2019年北京市海淀区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1（2 分）如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（ ）A90 B60 C45 D302（2 分）若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 13（2 分）实数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a| |b|，则下列结论中错误的是（ ）Aa+ b0 Ba+c0 Cb+c0 Dac 04（2 分）已知一个正多边形的内角和是 540，则这个正多边形的一个外角是（ ）A45 B60 C72 D905（2 分）2019 年 2 月，美国宇航局（NASA）的卫星

2、监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的 9%，但过去 20 年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为 6560000m2，则过去 20 年间地球新增植被的面积约为（ ）A6.5610 6m2 B6.5610 7m2 C210 7m2 D210 8m26（2 分）如果 a2ab10，那么代数式 的值是（ ）A1 B1 C3 D37（2 分）下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ）A2018 年与 2017 年相

3、比，我国网约出租车客运量增加了 20%以上B2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足 60%C2015 年至 2018 年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D2015 年至 2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加8（2 分）如图 1，一辆汽车从点 M 外进入路况良好的立交桥，图 2 反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系，根据图 2，这辆车的行车路线最有可能是（ ）A BC D二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）9（2 分）如图为某几何体的展开图，该几何体的名称是 10（2 分）如图是北京故宫博物馆 2018

4、 年国庆期间客流指数统计图（客流指数是指景区当日客流量与 2018 年 10 月 1 日客流量的比值）根据图中信息，不考虑其他因素，如果小宇想在今年国庆期间游客较少时参观故宫，最好选择 10 月 日参观11（2 分）如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为（6，1），表示中堤桥的点的坐标为（1，2）时，表示留春园的点的坐标为 12（2 分）用一组 a、b 的值说明命题“若 ab，则 a2b 2”是错误的，这组值可以是a ，b 13（2 分）如图，AB 是 O 的直径，C、D 为O 上的点，若CAB20

5、，则D 14（2 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 CD 的延长线上一点，连接 BE 交边 AD 于点F，若 AB4，BC6，DE2，则 AF 的长为 15（2 分）2019 年 2 月，全球首个 5G 火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中 5G网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 8 千兆数据，5G 网络快720 秒，求这两种网络的峰值速率，设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆，依题意，可列方程为 16（2 分）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为 3 元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满

6、30 元减 12 元，满60 元减 30 元，满 100 元减 45 元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为 元菜品 单价（含包装费） 数量水煮牛肉（小） 30 元 1醋溜土豆丝（小） 12 元 1豉汁排骨（小） 30 元 1手撕包菜（小） 12 元 1米饭 3 元 2三、解答题（共 68 分）17（5 分）计算：4sin60 +（ 1） 0 +| 1| 18（5 分）解不等式组： 19（5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P求作：直线 PQ，使 PQl作法：如图 2，

7、在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A、B 两点；连接 PA，以 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q；作直线 PQ；所有直线 PQ 就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：连接 PB、QB PAQB ， PBA QPB（ ）（填推理的依据）PQl（ ）（填推理的依据）20（5 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+2ax+c0（1）若方程有两个相等的实数根，请比较 a、c 的大小，并说明理由；（2）若方程有一个根是 0，求此时方程的另一个根21（5 分）如图，在

8、四边形 ABCD 中，ABCD，ABBC2CD，E 为对角线 AC 的中点，F 为边 BC 的中点，连接 DE、EF（1）求证：四边形 CDEF 为菱形；（2）连接 DF 交 BC 于点 G，若 DF2，CD ，求 AD 的长22（5 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，在O 的切线 CM 上取一点P，使得 CPBCOA（1）求证：PB 是O 的切线；（2）若 AB4 ，CD6，求 PB 的长23（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y2x+b 经过点 A（1，m）、B（1 ，1）（1）求 b 和 m 的值；（2）将点 B 向右平移到 y 轴上，得到点 C，设点 B

