2019年中考压轴题专项突破训练:二次函数(提高篇)(附答案)
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1、 2019 年中考压轴题专项突破训练:二次函数1 (2019鄞州区一模)如图,抛物线 M1: y x24 与 x 轴的负半轴相交于点 A,将抛物线M1平移得到抛物线 M2: y ax2+bx+c, M1与 M2相交于点 B,直线 AB 交 M2于点 C(8, m) ,且 AB BC(1)求点 A, B, C 的坐标;(2)写出一种将抛物线 M1平移到抛物线 M2的方法;(3)在 y 轴上找点 P,使得 BP+CP 的值最小,求点 P 的坐标解:(1) M1: y x24 与 x 轴的负半轴相交于点 A, A(2,0) , AB BC, C(8, m) , B(3, ) ,设 AB 直线解析式为
2、 y kx+b, , , y x+ , y x24 与 y x+ 相交于点 A 和 B, x2 x+ 40, x1+x2 1, m10, B(3,5) , C(8,10) ;(2)抛物线 M1平移得到抛物线 M2, a1, B(3,5) , C(8,10)在抛物线 y x2+bx+c 上, , , y x210+26( x5) 2+1,由 M1平移得到抛物线 M2先向右平移 5 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度;(3)作点 B 关于 y 轴的对称点 B,连接 CB与 y 轴的交点即为 P, B(3,5) ,设直线 BC 的直线解析式为 y mx+n, , , y x+ , P(0, )2
3、 (2019芜湖二模)如图,抛物线 y x2+bx+c 经过点 B(0,3)和点 A(3,0) (1)求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式;(2)若点 P 是抛物线落在第一象限,连接 PA, PB,求 PAB 的面积 S 的最大值及此时点 P 的坐标解:(1)抛物线 y x2+bx+c 经过点 B(0,3)和点 A(3,0) , ,解得 ,抛物线的函数表达式是 y x2+2x+3;设直线 AB: y kx+m,根据题意得 ,解得 ,直线 AB 的函数表达式是 y x+3;(2)如图,过 P 点作 PN OA 于 N,交直线 B 于 M,设点 P 横坐标为 a,则点 P 的坐标为( a, a2
4、+2a+3) ,点 M 的坐标是( a, a+3) ,又点 P, M 在第一象限, PM a2+2a+3( a+3) a2+3a, S PAB S PAM+S PBM PMOA ( a2+3a)3 ( a ) 2+ ,当 a 时, S PAB有最大值,最大值为 ,此时点 P 坐标为( , ) 3 (2019虞城县一模)如图,抛物线 y ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A( x1,0) 、 B( x2,0) ,与 y 轴交于点 C(0, x2) ,且 x10 x2,tan OAC3, ABC 的面积为 6(1)求抛物线的解析式(2) D 为抛物线上一点, E 为抛物线的对称轴上一点,若以 B
5、、 C、 D、 E 为顶点的四边形为平行四边形,求点 E 的坐标(3)抛物线上是否存在一点 P,使得 APB ACO 成立?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由题意得, x2 3x1, S ABC6, , , x10 x2, x11, x23, A(1,0) , B(3,0) , C(0,3) ,设抛物线的解析式为 y a( x+1) ( x3) ,3 a(0+1) (03) , a1,抛物线的解析式为 y( x+1) ( x3) ,即 y x22 x3;(2)如图 1,如图 2,若 BC 为平行四边形的一边,则 DE BC,且 DE BC, y x22 x3( x1)
6、 24,抛物线的对称轴为直线 x1,点 E 的横坐标为 1,点 D 的横坐标为2 或 4, D1 (2,5) , D2 (4,5) , E1 (1,8) , E2 (1,2) ,如图 3,若 BC 为平行四边形的一条对角线,则 BE CD,设 BC、 DE 交于点 F,则点 F 的横坐标为 ,点 D 的横坐标为 2, D(2,3) , CD x 轴,点 E 在 x 轴上, E3 (1,0) (3)存在点 P 的坐标使得 APB ACO 成立,如图 4,以 AB 为底边,作顶角为 2 ACO 的等腰三角形 MAB,以 M 为圆心, MA 为半径作 M,与抛物线的交点为 P 满足 APB ACO,
