2019年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）（3） 2 的值是（ ）A6 B6 C9 D92（3 分）因式分解：a 24（ ）A（a2）（a+2） B（2a）（2a）C（a2） 2 D（a2）（ a+2）3（3 分）在等腰三角形 ABC 中，AB4，BC 2，则ABC 的周长为（ ）A8 B10 C8 或 10 D6 或 84（3 分）若实数 k 满足 3k4，则 k 可能的值是（ ）A2 B2 C D|1|5（3 分）下列计算正确的是（ ）A2（x1）（x1）x

2、3 BC D（x+1）y x+16（3 分）在ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与 B，C 重合），连接 AD，下列表述错误的是（ ）A若 AD 是 BC 边的中线，则 BC2CDB若 AD 是 BC 边的高线，则 ADACC岩 AD 是BAC 的平分线，则ABD 与ACD 的面积相等D若 AD 是BAC 的平分线又是 BC 边的中线，则 AD 为 BC 边的高线7（3 分）小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 3 元，每支钢笔 5 元，求小明最多能买几支钢笔设小明买了 x 支钢笔，依题意可列不等式为（ ）A3x+5（30x）100 B3（30x）+5100C

3、5（30x） 100+3 x D5x100 3（30+ x）8（3 分）如图，在ABC 中，以边 BC 为直径做半圆，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 DE，若 2 2 ，则下外说法正确的是（ ）AAB AE BAB2AE C3A2C D5A 3C9（3 分）如图，直线 l1l 2l 3，ABC 的三个顶点分別落在 l1l 2l 3 上，AC 交 l2 与点 D设 l1 与 l2 的距离为 h1，l 2 与 l3 的距离为 h2若 ABBC，h 1：h 21：2，则下列说法正确的是（ ）AS ABD ：S ABC 2：3 BS ABD ：S ABC 1：2CsinABD：sinDB

4、C2：3 DsinABD：sinDBC1：210（3 分）已知二次函数 y（xk +2）（x+k）+m ，其中 k，m 为常数下列说法正确的是（ ）A若 k1，m 0，则二次函数 y 的最大值小于 0B若 k1，m0，则二次函数 y 的最大值大于 0C若 k1，m0，则二次函数 y 的最大值小于 0D若 k1，m 0，则二次函数 y 的最大值大于 0二、填空題：本大题有 6 个小題，毎小题 4 分，共 24 分.11（4 分）四张卡片上分别写着2，1，0，1若从中随机抽出一张，则此卡片上的数为负数的概率是 12（4 分）如图，过圆外一点 P 作O 的切线 PC，切点为 B，连结 OP 交圆于点

5、 A若AP 0A1，则该切线长为 13（4 分）两组数据：3，a，8，5 与 a，6，b 的平均数都是 6，若将这两组数据合并为一組，则这组新数据的中位数为 14（4 分）已知实数 x 满足 |x+1|0，则 x 的值为 15（4 分）如图，在直角ABC 中，ACB 90，AC3，BC4，且点 D，E 分別在BC，AB 上，连结 AD 和 CE 交于点 H若 2， 1，则 BE 的长为 16（4 分）已知实数 x，y ，a 满足 x+3y+a4，xy3 a0若1a1，则 2x+y 的取值范围是 三、解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（6 分

6、）某研究小组用随机抽样的方法，在本校初三年级开展了“你最喜欢的电视节目”调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）（1）此次研究小组共调查了多少名学生？（2）若该学校初三年级共有 300 名学生，请你估计其中最喜欢“体育节目”的有多少18（8 分）在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 的图象过点（1，2），且 bk +4（1）当 x3 时，求 y 的值（2）若点 A（a1，2a+6）在一次函数图象上，试求 a 的值19（8 分）如图，在ABC 中，D 为 AB 上的一点，过点 D 作 DEAC ，DF BC ，分别交 BC，AC 于点 E，F（1）求证：ADFDBE（2）若 BE：C

7、E 2：3，求 AF：DE 的值20（10 分）如图，某农家拟用已有的长为 8m 的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为 12m2 的矩形园子设园子中平行于墙面的篱笆长为 ym（其中 y4），另两边的篱笆长分别为 xm（1）求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 的取值范围（2）若仅用现有的 11m 长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案21（10 分）在ABC 中，BD AC 于点 D，P 为 BD 上的点，ACP45，APBC（1）求证：ADBD（2）若CPA120，BC2，求 PB 的长22（12 分）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为 yax 2+（a+1）

