江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题含附加题（有答案）

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1、江苏省南通市 2019 届高三适应性考试数学参考公式：球体体积公式： ( 为球的半径).34=rV球 p样本数据 的方差 其中 12nxxL， ， ， 221()niisx， 1nix一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1. 已知集合 ， ，则集合 = 1357A， ， ， 013B， ， AB2. 若 ，其中 为虚数单位， ，则 的值为 i=ab+-iabR， a3. 已知一组数据 7，8，11，14，15，则该组数据的方差为 4. 一个算法的流程图如图所示，则输出的 的值为 5. 函数 的定义域为 2()ln4)

2、fx=-6. 一根绳子长为 5 米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 210xya（ ） 的离心率为 ，则该双曲线的焦距为 238. 某长方体的长、宽、高分别为 2 cm，2 cm，4 cm ，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 9. 已知等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列，则 的所有值为 na41a243a10在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O1： 与圆 O2： 的9xy240xy公共弦的长为 11 若函数 存在零点，且与函数 的零点完全相同，则实2()()fxaR()fx数a 的值为 12如图，在直

3、角ABC 中， ， ，90ACB60AC以 为直径向ABC 外作半圆，点 在半圆4AB P输出 a10na，4结束（第 4 题）开始 3a1nNYA BCP（第 12 题）图B DACFEB（第 15 题）弧 上，且满足 ，则 的值为 ABC=6BPACP13. 在 中，已知 AB 边上的中线 CM ，且 成等差数列，则11tanttanACB， ，的长为 14. 已知函数 ，若存在实数 使得 ，则 a+2b 的最大值()e1xf=-()ab， ()aff=为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满

4、分 14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABBC， ， BEAC，点 F 是 的42BC=CD中点， ， 3EF=5B求证：（1）EF平面 ABD； （2）平面 ABC平面 ADC16 （本小题满分 14 分）在 中，已知 AB = 2 ， ， ABC2cos10B4Cp=（1）求 的长；（2）求 的值sin(2)3p+17 （本小题满分 14 分）如图所示，现有一张边长为 10 cm 的正三角形纸片 ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形 ADA1F1，BD 1B1E，CE 1C1F（剪去的四边形均有一组对角为直角） ，然后把三个矩形 A1B1D1D，B 1C1E1E，A

5、 1C1FF1 折起，构成一个以 A1B1C1 为底面的无盖正三棱柱（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为 3，求该三棱柱的高；（2）求所折成的正三棱柱的体积的最大值18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 经过点 .设椭2:1yxCab=(0)312（ ， ）圆 C 的左顶点为 A，右焦点为 ，右准线与 x 轴交于点 ，且 F 为线段 AM 的中点.FM（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若过点 A 的直线 与椭圆 C 相交于另一点 P（P 在 轴上方） ，直线 PF 与椭圆 Cl x相交于另一点 Q，且直线 与 垂直，求直线 的斜率.lOQ（第 18

6、 题）xO FA MyPQD BC （第 17 题）A1C1B1AED1E1FF119 （本小题满分 16 分）设函数 ，其中 e 为自然对数的底数()eln()xfa=-R（1）当 时，判断函数 的单调性；02lnfxa-20 （本小题满分 16 分）定义：从数列 中抽取 项按其在 中的次序排列形成一个新数列na(3)mN， na，则称 为 的子数列；若 成等差（或等比） ，则称 为 的等差nb nbnbna（或等比）子数列（1） 记数列 的前 项和为 ，已知 nanS21n 求数列 的通项公式； 数列 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请na说明理由（2） 已知数列 的

7、通项公式为 ，证明： 存在等比子数列nna+()Qna2019 届高三适应性考试数学(附加题 )21 【选做题】本题包括 A、 B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）已知 1 是矩阵 的一个特征值，求点（1，2）在矩阵 对应的变换作用下得0aAA到的点的坐标B选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立2sin平面直角坐标系，直线 l 的参数方程 为 （t 为参数） 1

8、32xty，（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长（第 23 题）OFHEAPyBGxC选修 45：不等式选讲（本题满分 10 分）已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 x20xmn|12xmnR，求证： (1)3(1)45x【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22(本小题满分 10 分)已知正四棱锥 的底面边长和高都为 2现从该棱锥的 5 个顶点中随机PABCD选取 3 个点构成三角形，设随机变量 表示所得三角形的面积X（1）求概率 的值；(2)X（2）求随机变量 的概率分布及

9、其数学期望 ()E23(本小题满分 10 分)已知抛物线 C： 的焦点为 F，过 F 且斜率为 的直线 与抛物线 C 交2ypx(0)43l于 A，B 两点，B 在 x 轴的上方，且点 B 的横坐标为 4（1） 求抛物线 C 的标准方程；（2） 设点 P 为抛物线 C 上异于 A，B 的点，直线 PA 与 PB 分别交抛物线 C 的准线于E，G 两点，x 轴与准线的交点为 H，求证：HG HE 为定值，并求出定值CA BDP（第 22 题）2019 届高三适应性考试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 已知集合 ， ，则集合 = 1357A，