7、当点 M 在 AB 上方时,易知 M(1,6) 设 P( x, y) ,其中 y x22 x3,由 MP MA,得( x1) 2+( y6) 2(1+1) 2+62,即 x22 x+1+y212 y+3640, y+3+1+y212 y4, y211 y0, y0(舍去)或 y11,由 x22 x311 解得 , P1 , 4 (2019余姚市一模)如图,平面直角坐标系中, A(5,0) , B(2,3) ,连结 OB 和 AB,抛物线 y x2+bx 经过点 A(1)求 b 的值和直线 AB 的解析式;(2)若 P 为抛物线上位于第一象限的一个动点,过 P 作 x 轴的垂线,交折线段 OBA
8、 于Q当点 Q 在线段 AB 上时,求 PQ 的最大值解:(1)把 A(5,0)代入抛物线 y x2+bx 中得:5 2+5b0,解得 b5,设直线 AB 的解析式为 y kx+n,把 A(5,0) , B(2,3)代入得: ,解得 ,直线 AB 的解析式为 y x+5;(2)设 P( m, m2+5m) ,则 Q( m, m+5) , PQ m2+6m5(2 m5) ,由 PQ m2+6m5( m3) 2+4 可知,当 m3 时, PQ 有最大值为 45 (2019双流区一模)如图,在平面直角坐标系中, ABC 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上,顶点 B 在 y 轴的负半轴上,边 AC 交
9、y 轴的正半轴于点 E,抛物线 y ax2+bx4 经过点B,且与直线 AB 只有一个公共点,点 D 是抛物线与 x 轴正半轴的交点已知 BAC90, AB AC,点 A 的坐标为(2,0) ,点 D 的坐标为(3,0) (1)求此抛物线的表达式;(2)若 P 是抛物线上的一点,使得锐角 PBE ABE,求点 P 的横坐标 xp的取值范围;(3)将 ABC 沿 BC 所在直线进行翻折,使点 A 落在点 F 处,过点 F 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M,将抛物线沿其对称轴向下平移,使抛物线与线段 AM 总有两个公共点,则抛物线向下最多可平移多少个单位长度?解:(1)在 y ax2+bx
10、4 中,令 x0,得 y4,点 B 的坐标为(0,4) ,设直线 AB 的表达式为 y kx+m,则 ,解得 ,直线 AB 的表达式为 y2 x4,令 ax2+bx42 x4,得 ax2+( b+2) x0, 抛物线与直线 AB 只有一个公共点,( b+2) 20, b2,抛物线过点 D(3,0) ,9 a+3b40,把 b2 代入,得 a ,所求抛物线的表达式为 y x22 x4;(2)抛物线与直线 AB 只有一个公共点, y 轴左侧的抛物线上所有的点都满足 PBE ABE,此时 xp0,当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上时,在 OD 上取点 G,使 OG OA,连结 BG 并延长交抛物线于
11、点 H,则 G(2,0) , HBE ABE,易得直线 BH 的表达式为 y2 x4,由 x22 x42 x4,解得 x0(舍去)或 x ,显然,当 xp 时, PBE ABE,综上所述,满足条件的点 P 的横坐标 xp的取值范围为 xp0 或 xp ;(3)根据 题意,翻折后得到的四边形 ABFC 是正方形(如图 2) ,易得直线 AC 的表达式为 y x+1,设抛物线沿其对称轴向下平移 n( n0)个单位,则平移后抛物线的表达式为 y x22 x4 n,设直线 MF 交 x 轴于点 N, OB4, OA2,易得 OE1, AE , ACD AOE, ,即 , CD AC , FD , FD
12、 AE DNF EOA( AAS) , DN OE1, ON OD+DN3+14,点 M 的横坐标为 4,把 x4 代入直线 AC 的表达式,得 y3,点 M 的坐标为(4,3) ,对于抛物线 y x22 x4 n,当 x2 时, y n;当 x4 时, y n,要使抛物线与线段 AM 总两个有公共点,必须 n0 且 n3即 n 且 n ,0 n 抛物线向下最多可平移 个单位长度6 (2019包河区一模)如图,抛物线 y ax2+bx+3 经过点 A(1,0) 、 B(4,0) E 是线段 OB 上一动点(点 E 不与 O、 B 重合) ,过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D,交线段BC