8、x，其中a0（1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式（2）若（x 1，y 1）（x 2，y 2）为此二次函数图象上两个不同点若 x1+x22，则 y1y 2，试求 a 的值当 x1x 22，对任意的 x1，x 2 都有 y1y 2，试求 a 的取值范围23（12 分）在菱形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 上点，且 CECF ，连结AE， AF，EF记CEF 的面积为 m，AEF 的面积为 n（1）求证：ABEADF（2）若 AEBC ，CF：AE 2：3，求 sinD（3）设 BE：EC a，m3a，试说明当 a 取何值时 n 的值最大，并求出 n 的最大值2019

9、 年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）（3） 2 的值是（ ）A6 B6 C9 D9【分析】根据有理数的乘方的意义，（3） 2 的值即是（3）（3）的值，再运用有理数的乘法进行计算【解答】解：（3） 2（3）（3）9故选：D【点评】本题主要考查了有理数的乘方，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行注意负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数2（3 分）因式分解：a 24（ ）A（a2）（a+2） B（2a）（2a）C（a2） 2 D

10、（a2）（ a+2）【分析】直接利用平方差公式分解因式即可【解答】解：a 24（a+2）（a2）故选：A【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键3（3 分）在等腰三角形 ABC 中，AB4，BC 2，则ABC 的周长为（ ）A8 B10 C8 或 10 D6 或 8【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析【解答】解：当 ACBC2 时，2+24，不符合三角形三边关系，故舍去；当 ACAB4 时，符合三边关系，其周长为 4+4+210故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进

11、行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键4（3 分）若实数 k 满足 3k4，则 k 可能的值是（ ）A2 B2 C D|1|【分析】利用平方法比较数的大小，因为 9k 216，将 2 、2 、 分别平方即可求解；【解答】解：3k4，9k 216（2 ） 28，（2 ） 212，（ ） 2 ，2 满足给定的范围，故选：B【点评】本题考查无理数的估算；熟练掌握利用平方法比较无理数是解题的关键5（3 分）下列计算正确的是（ ）A2（x1）（x1）x3 BC D（x+1）y x+1【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题【解答】解：2（

12、x1）（x1）2x 2x+1x1，故选项 A 错误， ，故选项 B 错误， ，故选项 C 正确，（x+1）y （x +1） ，故选项 D 错误，故选：C【点评】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法6（3 分）在ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与 B，C 重合），连接 AD，下列表述错误的是（ ）A若 AD 是 BC 边的中线，则 BC2CDB若 AD 是 BC 边的高线，则 ADACC岩 AD 是BAC 的平分线，则ABD 与ACD 的面积相等D若 AD 是BAC 的平分线又是 BC 边的中线，则 AD 为 BC 边的高线【分析】根据三角形中的角

13、平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：A、AD 是 BC 边的中线，BDCD，BC2CD，故 A 正确；B、AD 是 BC 边的高线，ADC90，在 Rt ADC 中， ADAC，故 B 正确；C、AD 是BAC 的中线，则ABD 与ACD 的面积相等，故 C 错误；D、AD 是BAC 的平分线又是 BC 边的中线，ABC 是等腰三角形，AD 为 BC 边的高线，故 D 正确，故选：C【点评】本题考查了三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的关键7（3 分）小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 3 元，

14、每支钢笔 5 元，求小明最多能买几支钢笔设小明买了 x 支钢笔，依题意可列不等式为（ ）A3x+5（30x）100 B3（30x）+5100C5（30x） 100+3 x D5x100 3（30+ x）【分析】设小明买了 x 支钢笔，则买了（30x）本笔记本，根据总价单价购买数量结合总价不超过 100 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式【解答】解：设小明买了 x 支钢笔，则买了（30x）本笔记本，根据题意得：5x+3（30x ）100 或 5x1003（30+ x）故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键8（3 分）如

