四川省绵阳市2019届高三第三次诊断性考试数学理科试题（含答案解析）

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1、第 1 页，共 10 页2019 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 M=x|1x3，N=1，2，则 MN=（ ）A. B. C. 0 D. 1 1,2 1,22. i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i ）= i，则|z|=（ ）A. B. C. 1 D. 12 22 23. 中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系如图所示的折线图是 2017 年和 2018 年的中国仓储指数走势情况根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）A. 2018 年 1 月至 4 月的仓储指数比 201

2、7 年同期波动性更大B. 这两年的最大仓储指数都出现在 4 月份C. 2018 年全年仓储指数平均值明显低于 2017 年D. 2018 年各仓储指数的中位数与 2017 年备月仓储指数中位数差异明显4. 已知变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值为（ ）0|1+20A. 10 B. 5 C. 4 D. 25. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则 g（x）的解析式为（ ()=(2+6) 6）A. B. C. D. ()=2 ()=2 ()=2 ()=(2+3)6. 已知a n是正项等比数列，且 a1a8=4a5，a 4 与 2a6 的等差中项为 18，则 a5

3、=（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 167. 函数 f（x） =xln|x|的大致图象是（ ）A. B. C. D. 8. 已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为 6，8，12，则铁球的直径最大只能为（ ）A. B. 2 C. D. 43 59. 已知双曲线 E： （ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，以原点 O 为圆心，OF 1 为半径作圆，2222=1与双曲线 E 相交，若顺次连接这些交点和 F1，F 2 恰好构成一个正六边形，则双曲线 E 的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 33 3+110. 在（1+ -x） 5

4、的展开式中，x 2 项的系数为（ ）2A. B. C. 30 D. 5050 3011. 若 x，y，zR +，且 3x=4y=12z， （n，n+1 ），nN，则 n 的值是（ ）+A. 2 B. 3 C. 4 D. 512. 已知抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，若在以线段 AB 为直径的圆上存在两点 M、N，在直线 l：x+y+a=0 上存在一点 Q，使得MQN =90，则实数 a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 13,3 3,1 3.13 13.13二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 函

5、数 f（x） = ，则 f（9）=_21,140则 X 的所有取值分别为 228，234，240，247，254，其分布列为：日工资 228 234 240 247 254概率 P 110 15 15 25 110E（ X）=228 +234 +240 +247 +254 =241.8110 15 15 25 110设甲公司货车司机日工资为 Y，日中转车数为 ，则 Y=4+80，则 Y 的所有可能取值为 232，236，240，244，248，则分布列为：日工资 232 236 240 244 248概率 P 15 310 15 15 110E（Y） = +248 =238.823215+23

6、6310+24015+24415 110由 E（X）E（ Y），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司【解析】（1）设“这三天中 转车数都不小于 40”的事件为 A，利用古典概型、排列 组合知识能求出这 3 天中转车数都不小于 40 的概率 （2）设乙公司货车司机中转货车数为 t，则 X 的所有取值分别为 228，234，240，247，254，求出其分布列和 E（X）；设甲公司货车司机日工资为 Y，日中转车数为 ，则 Y=4+80，则 Y 的所有可能取值为 232，236，240，244，248，求出其分布列和 E（Y），由 E（X）E（Y），从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司本题

7、考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考 查推理推论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19.【答案】证明：（1）过 P 作 POAD，垂足为 O，连结 AO，BO ，由PAD=120，得 PAO=60，在 RtPAO 中，PO=PAsinPAO=2sin60=2 = ，32 3BAO=120，BAO =60，AO =AO，PAOBAO， BO=PO= ，3E， F 分别是 PA，BD 的中点，EF= ，62EF 是PBD 的中位线， PB=2EF=2 = ，62 6PB2=PO2+BO2， POBO，ADBO=O， PO平面 ABCD，又 PO平面 PAD

8、，平面 PAD平面 ABCD解：（2）以 O 为原点，OB 为 x 轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，0， ），B（ ，0，0），D （0 ，3，0），3 3E（ 0， ），F（ ， ），32， 32 32 32， 0=（0， ）， =（ ， ，0）， 12， 32 32 12平面 ABCD 的一个法向量 =（0，0，1），设平面 ACE 的法向量 =（x，y，z），第 9 页，共 10 页则 ，取 x=1，得 =（1，- ，1），=12+32=0=32+12=0 3设锐二面角的平面角的大小为 ，则 cos=|cos |= = ， | 55锐

9、二面角 E-AC-D 的余弦值为 55【解析】（1）过 P 作 POAD，垂足为 O，连结 AO，BO，推导出 PO=PAsinPAO= ，BAO=60，AO=AO，从而PAO BAO，进而 BO=PO= ，推导出 POBO，从而 PO平面 ABCD，由此能证明平面 PAD平面 ABCD（2）以 O 为原点，OB 为 x 轴， OD 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角 E-AC-D 的余弦 值本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档 题20.【答案】解：

