2019年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊试卷（含答案解析）

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1、2019 年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊试卷一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1下列数中是无理数的是（ ）A B0. C27% D32下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D3下列图案均是用相同的小正方形按一定的规律拼成：拼第 1 个图案需 1 个小正方形，拼第 2 个图案 3 个小正方形，依此规律，拼第 6 个图案需小正方形（ ）个A15 B21 C24 D124下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（ ）A检查 100

2、张面值为 100 元的人民币中有无假币B检查“瓦良格号”航母的零部件质量C调查一批牛奶的质量D了解某班同学体育满分情况5下列命题是真命题的是（ ）A同位角相等B一个数的平方根与立方根相等，则这个数是 1 和 0C倒数等于本身的数是 1 和 1D绝对值等于本身的数是 0 和 16估算 在哪两个整数之间（ ）A0 和 1 B1 和 2 C2 和 3 D3 和 47根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值是3 和 2 时，输出的 y 值相等，则 b 等于（ ）A5 B5 C7 D3 和 48已知 a 是方程 x23x 20 的根，则代数式2a 2+6a+2019 的值为（ ）A2014

3、 B2015 C2016 D20179如图，点 A、B、C 在圆 O 的圆周上，连 OA、OC，ODAB 于点 D，若 AO 平分CAB， CAB50，则 OCB（ ）A40 B35 C30 D2510如图，小明为了测量大楼 AB 的高度，他从点 C 出发，沿着斜坡面 CD 走 52 米到点 D 处，测得大楼顶部点 A 的仰角为 37，大楼底部点 B 的俯角为 45，已知斜坡 CD 的坡度为i1：2.4大楼 AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin370.60， cos370.80，tan370.75）A32 米 B35 米 C36 米 D40 米11如图，在平面直角坐标系中，RtAOB 的边

4、 OA 在 y 轴上，OB 在 x 轴上，反比例函数y （k 0）与斜边 AB 交于点 C、D ，连接 OD，若 AC：CD2：3，S OBD ，则 k 的值为（ ）A4 B5 C6 D712如果关于 x 的分式方程 有负数解，且关于 y 的不等式组 无解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）A2 B0 C1 D3二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上13计算：（3.14） 0+| 2|（1） 2019 14如图，正方形 ABCD 边长为 4，以 BC 为直径的半圆 O 交对角线 BD 于点 E，则阴影部分

5、面积为 （结果保留 ）15“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全，小刚每天从陈家坪骑自行车到育才中学上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是 16如图，已知 RtABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AECD，AE 分别与 CD、CB 相交于点 F、E ，若 CD ，BC4，则 CE 的长度为 17甲乙沿着同一路线以各自的速度匀速从 A 地到 B 地，甲出发 1 分钟后乙随即出发，甲、乙到达 B 地后均立即按原路原速返回

6、A 地，甲、乙之间的距离 y（米）与甲出发的时间 x（分）之间的部分图象如图所示当甲返回到 A 地时，乙距离 B 地 米18某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价某户 5 月份高峰时段用电量是空闲时段用电量 2 倍，6 月份高峰时段用电量比 5 月份高峰时段用电量少 50%，结果 6 月份的用电量和 5 月份的用电量相等，但 6 月份的电费却比 5 月份的电费少 25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是 三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的

7、位置上.19（10 分）化简：（1）（2a1） 2a（a4）；（2）20（10 分）如图，在 Rt ABC 中，ACB90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作DEAB 交 AB 于点 E，过 C 作 CFBD 交 ED 于 F（1）求证：BEDBCD；（2）若A36，求CFD 的度数21（10 分）为深化课程改革，我校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从 A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图根据

8、以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中 D 部分的圆心角是 度；请补全条形统计图；（2）根据本次调查，我校七年级 2600 名学生中，估计最喜欢“趣味数学”的学生人数为多少？22（10 分）已知 y 是 x 的函数，x 的取值范围为任意实数，如图是 x 与 y 的几组对应值，小华同学根据研究函数的己有经验探素这个函数的有关性质，并完成下列问题x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 1 2 3 （1）如图，小华在平面直角坐标系中描出了上述几组值对应的点，请你根据描出的点画出函数的图象；（2）请根据你画出的函数图象，完成当 x4 时，求 y 的值；当 201