15、图，在ABC 中，以边 BC 为直径做半圆，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 DE，若 2 2 ，则下外说法正确的是（ ）AAB AE BAB2AE C3A2C D5A 3C【分析】根据圆心角、弧、弦的关系分别求出BOD、 EOC、DOE ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案【解答】解： 2 2 ，BOD EOC DOE，BOD +EOC+DOE180，BOD EOC 45， DOE90，OBOD ，OBD ODB67.5，同理，OECOCE67.5，A45，BC 为直径，AEB CEB90，AB AE，故 A、B 错误；3A135，2C135 ，3A2C，C 正

16、确；5A225，3C202.5 ，5A3C，D 错误；故选：C【点评】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据弧的关系分别求出BOD 、EOC 、DOE 是解题的关键9（3 分）如图，直线 l1l 2l 3，ABC 的三个顶点分別落在 l1l 2l 3 上，AC 交 l2 与点 D设 l1 与 l2 的距离为 h1，l 2 与 l3 的距离为 h2若 ABBC，h 1：h 21：2，则下列说法正确的是（ ）AS ABD ：S ABC 2：3 BS ABD ：S ABC 1：2CsinABD：sinDBC2：3 DsinABD：sinDBC1：2【分析】作 AEl 2，CFl 2，

17、如图，则 AEh1，CFh 2，利用三角形面积公式可得到SABD ： SBCD h 1：h 21：2，则可对 A、B 进行判断；利用正弦的定义得到sinABD ，sinDBC ，利用 ABCB 可对 C、D 进行判断【解答】解：作 AEl 2，CFl 2，如图，则 AEh1，CFh 2，S ABD BDAE BEh1，S BCE BDCF BDh2，S ABD ：S BCD h 1：h 21：2，S ABD ：S ABC 1：3，所以 A、B 选项错误；在 Rt ABE 中，sinABD ，在 Rt BCF 中，sinDBC ，而 ABCB，sinABD： sinDBCh 1：h 21：2，所

18、以 C 选项错误，D 选项正确故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活应用相似三角形相似的性质进行几何计算也考查了解直角三角形10（3 分）已知二次函数 y（xk +2）（x+k）+m ，其中 k，m 为常数下列说法正确的是（ ）A若 k1，m 0，则二次函数 y 的最大值小于 0B若 k1，m0，则二次函数 y 的最大值大于 0C若 k1，m0，则二次函数 y 的最大值小于 0D若 k1，m 0，则二次函数 y 的最大值大于 0

19、【分析】将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可【解答】解y（x k +2）（x+k）+m （x+1） 2+（k 1） 2+m，当 x1 时，函数最大值为 y（k 1） 2+m，则当 k1，m0 时，则二次函数 y 的最大值大于 0故选：B【点评】本题考查二次函数最值的求法，通常将二次函数的解析式化为顶点式，来求顶点坐标及函数最值为常用的方法，因为要理解透彻二、填空題：本大题有 6 个小題，毎小题 4 分，共 24 分.11（4 分）四张卡片上分别写着2，1，0，1若从中随机抽出一张，则此卡片上的数为负数的概率是 【分析】由在一个不透明的口袋中装有 4 张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数

20、字2，1，0，1，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：在一个不透明的口袋中装有 4 张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字2，1，0，1，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为： 故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比12（4 分）如图，过圆外一点 P 作O 的切线 PC，切点为 B，连结 OP 交圆于点 A若AP 0A1，则该切线长为 【分析】根据切线的性质定理可知 OBPB，由题意可知 APOA 1，则 OB1，于是根据勾股定理即可求出 PB 的长【解答】解：OA、OB 都是半径，OBOA AP1又PC 与O 相切于

21、B 点OBPB于是在 RtPBO 中，OB1，OP2PB 故答案为 【点评】本题考查的是切线的性质定理，即圆的切线垂直于经过切点的半径由相切到垂直是解题中常常用到的一种思路13（4 分）两组数据：3，a，8，5 与 a，6，b 的平均数都是 6，若将这两组数据合并为一組，则这组新数据的中位数为 6 【分析】首先根据平均数的定义列出关于 a、b 的二元一次方程组，再解方程组求得a、b 的值，然后求中位数即可【解答】解：两组数据：3，a，8，5 与 a，6，b 的平均数都是 6， ，解得 ，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为 3，4，5，6，8，8，8，一共 7 个数，第四个数是

22、 6，所以这组数据的中位数是 6故答案为 6【点评】本题考查平均数和中位数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数14（4 分）已知实数 x 满足 |x+1|0，则 x 的值为 2 【分析】根据二次根式的非负性， 0，x20，再由|x+1|0，|x+1|0，得到 0，|x +1|0，综合考虑 x 的取值即可求解