10、 ， ， 013B， ， AB【答案】 ，2. 若 ，其中 为虚数单位， ，则 的值为 i=1ab+-iabR， a【答案】-23. 已知一组数据 7，8，11，14，15，则该组数据的方差为 【答案】104. 一个算法的流程图如图所示，则输出的 的值为 a【答案】95. 函数 的定义域为 2()ln4)fx=-【答案】 ，6. 一根绳子长为 5 米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 【答案】 457. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 210xya（ ） 的离心率为 ，则该双曲线的焦距为 23【答案】 4 输出 a10na，4结束 （第 4 题）开始

11、3a1nN Y8. 某长方体的长、宽、高分别为 2 cm，2 cm，4 cm，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 【答案】 6： 3p9. 已知等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列，则 的所有值为 na41a243a【答案】3，410 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O1： 与圆 O2： 的29xy240xy公共弦的长为 【答案】 12511 若函数 存在零点，且与函数 的零点完全相同，则实2()1()fxaR()fx数的值为 a【答案】112如图，在直角ABC 中， ， ，90ACB60AC以 为直径向ABC 外作半圆，点 在半圆4AB P弧 上，且满足 ，则 的值为 C=6P【答

12、案】 713. 在 中，已知 AB 边上的中线 CM ，且 成等差数列，则AB11tanttanACB， ，的长为 【答案】 23解析：在 中，根据中线长公式 ，得 ABC22abcCM22cab由 成等差数列，11tanttan， ，得 ，从而2tttAB，22sin()sico sininicosicoCABCCcabA BCP（第 12 题）B DACFEB（第 15 题）解得， 23c14. 已知函数 ，若存在实数 使得 ，则 a+2b 的最大值()e1xf=-,()ab()aff=为 【答案】 32ln7解析： ，则 ，解得 ， ，()fabte1abt-=ln(1)at=-ln(1

13、+)bt所以 2+2ln()l(+)ln(1)ttt=-设 ，则 2()10gttt-()1312（ ， ）圆 C 的左顶点为 A，右焦点为 ，右准线与 x 轴交于点 ，且 F 为线段 AM 的中点.FM（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若过点 A 的直线 与椭圆 C 相交于另一点 P（P 在 轴上方） ，直线 PF 与椭圆 Cl x相交于另一点 Q，且直线 与 垂直，求直线 的斜率.lOQ【解】 （1）因为 ， ， ，且 F 为 AM 的中点(0)Aa， ()Fc，2(0)aMc，所以 ，则 222+-=即 ，所以 2 分()0caac223bac（第 18 题）xO FA MyPQ因为点

14、 在椭圆上，312（ ， ）所以 ， 4 分294ab+=又因为 ，所以 ，则 ， 23c1c=24a223bac=所以椭圆的标准方程为 6 分24xy（2）由题意直线 AP 的斜率必存在且大于 ，0设直线 AP 的方程为： ，(2)ykx()k代入椭圆方程并化简得： ， 22341610x因为 ，21634Pkx得 ， ， 828228()34Pkky分当 时，PQ 的斜率不存在，此时 不符合题意 214k 0OQAP当 时，直线 PQ 的方程为： ，24(1)kyx因为 ，所以直线 OQ 的方程为： ， 120OQAP分两直线联立解得： ，因为 在椭圆上， 2(4)k， Q所以 ，化简得：

15、 ，即 ，421613k=22(3)(610k6k因为 ，所以 ， 14 分06此时 .2()3Q，直线 的斜率为 . 16 分P619 （本小题满分 16 分）设函数 ，其中 e 为自然对数的底数()eln()xfa=-R（1）当 时，判断函数 的单调性；02lnfa-解：(1) 函数 的定义域为 ()eln()xf-R(0)， +因为 ，所以 ，0a所以 在区间上单调递增 2 分()fx(2) 设切点为 ，则 ，00eln)xa， -00elnexa-=因为 ，所以 ，得 ，()xf=0x-0x所以 4 分00elnexx-设 ，则 ，g()lx=g()1)elnxx=-所以当 时， ，

16、单调递增，01当 时， ， 单调递减，xg()x()所以 6 分max1e=因为方程 仅有一解 ，00lnx- 01x=所以 8 分e(3) 因为 ，e()xxaf-=-设 ，则 ，所以 单调递增e0)xh()1e0xh=+()hx因为 ， ， 10 分(0)a-0hxfxf所以 120min0()()elnffa=-分因为 ，所以 ， ， 140exa-=0exa00lnxa=-分所以 160min000()el(l)ln2lxf xax-+-分20 （本小题满分 16 分）定义：从数列 中抽取 项按其在 中的次序排列形成一个新数列na(3)mN， na，则称 为 的子数列；若 成等差（或等