9、2|y|2019 时，求 x 的取值范围23（10 分）某水果店以每千克 6 元的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又购进一些同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了 1 元，已知两次一共进货 600 千克（1）若该水果店两次进货的总价格不超过 3200 元，求第一次至多购进水果多少千克？（2）在（1）的条件下，以第一次购进最大重量时的数量进货，在销售过程中，第一次购进的水果有 3%的损耗，其售价比其进价多 2a 元，第二次购进的水果有 5%的损耗，其售价比其进价多 a 元，该水果店希望售完两批水果后获利 31.75%，求 a 的值24（10 分）正方形 ABCD，点 E 在边 B

10、C 上，点 F 在对角线 AC 上，连 AE（1）如图 1，连 EF，若 EFAC，4AF3AC，AB4，求AEF 的周长；（2）如图 2，若 AFAB ，过点 F 作 FGAC 交 CD 于 G，点 H 在线段 FG 上（不与端点重合），连 AH若EAH45，求证：ECHG+ FC25（10 分）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如 ， ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如 ， 像这样通过

11、分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化解决间题：（1）比较大小： （用“”“”或“”填空）；（2）计算： + ；（3）设实数 x，y 满足 ，求 x+y+2019 的值四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26（8 分）如图，抛物线 y x2+ x+3 交 x 轴于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左侧，交 y 轴于点 C（1）如图 1，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 P 作 PQAC 交 BC 于点 Q，连接PA，PB，当凹四边形 PAQB 的

12、面积最大时，点 S 为 y 轴上一动点，点 T 为 x 轴上一动点，连接PS，ST ，TB ，求 PS+ST+ TB 的最小值；（2）如图 2，将AOC 绕点 A 逆时针旋转 45，得到AOC，延长 CA 交 y 轴于点 R，点 S是抛物线 y x2+ x+3 对称轴上一个动点，连接 CS、RS，把CRS 沿直线 CS 翻折得到CRS，则 BRR能否为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点 S 的坐标；若不能，请说明理由2019 年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、

13、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【解答】解：A. 是无理数；B.0. 是无限循环小数，是有理数；C.27%是分数，有限小数，是有理数；D.3 是整数，是有理数故选：A【点评】本题考查了无理数：无限不循环小数叫无理数常见有：字母表示的无理数，如 等；开方开不尽的数，如 2 等；无限不循环小数，如 0.101001000100001（每两个 1 之间多一个0）等

14、2【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3【分析】设拼第 n 个图案需要 an 个小正方形（n 为正整数），观察图形，根据各图案中小正方形个数的变化可得出变化规律“a n （n 为正整数） ”，再代入 n6 即可求出结论【解答】解：设拼第 n 个图案需要 an 个小正方形（n 为正整数），

15、观察图形，可知：a 11，a 21+2，a 31+2+3，a 31+2+3+4，a n1+2+3+n （n 为正整数），a 6 21故选：B【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图案中小正方形个数的变化找出变化规律“an （n 为正整数）”是解题的关键4【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似【解答】解：A、检查 100 张面值为 100 元的人民币中有无假币采用普查，错误；B、检查“瓦良格号”航母的零部件质量采用普查，错误；C、调查一批牛奶的质量采用抽样调查，正确；D、了解某班同学体育满分情况采用普查，错误；故选：C【点评】本

16、题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查5【分析】根据平行线的性质、平方根和立方根、倒数以及绝对值进行判断即可【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，是假命题；B、一个数的平方根与立方根相等，则这个数是 0，是假命题；C、倒数等于本身的数是 1 和 1，是真命题；D、绝对值等于本身的数是 0 和正数，是假命题；故选：C【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题6【分

17、析】根据 的范围进行估计解答即可【解答】解： ， ，估算 在 1 和 2 两个整数之间，故选：B【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法7【分析】把 x3 与 x2 代入程序中计算，根据 y 值相等即可求出 b 的值【解答】解：当 x3 时，y9，当 x2 时，y4+b，由题意得：4+b9，解得：b5，故选：A【点评】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键8【分析】利用一元二次方程解的定义得到 a23a2，再把2a 2+6a+2019 变形为2（a 23a）+2019 ，

18、然后利用整体代入的方法计算【解答】解：a 是方程 x23x20 的根，a 23a20，a 23a2，2a 2+6a+20192（a 23a）+2019 22+20192015故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解9【分析】连接 OB想办法求出 ACB ，ACO 即可解决问题【解答】解：连接 OBCAB50，OA 平分CAB，OAD OAC CAB25，ODAB，OAOB，ODA 90 ，AOD BOD65，AOB130，ACB AOB 65，OAOC，OACOCA25，OCB652540，故选：A【点评】本题考查圆周角定理，角平分