9、 关于原点的对称点为 D，记线段 BC与 AD 组成的图形为 G直接写出点 C、D 的坐标；若双曲线 y 与图形 G 恰有一个公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围24（6 分）如图 1，线段 AB 及一定点 C、P 是线段 AB 上一动点，作直线 CP，过点 A作 AQ CP 于点 Q，已知 AB7cm，设 A、P 两点间的距离为 xcm，A、Q 两点间的距离为 y1cm，P、Q 两点间的距离为 y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1、y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到

10、了 y1、y 2 与 x 的几组对应值 x/cm 0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7y1/cm 0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78y2/cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 4.20 5.33 6.41（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1），（x，y 2），并画出函数 y1， y2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APQ 中有一个角为 30时，AP 的长度约为 cm25（6 分）为迎接 2022 年冬奥

11、会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 400 名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40x50，50x 60，60x 70，70x80，80x90，90x100）b甲学校学生成绩在 80x90 这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 8485 86 86.5 87 88 88.5 89

12、89c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下：平均数 中位数 众数 优秀率83.3 84 78 46%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生 A，乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）（3）若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选26（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）经

13、过点 A（0，3）和 B（3 ，0）（1）求 c 的值及 a、b 满足的关系式；（2）若抛物线在 A、B 两点间从左到右上升，求 a 的取值范围；（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点 M（1+m，n）、N（4m，n）？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和 n 的值，若不能，请说明理由27（7 分）如图，在等腰直角ABC 中，ABC 90，D 是线段 AC 上一点（CA2CD），连接 BD，过点 C 作 BD 的垂线，交 BD 的延长线于点 E，交 BA 的延长线于点 F（1）依题意补全图形；（2）若ACE，求ABD 的大小（用含 的式子表示）；（3）若点 G 在线段 CF 上，CG

14、BD，连接 DG判断 DG 与 BC 的位置关系并证明；用等式表示 DG、CG、AB 之间的数量关系为 28（7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的直线 l 和图形 M，给出如下定义：P1、P 2、 Pn1 、P n 是图形 M 上 n（n3）个不同的点，记这些点到直线 l 的距离分别为 d1、d 2、d n1 、d n，若这 n 个点满足 d1+d2+dn1 d n，则称这 n 个点为图形 M 关于直线 l 的一个基准点列，其中 dn 为该基准点列的基准距离（1）当直线 l 是 x 轴，图形 M 上有三点 A（1，1）、B（1，1）、C（0，2）时，判断 A、B 、C 是否为图形 M 关于

15、直线 l 的一个基准点列？如果是，求出它的基准距离；如果不是，请说明理由；（2）已知直线 l 是函数 y x+3 的图象，图形 M 是圆心在 y 轴上，半径为 1 的T，P 1、P 2、 、P n1 、P n 是 T 关于直线 l 的一个基准点列若 T 为原点，求该基准点列的基准距离 dn 的最大值；若 n 的最大值等于 6，直接写出圆心 T 的纵坐标 t 的取值范围2019 年北京市海淀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）1（2 分）如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（ ）A90 B60 C45 D30【分析】观察图形，直接判断结果【解答】

16、解：观察图形，张开的两脚所形成的角大约是 60，故选：B【点评】本题考查了角的概念，正确的识别图形是解题的关键2（2 分）若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 1【分析】根据二次根式有意义的条件可求出 x 的取值范围【解答】解：由题意可知：x10，解得 x1故选：A【点评】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义本题属于基础题型3（2 分）实数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a| |b|，则下列结论中错误的是（ ）Aa+ b0 Ba+c0 Cb+c0 Dac 0【分析】根据|a| |b|，

17、确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答【解答】解：|a| |b|，原点在 a，b 的中间，如图，由图可得：|a| |c|，a+c 0，b+ c0，ac0，a+b0，故选项 A 错误，故选：A【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置4（2 分）已知一个正多边形的内角和是 540，则这个正多边形的一个外角是（ ）A45 B60 C72 D90【分析】根据多边形的内角和公式（n2）180求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的 360，依此可以求出多边形的一个外角【解答】解：正多边形的内角和是 540，多边形的边数为 540180+25，多边形的外角和都是 360，多边形的

