1004060（件），故答案为：60；（2）设 y1kx+b（k、b 为常数，k0），图象过点 B（70，125）、C（90，105）， 解得：y 1x+195 （70x 90）（3）设总利润为 W 元因为线下的销售量为 x 件，所以线上的销售量为（100x）件；根据图象知，线上的每件利润 y2 为 100 元当 10x70 时，设 y1k 1x+b1（k 1、b 1 为常数，k 10），图象过点 A（10，155）、B（70，125），解得： ，y 1 x+160（10x 70 ）W 1 x2+

39、160x+100（100x） x2+60x+10000 （ x60） 2+11800当 x60 时，此时 W1 的最大值为 11800当 70x90 时，y 1x +195，W 2x 2+195x+100（100 x）x 2+95x+10000（x47.5） 2+12256.25a10，当 70x90 时，W 2 随 x 的增大而减小，当 x70 时，此时 W2 的最大值为 11750，综上，当 x60 时，W 的最大值为 11800答：当线下的销售量为 60 件时，总利润最大，最大值为 11800 元【点评】本题是一次函数与二次比函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数函数的解析

40、式，二次函数的实际应用，求二次函数的最值关键是熟记利润、成本、售价的关系27（9 分）如图，一张半径为 3cm 的圆形纸片，点 O 为圆心，将该圆形纸片沿直线 l 折叠，直线 l 交O 于 A、B 两点（1）若折叠后的圆弧恰好经过点 O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段 AB 的长度（2）已知 M 是O 内一点， OM1cm若折叠后的圆弧经过点 M，则线段 AB 长度的取值范围是 2 AB4 若折叠后的圆弧与直线 OM 相切于点 M，则线段 AB 的长度为 cm【分析】（1）连接 AO，直线 l 垂直平分 POOH PO ，在 RtAHO 中

41、即可求解；（2）分两种情况求解；（3）过 O 作弦 AB 的垂直与圆交于点 D，与弧 AB 交于点 C，与 AB 交于点 E，过 M 作OM 的垂线，两条垂线的交点为 O，翻折连接 AO，得到 OO垂直平分 AB，O 为弧 ABM所在圆的圆心，OO ，在 RtACO 中即可求解；【解答】解：（1）如图，直线 l 为所求连接 AO，点 P 与点 O 关于直线 l 对称，直线 l 垂直平分 POOH PO 在 Rt AHO 中，AH 2+HO2AO 2，AH 在 O 中， POAB，PO 为半径，AB2AH 3 ；（2）如图 1：弧 AB 翻折与 M 重合，OM 1，DM 1，在 Rt ADM 中

42、，AM 3，AD2 ，AB4 ；如图 2：弧 AB 翻折与 M 重合，OM 1，MD 2，在 Rt ADM 中，AM 3，AD ，AB2 ；2 AB4 ；故答案为 2 AB4 ；（3）如图 3：过 O 作弦 AB 的垂直与圆交于点 D，与弧 AB 交于点 C，与 AB 交于点 E，过 M 作 OM的垂线，两条垂线的交点为 O，翻折连接 AO，OO垂直平分 AB，O为弧 ABM 所在圆的圆心，折叠后的圆弧与直线 OM 相切于点 M，MO3，CODO，在 Rt OOM 中，OM1，OO ，在 Rt ACO 中， EO ，AO 3，AE ，AB ；故答案为 ；【点评】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键