13、 于点 G、过点 D 作 DF BC,垂足为点 F(1)求该抛物线的解析式;(2)试求线段 DF 的长 h 关于点 E 的横坐标 x 的函数解析式,并求出 h 的最大值解:(1)抛物线 y ax2+bx+3 经过点 A(1,0) 、 B(4,0) , ,解得 ,该抛物线的解析式 ;(2) DE AB, OC AB, OC DE, DGF OCB , DF BC,sin OCBsin DGF, , DF , OC3, OB4, BC5, DF DG, B(4,0) 、 C(0,3) ,直线 BC: ,设 G( x, ) ,则 D( x, ) , DG ( )h ( )当 x2 时, h 有最大值
14、,最大值为 7 (2019十堰模拟)已知抛物线 y ax2+bx+3 过点 E(2,3) ,与 x 轴交于点A, B(1,0) ,交 y 轴于点 C,顶点为 D(1)求抛物线解析式;(2)在第一象限内的抛物线上求点 M,使 S ACM S ACD,求点 M 的坐标;(3) F 是第一象限内抛物线上一点, P 是线段 AD 上一点,点 Q( m,0)在 A 点右侧,且满足 FDP FPQ PAQ,当 m 为何值时,满足条件的点 P 只有一个?解:(1)抛物线 y ax2+bx+3 过点 E(2,3) ,与 x 轴交于点 A, B(1,0) ,解得: a1, b2所求抛物线解析式为: y x22
15、x+3(2)如图 1过点 D 作 DH y 轴交 y 轴于点 H,由(1)可得, D(1,4) , C(0,3) , A(3,0) DH HC1, OA OC3又 DHC AOC90 DHC 和 AOC 都是等腰直角三角形 DCH ACO45, DC , AC ACD90, DC AC,延长 DC 至 N 使 CN DC N(1,2) ,过点 N 作 NM AC 交抛物线于点 M, , S ADC S ACM由题意可知直线 AC 的解析式为: y x+3设直线 MN 的解析式为: y x+b,且点 N(1,2)在直线 MN 上, b1直线 NM 的解析式为: y x+1由 ,解得:所求点 M
16、的坐标为: ;(3)如图 2,延长 DF 交 x 轴于点 E,过点 D 作 DG x 轴交 x 轴于点 G, FDA PAQ, EA ED设 OE a,则 EA ED a+3, GE a+1,在 Rt DGE 中, DG2+GE2 DE2,42+( a+1) 2( a+3) 2,解得 a2 E(2,0)直线 DE 的解析式为:联立 ,解得: F 是第一象限内抛物线上一点, APF 是 DPF 的一个外角, APF FDP+ PFD APQ+FPQ FDP+ PFD FPQ FDP FDP PAQ易得, AD , DF ,设 DP x,则 PA ,则 AQ m+3, ,整理得当0 时,满足条件的
17、 P 只有一个,解得: 8 (2019南充模拟)如图,抛物线 y ax2+bx3 与 x 轴交于 A(1,0) , B(3,0) ,与y 轴交于点 C,顶点为 D(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标(2)在线段 BC 下方的抛物线上,是否存在异于点 D 的点 E,使 S BCE S BCD?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由(3)点 M 在抛物线上,点 P 为 y 轴上一动点,求 MP+ PC 的最小值解:(1)将 A(1,0) , B(3,0)代入 y ax2+bx3,得:,解得: ,抛物线的解析式为 y x22 x3 y x22 x3( x1) 24,顶点 D 的坐标为(1
18、,4) (2)当 x0 时, y x22 x33,点 C 的坐标为(0,3) 过点 D 作 DE BC,交抛物线于点 E,则 S BCE S BCD,如图 1 所示设直线 BC 的解析式为 y kx+c( k0) ,将 B(3,0) , C(0,3)代入 y kx+c,得:,解得: ,直线 BC 的解析式为 y x3 BC DE,设直线 DE 的解析式为 y x+d,将 D(1,4)代入 y x+d,得:41+ d,解得: d5,直线 DE 的解析式为 y x5连接直线 DE 和抛物线的解析式成方程组,得: ,解得: , ,在线段 BC 下方的抛物线上,存在异于点 D 的点 E,使 S BCE
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