18、每个外角360572故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中5（2 分）2019 年 2 月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的 9%，但过去 20 年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为 6560000m2，则过去 20 年间地球新增植被的面积约为（ ）A6.5610 6m2 B6.5610 7m2 C210 7m2 D210 8m2【分析】科学记数法的表示形式为 a10n

19、的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：过去 20 年间地球新增植被的面积6560000319680000m 2210 7m2故选：C【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值6（2 分）如果 a2ab10，那么代数式 的值是（ ）A1 B1 C3 D3【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后

20、根据 a2ab10，即可求得所求式子的值【解答】解：a（ab）a 2ab，a 2ab10，a 2ab1，原式1，故选：B【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法7（2 分）下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ）A2018 年与 2017 年相比，我国网约出租车客运量增加了 20%以上B2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足 60%C2015 年至 2018 年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D2015 年至 2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐

21、年增加【分析】根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决【解答】解：2018 年与 2017 年相比，我国网约出租车客运量增加了不足 20%，故选项A 错误，2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例超过 60%，故选项 B 错误，2015 年至 2018 年，我国出租车客运的总量发生了变化，故选项 C 错误，2015 年至 2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加，故选项D 正确，故选：D【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答8（2 分）如图 1，一辆汽车从点 M 外进入路况良

22、好的立交桥，图 2 反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系，根据图 2，这辆车的行车路线最有可能是（ ）A BC D【分析】由图 2 可得，行车速度在途中迅速减小并稳定了 100 多米然后又迅速提升，说明应该是进行一次性的拐弯，再对 4 个选项进行排除选择【解答】解：A行车路线为直线，则速度一直不变，排除；B进入辅路后向右转弯，速度减小应该不大，排除；C向前行驶然后拐了两次弯再掉头行驶，中间速度应该有两次变大变小的波动呢，排除；D向前行驶拐了个较大的弯再进入直路行驶，满足图 2 的速度变化情况故选：D【点评】本题考查了函数图象的应用，正确理解函数图象的自变量和函

23、数关系并对照实际问题进行分析是解题关键二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）9（2 分）如图为某几何体的展开图，该几何体的名称是 圆柱 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图【解答】解：由展开图可得此几何体为圆柱故答案为：圆柱【点评】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力10（2 分）如图是北京故宫博物馆 2018 年国庆期间客流指数统计图（客流指数是指景区当日客流量与 2018 年 10 月 1 日客流量的比值）根据图中信息，不考虑其他因素，如果小宇想在今年国庆期间游客较少时参观故宫，最好选择 10 月 7 日参观【分析】1 号客流量是 1.00，

24、所以每日的客流量等于当日客流指数；【解答】解：客流指数是指景区当日客流量与 2018 年 10 月 1 日客流量的比值，而 1号客流量是 1.00，每日的客流量等于当日客流指数，7 日客流量少，旋转 7 日去；故答案为 7；【点评】本题考查折线统计图，客流指数与图象的关系；能够将客流指数与客流量进行转换是解题的关键11（2 分）如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为（6，1），表示中堤桥的点的坐标为（1，2）时，表示留春园的点的坐标为 （9，1） 【分析】根据表示西桥的点的坐标为（6，1），表示中堤

25、桥的点的坐标为（1，2）建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置，进而可确定表示留春园的点的坐标【解答】解：根据题意可建立如下所示平面直角坐标系，则表示留春园的点的坐标为（9，1），故答案为（9，1）【点评】此题考查坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和 x，y 轴的位置12（2 分）用一组 a、b 的值说明命题“若 ab，则 a2b 2”是错误的，这组值可以是a 1 ，b 2 【分析】举出一个反例：a1，b2，说明命题“若 ab，则 a2b 2”是错误的即可【解答】解：当 a1，b2 时，满足 ab，但是 a2b 2，命题“若 ab，则 a2b 2”是错误的故答案为：1、2（答案不唯一）【