23、；【解答】解：根据二次根式的非负性， 0，x20，x2， |x+1|0，|x+1|0， 0，|x +1|0，x2 或 x1，x2；故答案为 2【点评】考查根据二次根式的非负性，被开方数的非负性，绝对值的非负性；能够准确判断二次根式和绝对值乘积小于等于 0 时，各自为 0 是解题的关键15（4 分）如图，在直角ABC 中，ACB 90，AC3，BC4，且点 D，E 分別在BC，AB 上，连结 AD 和 CE 交于点 H若 2， 1，则 BE 的长为 【分析】过 F 作 DFHE 交 AB 于 F，根据已知条件得到 AEEF，设 AEEFa，根据平行线分线段成比例定理得到 BF2a，求得 BE3a

24、，AB4a，根据勾股定理得到AB5，于是得到结论【解答】解：过 F 作 DFHE 交 AB 于 F， 1，AEEF，设 AEEFa，DFCE， 2，BF2a，BE3a，AB4a，在直角ABC 中，ACB90，AC 3，BC4，AB5，a ，BE3a ，故答案为： 【点评】本题考查了三角形的中位线的性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键16（4 分）已知实数 x，y ，a 满足 x+3y+a4，xy3 a0若1a1，则 2x+y 的取值范围是 02x +y6 【分析】把 a 当作参数，联立方程组求出 x，y 的值，然后用 x 表示出 2x+y，利用不等式的性质求解【解答】解：

25、联立方程组 ，将 a 作为参数解得： ，1a1，2x+y3a+3，可得：02x+y 6故答案为 02x+y 6【点评】本题主要考查不等式的性质和解二元一次方程组，解题时要把 a 当作参数，联立方程组求出 x，y 的值，然后利用不等式的性质求解三、解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（6 分）某研究小组用随机抽样的方法，在本校初三年级开展了“你最喜欢的电视节目”调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）（1）此次研究小组共调查了多少名学生？（2）若该学校初三年级共有 300 名学生，请你估计其中最喜欢“体育节目”的有多少【分析】（1）由“

26、军事节目”的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以样本中“体育节目”人数所占比例即可得【解答】解：（1）此次研究小组共调查学生 510%50（人）；（2）估计其中最喜欢“体育节目”的有 300 156（人）【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答18（8 分）在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 的图象过点（1，2），且 bk +4（1）当 x3 时，求 y 的值（2）若点 A（a1，2a+6）在一次函数图象上，试求 a 的值【分析】（1）先把 bk+4 代入一次函数解析式中，消去 b，然后把（

27、1，2）代入求解即可（2）将 A 点坐标代入 yx +3 求解即可【解答】解：（1）bk+4，ykx+k+4，把点（1，2）代入一次函数解析式得 2k+42，解得 k1；yx+3当 x3 时，y0（2）将 A 点坐标代入 yx +3 得，1a+32a+6，a 【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入求解一元一次方程即可19（8 分）如图，在ABC 中，D 为 AB 上的一点，过点 D 作 DEAC ，DF BC ，分别交 BC，AC 于点 E，F（1）求证：ADFDBE（2）若 BE：CE 2：3，求 AF：DE 的值【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案（2）根

28、据相似三角形的性质以及平行四边形的性质与判定即可求出答案【解答】解：（1）DEAC，DFBC，AEDB ，BFDA，ADFDBE；（2）DEAC，DFBC，四边形 FDEC 是平行四边形，DFCE，ADFDBE， 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型20（10 分）如图，某农家拟用已有的长为 8m 的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为 12m2 的矩形园子设园子中平行于墙面的篱笆长为 ym（其中 y4），另两边的篱笆长分别为 xm（1）求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 的取值范围（2）若仅用现有的 11m 长的篱笆，且

29、恰好用完，请你帮助设计围制方案【分析】（1）由矩形的面积公式可得出 y 关于 x 的函数表达式，结合 4y8 可求出x 的取值范围；（2）由篱笆的长可得出 y（112x）m ，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解答】解：（1）矩形的面积为 12m2，y 4y8，1.5x3（2）篱笆长 11m，y（112x）m依题意，得：xy12，即 x（112x）12，解得：x 11.5，x 24（舍去），y112x8答：矩形园子的长为 8m，宽为 1.5m【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的