10、（1）由题意，得焦距 2c=2 ， ，5=2c=2 ，且点 B 为线段 AP 的中点，5点 P（0，2 ），A（a，0），3PA=2PB，B（ ， ），2 3点 B（ ， ）在椭圆 E 上，2 3c= ，且 + =1，524232又 a2=b2+c2，即 a2=b2+5， ，联立解得 b2=4，a 2=b2+c2=9，椭圆 E 的方程为 + =12924（2）由题可得 SPAN=6SPBM，即 |PA|PN|sinAPN=6 |PB|PM|sinBPM，12 12|PN|=3| |， ，=3设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），于是 =（x 1，y 1-2 ）， =（x 2，y 2-

11、2 ）， 3 3（ x1，y 1-2 ）=3（x 2，y 2-2 ），3 3x1=3x2，即 =3，21于是 + = ，2112103即 = ，(1+2)212 163联立 ，消去 y，整理得（9k 2+4）x 2+36 kx+72=0，=+2329+24=1 3由=（36 k） 2-4（9k 2+4）72 0，解得 k2 ，389x1+x2=- ，x 1x2= ，36392+4 7292+4代入可解得 k2= ，满足 k2 ，329 89k= ，423即直线 l 的斜率 k= 423【解析】（1）根据题意可得 c= ，再根据点 B 在椭圆上，以及 a2=b2+c2，即可求出 b2=4，a2=

12、9，可得 椭圆方程，（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），根据题意可得 ，可得 x1=3x2，即 =3，再根据韦达定理，即可求出 k 的值本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，突出考查了数形结合和等价转化等数学思想方法，属于中档题21.【答案】解：（1）函数 ，x0，f（x）=x- alnx，()=122+2()函数 有两个不同的极值点 x1，x 2，且 x1x 2()=122+2()f（x）=x- alnx=0 有两个不等根，令 g（x）=x- alnx，则 = ，（x 0），()=1第 10 页，共 10 页当 a0 时，得 g（x ）0，则 g（x ）在（0，

13、+ ）上单调递增，g（ x）在（0，+）上不可能有两个零点当 a0 时，由 g（x）0，解得 xa，由 g（x ） 0，解得 0xa，则 g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，要使函数 g（x）有两个零点，则 g（a）=a-alna0，解得 ae，实数 a 的取值范围是（e，+）证明：（2）由 x1，x 2 是 g（x ）=x- alnx=0 的两个根，则 ，两式相减，得 a（ln x2-lnx1）=x 2-x1），2=21=1即 a= ，即证 x1x2 ，即证（ln ）（ ）= ，1121 (21)2(21)2 21 2121 212+12由 x1x 2，得 =t1，只需证

14、 ln2t-t- ，21 1+2设 g（t）=ln 2t-t- ，则 g（t ）= = ，1+2 21+121(2+1)令 h（t）=2lnt -t+ ，h（t）= =-（ ） 20，1 2112 11h（ t）在（1， +）上单调递减，h（t）h（1）=0，g （ t）0，即 g（t）在（1，+）上是减函数，g（ t）g（1 ）=0 ，即 ln2tt-2+ 在（1，+ ）上恒成立，1x1x2a 2【解析】（1）推导出 f（x）=x-alnx=0 有两个不等根，令 g（x）=x-alnx，则 = ，（x0），根据 a0，a0 分类讨论，结合导数的性质能求出实数 a 的取值范围（2）由 x1，x

15、2 是 g（x）=x-alnx=0 的两个根，得到 a= ，证（ln ）（ ）=，由 x1x 2，令 =t1，只需 证 ln2t-t- ，设 g（t）=ln2t-t- ，则 g（t）= ，利用导数性质能证明 x1x2a 2本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的 单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考 查分类讨论 与整合能力，是难题22.【答案】解：（1）由题意得 （1+cos2）=8sin，得 2cos2=8sin，得 2cos2=4sin，x=cos，y=sin，x 2=4y，即曲线 C 的普通方程为 x2=4y（2）由题意可知，直线 l 与 y

16、轴交于点 F（0，1）即为抛物线 C 的焦点，令|FA|=|t 1|，| FB|=|t2|，将直线 l 的参数方程 代入 C 的普通方程 x2=4y 中，=1+整理得 t2cos2-4tsin-4=0，由题意得 cos0，根据韦达定理得：t 1+t2= ， t1t2= ，42 42|FA|FB|=|t1|t2|=|t1t2|= 4，（当且仅当 cos2=1 时，等号成立），42当 |FA|FB|取得最小值时，直线 l 的直角坐标方程为 y=1【解析】（1）由题意得 （1+cos2）=8sin，得 2cos2=8sin，得2cos2=4sin，x=cos，y=sin，x2=4y， （2）根据韦达

17、定理和参数的几何意义可得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：（1）当 m=1 时，f （x）=|2x-1|+|x+1|，当 x-1 时，f（x）=-3x 3，解得 x-1，当-1x 时， f（x）=-x+23 ，解得 x-1，与-1x 矛盾，舍去，12 12当 x 时，f（x ）=3x 3，解得 x1，12综上，不等式 f（x ）3 的解集为 x|x-1 或 x1；证明（2）：2f（x ）=|4 x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|2x-1|+|2x+2m|2x+2m-2x+1|=|2m+1|=|（m+1）+m|m+1|-|m|，对任意 xR， 2f（x ）| m+1|-|m|【解析】（1）m=1 时函数 f（x）=|2x-1|+|x+1|，利用分段讨论法去掉绝对值，解对应的不等式即可； （2）根据绝对值三角不等式即可证明本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题