19、线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10【分析】作 DEAB 于 E，作 DFBC 于 F，y 由 CD 的坡度为 i1：2.4，CD52 米，得到1：2.4，求出 BE、AE 即可解决问题；【解答】解：作 DEAB 于 E，作 DFBC 于 F，CD 的坡度为 i1：2.4，CD52 米， 1：2.4， 52，DF20（米）；BEDF 20（米），BDE45，DEBE40m，在 Rt ADE 中，ADE37，AEtan372015（米）ABAE+BE35（米）故选：B【点评】本题考查了仰角与俯角的知识此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形

20、并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用11【分析】设 D（m，n），过点 C 作 CEy 轴于点 E，过点 D 作 DFy 轴于点 F因此ACE ADF，由 AC：CD2：3，得到 AC：AD 2 ：5 ，所以 ，从而 CE DFm，故 C ，于是直线 AB 的表达式为 y ，所以 B（ ），OB，由 SOBD ，求得 mn5，所以 k5，【解答】解：设 D（m，n），过点 C 作 CEy 轴于点 E，过点 D 作 DFy 轴于点 FACEADF，AC：CD2：3，AC：AD2：5， ，CE DF mC ，D（m，n），直线 AB 的表达式为 y ，B（ ），OB

21、，S OBD ， ，mn5，kmn5，故选：B【点评】本题考查了反比例函数 k 的几何意义，构建相似三角形是解题的关键12【分析】解关于 y 的不等式组 ，结合解集无解，确定 a 的范围，再由分式方程 有负数解，且 a 为整数，即可确定符合条件的所有整数 a 的值，最后求所有符合条件的值之和即可【解答】解：由关于 y 的不等式组 ，可整理得该不等式组解集无解，2a+42即 a3又 得 x而关于 x 的分式方程 有负数解a40a4于是3a4，且 a 为整数a3、2、1、0、1、2、3则符合条件的所有整数 a 的和为 0故选：B【点评】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求

22、出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上13【分析】直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+2+14故答案为：4【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键14【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正方形四分之一的面积减去弓形 CE 的面积，弓形 CE 的面积等于半圆的面积减去正方形四分之一面积差的一半，从而可以解答本题【解答】解：正方形 ABCD 边长为 4，ABBCCDDA4，阴影部分的面积是：

23、6，故答案为：6【点评】本题考查扇形的面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答15【分析】列举出所有情况，看所求的情况数占总情况数的多少即可【解答】解：画树状图如下：总共有 4 种情况，两个路口都是红灯的结果有 1 种，两个路口都遇到红灯的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比16【分析】根据ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，可得出

24、CDBDAD AB，则AB 2 ，BBCD，再由 AECD，可证明B CAF，进而求得CAF BCDB，即 BCAF ，然后证得ACEBCA，即可得出 CE 的长【解答】解：ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，CDBDAD AB，CD ，BC4AB2 ，由勾股定理得 AC 2，CDBD，BBCD，AECD，CAF+ ACF90，又ACB90，BCD+ACF90，CAFBCDB，即BCAF ，ACEBCA， ，CE 1故答案为：1【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，有一定难度17【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以解答本题【解答

25、】解：由题意可得，甲的速度为 60160 米/分，则乙的速度为：100（76）6040 米/分，设 A、B 两地距离为 S 米，2S607+40（71），解得，S330，甲返回 A 地用时为：33026011（分），则乙 11 分钟行驶的路程为 40（111）400（米），40033070（米），即当甲返回到 A 地时，乙距离 B 地 70 米，故答案为：70【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答18【分析】设空闲时段民用电的单价为 x 元/ 千瓦时，高峰时段民用电的单价为 y 元/千瓦时，该用户 5 月份空闲时段用电量为 a 千瓦时，