17、比） ，则称 为 的等差nb nbnbna（或等比）子数列（1） 记数列 的前 项和为 ，已知 nanS21n 求数列 的通项公式； 数列 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请na说明理由（2） 已知数列 的通项公式为 ，证明： 存在等比子数列nna+()Qna解：(1) 因为 ，所以当 时， ， 21S112当 时， ，所以 n1n 11()()2nnna综上可知： 2 分2na假设从数列 中抽 项 ， ， 成等差，3kalm()kl-lk-所以 为偶数， 为奇数，所以 不成立2lk12mk21lmk因此，数列 不存在三项等差子数列 6 分na若从数列 中抽 项，其前三项

18、必成等差数列，不成立(,4)N综上可知，数列 不存在等差子数列 8 分na(2) 假设数列 中存在 项 ， ， 成等比30a0nk0al()k设 ，则 ，故可设 （p 与 q 是互质的正整数） 0nab+Qb则需满足 ， 12 分200()()knal即需满足 ，则需满足 bl22kpkbq取 ，则 14kq2lkpq分此时 ，22 2()()bqpp2qlq故此时 成立2()()bkl因此数列 中存在 项 ， ， 成等比，na30na0k0nal()k所以数列 存在等比子数列 16 分数学( 附加题)21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答已知

19、 1 是矩阵 的一个特征值，求点（1，2）在矩阵 对应的变换作用下得0a A到的点的坐标【解】因为矩阵 A 的特征多项式为 ，1()()202af a因为 1 是矩阵 的一个特征值，所以 ，()f解得 ，所以矩阵 6 分a=102A因此 13024A所以点（1，2）在矩阵 对应的变换作用下得到的点为（3，4） 10 分AB选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立2sin平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 132xty，（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）求直线

20、l 被曲线 C 所截得的弦长【解】 （1）因为曲线 C 的极坐标方程可化为 2sin且 ， 22sinxy，所以曲线 C 的直角坐标方程为 20xy直线 l: （t 为参数）的普通方程为 6 分132xy 32yx（2）圆心 到直线 l: 的距离为 ，(01)， 32x213d又因为半径为 1，所以弦长为 10 分21()C选修 45：不等式选讲（本题满分 10 分）已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 x20xmn|12xmnR，求证： (1)3(1)45x【解】因为关于 的不等式 的解集为 ，x20n|12x所以 3 分=1+3=mn，所以 ，()(1)4234xxx由柯西不等式可得， ，

21、222)(1)(3)(4)5x当且仅当 ，即 时取等号234xx6345，所以， 10 分(1)3(1)45mxnx【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22(本小题满分 10 分)已知正四棱锥 的底面边长和高都为 2现从该棱锥的 5 个顶点中随机PABCD选取 3 个点构成三角形，设随机变量 表示所得三角形的面积X（1）求概率 的值；(2)X（2）求随机变量 的概率分布及其数学期望 ()E解：（1）从 5 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形，共有 种取法其中 的三角形如ABD，3=10C2X这类三角形共有 个34因此 42105PX分（

22、2）由题意， 的可能取值为 ，2， 其中 的三角形是侧面，这类三角形共有 4 个；5X其中 的三角形有两个，PAC 和PBD2因此 ， 85P125PX分所以随机变量 的概率分布列为：X52 2P15所求数学期望= 10()EX212+45=5分23(本小题满分 10 分)CA BDP（第 22 题）（第 23 题）OFHEAPyBGx已知抛物线 C： 的焦点为 F，过 F 且斜率为 的直线 与抛物线 C 交2ypx(0)43l于 A，B 两点，B 在 x 轴的上方，且点 B 的横坐标为 4（1） 求抛物线 C 的标准方程；（2） 设点 P 为抛物线 C 上异于 A，B 的点，直线 PA 与

23、PB 分别交抛物线 C 的准线于E，G 两点，x 轴与准线的交点为 H，求证：HG HE 为定值，并求出定值【解】 （1）由题意得： ，(0)2pF，因为点 B 的横坐标为 4，且 B 在 x 轴的上方，所以 ，(48)p，因为 的斜率为 ，A3所以 ，整理得： ，842p280p即 ，得 ，()()0抛物线 C 的方程为： 424yx分（2）由（1）得： ， ，准线方程 ，()B， (10)F， 1x直线 的方程： ，l43yx由 解得 或 ，于是得 62(1)4yx， 41()4A，分设 点 ， 又 题 意 且 ，2()4nP， 1n4所 以 直 线 ： ，令 ，得 ，A4()yx1x41ny即 ， 8 分1nHE同理可得： ，4GHG HE 101n分