30、面积公式，找出 y 关于 x 的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程21（10 分）在ABC 中，BD AC 于点 D，P 为 BD 上的点，ACP45，APBC（1）求证：ADBD（2）若CPA120，BC2，求 PB 的长【分析】（1）由题意可得 CDDP，由“HL ”可证 RtADPRtCDB，可得结论；（2）延长 CP 交 AB 于点 M，由等腰三角形的性质可求PMB90，PAM30，PBM 45，由直角三角形的性质可求 PB 的长【解答】证明：（1）BD AC，ACP45DPCDCP45CDDP，且 APBCRtADPRtCDB（HL ）ADBD（2）如图，延长 CP

31、 交 AB 于点 MADBD ，BDAC，DABDBA45又CPDBPM45PMB 90APC120，CPD45APD75DAP90APD 15PAM 30RtADPRtCDBBCAP2，且 PAM30PM1，且DBA 45，PM ABPB PM【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键22（12 分）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为 yax 2+（a+1）x，其中a0（1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式（2）若（x 1，y 1）（x 2，y 2）为此二次函数图象上两个不同点若 x1+x22，则 y1y

32、2，试求 a 的值当 x1x 22，对任意的 x1，x 2 都有 y1y 2，试求 a 的取值范围【分析】（1）直接将点（1，3）代入即可；（2） 利用等式的性质，求解 a； 由已知当 x1x 22，对任意的 x1，x 2 都有y1y 2，则在 x1x 22 时，二次函数是递增的，结合图象即可求解；【解答】解：（1）函数图象过点（1，3），将点代入 yax 2+（a+1 ）x，解得 a2；（2）（x 1，y 1）（x 2，y 2）为此二次函数图象上两个不同点x 1x 2，y 1y 2，ax 12+（a+1）x 1ax 22+（a+1）x 2，a（x 1+x2）（ x1x 2）（a+1）（x 2

33、x 1），a（x 1+x2） （a+1 ），x 1+x22，a ；（3）函数 yax 2+（a+1 ）x 的对称轴是 x ，x 1x 22，对任意的 x1，x 2 都有 y1y 2，当 a0， 2 时，0a ；0a ；【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键23（12 分）在菱形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 上点，且 CECF ，连结AE， AF，EF记CEF 的面积为 m，AEF 的面积为 n（1）求证：ABEADF（2）若 AEBC ，CF：AE 2：3，求 sinD（3）设 BE：EC a，m3a，试说明当

34、a 取何值时 n 的值最大，并求出 n 的最大值【分析】（1）根据菱形的性质得 ABADBCCD，BD，再证明 BEDF ，由全等三角形的判定定理得解；（2）设 CF2k ，由ABEADF 得 AFAE3k，AFD90，再由勾股定理，用 k 的代数式表示 AD，进而由三角函数定义得解；（3）连接 AC、BD，两线相交于点 O，AC 与 EF 相交于点 P，由CEFCBD 得 ，进而得 ，再根据已知的三角形的面积比得 n 关于 a 的函数关系式，便可由函数的性质求得结果【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，BD，AB BCCDDA，CECF，BCECDCFC，BEDF ，在ABE 和ADF

35、 中，ABE ADF（SAS）；（2）AEBC ，AEB 90，由（1）知ABEADF，AEAF，AFD AEB90，ADF 为直角三角形，设 CF2k，ADx ，CF：AE2： 3，AFAE3k ，DFx 2k ，在 Rt ADF 中，有 AF2+DF2AD 2，可得，x 2（x2k ） 2+（3k） 2，解得，x ，sinD ；（3）连接 AC、BD，AC 与 BD 相交于点 O，AC 与 EF 相交于点 P，ECFC，CBCD， ，ECFBCD，CEFCBD， ，四边形 ABCD 为菱形，BDAC，EF AC，AOOC， ， ，n（2a+1）（3a）2a 2+5a+32（a ） 2+ ，当 a 时，n 有最大值为 【点评】本题是菱形的综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，第（2）小题关键是从线段的比入手，用一个未知数表示所在的线段，第（3）题关键是构造相似三角形，最后将三角形的面积比转化为线段比