26、则 5 月份高峰时段用电量为 2a 千瓦时，6 月份空闲时段用电量为 2a 千瓦时，6 月份高峰时段用电量为 a 千瓦时，根据总价单价数量结合 6 月份的电费却比 5 月份的电费少 25%，即可得出关于 x，y 的二元一次方程，解之即可得出 x，y 之间的关系，进而即可得出结论【解答】解：设空闲时段民用电的单价为 x 元/ 千瓦时，高峰时段民用电的单价为 y 元/千瓦时，该用户 5 月份空闲时段用电量为 a 千瓦时，则 5 月份高峰时段用电量为 2a 千瓦时，6 月份空闲时段用电量为 2a 千瓦时，6 月份高峰时段用电量为 a 千瓦时，依题意，得：（125%）（ ax+2ay）2ax+ay，解

27、得：x0.4y，该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低 100%60%故答案为：60%【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次是解题的关键三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上.19【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案（2）根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：（1）原式4a 24a+1a 2+4a3a 2+1；（2）原式 4x；【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型20【分析】（1）根据角平

28、分线的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据三角形的内角和和三角形外角以及平行线的性质解答即可【解答】证明：（1）在 RtABC 中，ACB90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，过点 D作 DEAB 交 AB 于点 E，BEDBCD90，EDDC，在 Rt BED 与 RtBCD 中，RtBEDRtBCD（HL ）；（2）在 Rt ABC 中，ACB90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，A36，ABDDBC27，BDC63，CFBD，CFDBDC63【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答21【分析】（1）用 A 课程人数除以其对应

29、百分比可得总人数，再用 360乘以 D 课程人数占总人数的比例，继而根据各课程人数之和等于总人数求出 C 的人数，据此可补全条形图；（2）用总人数乘以样本中 D 课程人数所占比例【解答】解：（1）本次调查的总人数为 4020%200（人），扇形统计图中 D 部分的圆心角是 360 135，C 课程的人数为 200（40+60+75）25（人），补全图形如下：故答案为：200，135；（2）2600 975，答：估计最喜欢“趣味数学”的学生人数为 975 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项

30、目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22【分析】（1）根据表格的数据即可画出图象（2）由图象可知，当 x4 时，y4由 2012|y|2019，可得 2019y2012 或 2012 y2019，根据图象即可以求 x 的取值范围【解答】解：（1）由表格的数据所画的图象如图所示：（2） 由图象可知，函数解析式为：y|x|当 x4 时，求 y4由 2012|y|2019，可得 2019y2012 或 2012 y2019故所得的 x 的取值范围为：2019x2012 和 2012x2019【点评】此题主要考查函数值对应的函数图象及自变量的取值范围，根据题中表格的数据画出所需的图象即可

31、23【分析】（1）设第一次购进水果 x 千克，则第二次购进（600x）千克，根据单价乘以数量得费用可解；（2）根据售价乘以实际卖出数量减去进价乘以进货数量，分别计算第一次的和第二次的，两者相加等于获利额可解【解答】解：（1）设第一次购进水果 x 千克，根据题意，得：6x+5（600x）3200，解得：x200，答：第一次至多购进水果 200 千克；（2）第一次至多购进水果 200 千克，则第二次购进 400 千克，根据题意，得：（6+2a）200（13%）2006+（5+a）400（15%）4005320031.75% ，解得：a1.5故 a 的值为 1.5【点评】本题属于一元一次不等式和一元

32、一次方程的实际应用问题，需要明确成本与利润问题的基本关系，准确分析数量关系，从而解决问题24【分析】（1）由正方形性质得出 ABBCCDAD4，BD90，ACB ACDBAC ACD45，得出 AC AB4 ，求出AF 3 ，CFACAF ，求出CEF 是等腰直角三角形，得出EF CF ，CE CF2，在 RtAEF 中，由勾股定理求出 AE，即可得出AEF 的周长；（2）延长 GF 交 BC 于 M，连接 AG，则CGM 和CFG 是等腰直角三角形，得出CMCG，CG CF，证出 BMDG，证明 RtAFG RtADG 得出 FGDG，BMFG ，再证明ABE AFH，得出 BEFH，即可得

33、出结论【解答】（1）解：四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDAD4，BD 90，ACB ACDBACACD45，AC AB4 ，4AF3AC 12 ，AF3 ，CFACAF ，EFAC，CEF 是等腰直角三角形，EFCF ，CE CF2，在 Rt AEF 中，由勾股定理得：AE 2 ，AEF 的周长AE+EF+AF2 + +3 2 +4 ；（2）证明：延长 GF 交 BC 于 M，连接 AG，如图 2 所示：则CGM 和CFG 是等腰直角三角形，CMCG，CG CF，BMDG，AFAB，AFAD ，在 Rt AFG 和 RtADG 中， ，RtAFGRtADG（HL），FGDG ， BMF

34、G，BACEAH45，BAE FAH，FGAC，AFH90，在ABE 和AFH 中， ，ABE AFH（ASA ），BEFH ，BMBE+EM，FGFH+HG ，EMHG，ECEM+CM，CMCG CF，ECHG+ FC【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键25【分析】（1）根据分母有理化结果即可判断；（2）原式各项分母有理化后化为两个根式的差，计算即可得到结果（3）将已知等式进行变形，化为 ，由+得 x+y0，即可解答【解答】解：（1）故答案为：（2） 原式 1 （3）

35、 ， ， ，同理： ，+得 ，x+y0，x+y+20192019【点评】本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识：分母有理化解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26【分析】（1）设点 P（x p，y p），Q （x Q，y Q），根据条件表示出yQ xQ+3，y p xp2+ xp+3，将三角形面积表示为 （x p2） 2，求出 P；关于 y 轴的对称点 P，将 BA 绕点 B 逆时针旋转 30，过 P作 PBD

36、，PD 与 x 轴，y 轴分别交于点 T，S；求 PD3+ ；（2）当 BRRR时，当 BRBR 时，当 RRBR 时三种情况求点 S 的坐标，结合三角形的相似或平行线的性质建立比例关系，再利用 RSRS，建立方程求解坐标；【解答】解：（1）由已知可直接求得 A（1，0），B（4，0），C（0，3），设点 P（x p，y p），Q（x Q，y Q），点 P 在抛物线上，y p xp2+ xp+3，PQAC，设直线 AC 的表达式 yk 1x+b1，y3x+3，设直线 BC 的表达式为 yk 2x+b2，y x+3，y Q xQ+3，设直线 PQ 的表达式为 y3x+m ，将点 P 代入表达式得

37、 y3x xp2 xp+3，与 x 轴的交点为（ xp2+ xp1，0），tanCAB ，y Q xQ+33x Q xP2 xP+3，x Q xp2+ xp，y Q xQ+3，凹四边形 PAQB 的面积 AB（y py Q） （ xp2+ xp+3）（ xQ+3） （x p24x p） （x p2） 2，当 xP2 时，面积有最大值；P（2， ），如图 1：关于 y 轴的对称点 P，将 BA 绕点 B 逆时针旋转 30，过 P作 PBD ，PD 与 x 轴，y轴分别交于点 T，S；P（2， ）PSP S，TD TB，PS+ ST+ TBP S+ST+TDPD ，过 P作 PEx 轴，在 Rt

38、PET 中， ETS60，PE ，PT3 ，ET ，BT6 ，在 Rt BTD 中，TD3 ，PD3+ ；（2）如图 2：CEy 轴，过 O作 x 轴垂线与 x 轴交于点 D，两条垂线交于点 E，将AOC 绕点 A 逆时针旋转 45，得到AOC，COE 和ADO都是等腰直角三角形，AO1，CO3，ADOD ，EC OE， ，ECO E ，C（1 ，2 ），A（1，0），直线 AC的解析式为 y2x2，R（0，2）；对称轴 x ，当 BRRR时，如图 3在以 C 因为圆心 CR 为半径的圆上，SR 2SR 2，HS 2+（4+ ） 2（ ） 2+（SH+2） 2，HS6，S（ ，6），当 BRB

39、R时，如图 3SHCO， ，BH4 ，SH ，S（ ， ）；当 RRBR 时，如图 5延长 RC 与圆相交于 S，在 Rt OCH 中，OC 3，OH ，CH ，RCRC 5，RH5+ ，CORK ， ，KH ，R（ ，2 +3），S（ ，32 ）RSRS，（ + ） 2+（2 +3SH） 2（ ） 2+（SH +2） 2，SH ，S（ ， ）；如图 6，RSRS，（ ） 2+（2 +3SH ） 2（ ） 2+（SH2） 2，SH ，S（ ， ）；综上所述，满足条件的 S 有四个 S（ ，6），S（ ， ），S（ ，32 ），S（ ，）；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的存在性，一次函数的图象和性质，平行线的性质，轴对称的性质，最短距离；这是一道综合性强的题，能够画出多种情况的图形，分类讨论，数形结合是解题的关键