26、点评】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可13（2 分）如图，AB 是 O 的直径，C、D 为O 上的点，若CAB20，则D 110 【分析】AB 为O 直径，ACB90，求出B 的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出ADC 的度数【解答】解：AB 为O 直径，ACB90，CAB20，B902070，在圆内接四边形 ABCD 中，ADC18070110故答案是：110【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用14（

27、2 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 CD 的延长线上一点，连接 BE 交边 AD 于点F，若 AB4，BC6，DE2，则 AF 的长为 4 【分析】由四边形 ABCD 是矩形，推出 BCAD 6，ABCE，设 AFx，则DF6x 由 ABDE，可得 ，由此构建方程即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，BCAD6，AB CE，设 AFx，则 DF6x，ABDE ，ABF DEF， ， ，x4，AF4故答案为 4【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型15（2 分）2019 年 2 月，全球首个 5G 火车站在上

28、海虹桥火车站启动，虹桥火车站中 5G网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 8 千兆数据，5G 网络快720 秒，求这两种网络的峰值速率，设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆，依题意，可列方程为 720 【分析】设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆，则 5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 千兆，根据在峰值速率下传输 8 千兆数据，5G 网络快 720 秒列出方程即可【解答】解：设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆，则 5G 网络的峰值速率为每秒传输 10x 千兆，根据题意，得 720故答案为 720【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，

29、理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键16（2 分）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为 3 元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满 30 元减 12 元，满60 元减 30 元，满 100 元减 45 元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为 54 元菜品 单价（含包装费） 数量水煮牛肉（小） 30 元 1醋溜土豆丝（小） 12 元 1豉汁排骨（小） 30 元 1手撕包菜（小） 12 元 1米饭 3 元 2【分析】根据满 30 元减 12 元，满 60 元减 30 元，满 100 元减 45 元

30、，即可得到结论【解答】解：小宇在购买表中所有菜品时，应采取这样的下订单方式：水煮牛肉订一单，豉汁排骨订一单，醋溜土豆丝和手撕包菜还有 2 份米饭合订一单共订了 3 份 30 元订单，故他点餐总费用最低可为（30+12+30+12+23）1233+354 元，答：他点餐总费用最低可为 54 元故答案为：54【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键三、解答题（共 68 分）17（5 分）计算：4sin60 +（ 1） 0 +| 1| 【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求

31、得计算结果【解答】解：4sin60+ （ 1） 0 +| 1|4 +12 + 12 +12 + 1 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算18（5 分）解不等式组： 【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可【解答】解：由得 x1；由得 x2；故不等式组的解集为 1x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19（5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知

32、直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P求作：直线 PQ，使 PQl作法：如图 2，在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A、B 两点；连接 PA，以 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q；作直线 PQ；所有直线 PQ 就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：连接 PB、QB PAQB ， PBA QPB（ 等弧所对圆周角相等 ）（填推理的依据）PQl（ 内错角相等，两直线平行 ）（填推理的依据）【分析】（1）根据要求作图即可；（

33、2）根据圆的有关性质和平行线的判定求解可得【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接 PB、QB PAQB ， PBA QPB（等弧所对圆周角相等）PQl（内错角相等，两直线平行）故答案为： ，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定20（5 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+2ax+c0（1）若方程有两个相等的实数根，请比较 a、c 的大小，并说明理由；（2）若方程有一个根是 0，求此时方程的另一个根【分析】（1）根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到 a0 且4a 24ac0，然后得到 ac；（2）把 x

34、0 代入原方程得出 c0，再将 c0 代入 ax2+2ax+c0，解方程即可求出方程的另一根【解答】解：（1）根据题意得，a0 且4a 24ac0，4a（ac）0，ac；（2）把 x0 代入原方程得出 c0，方程为 ax2+2ax0，ax（x+2） 0，该方程的另一个根为2【点评】本题考查了根的判别式b 24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程21（5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABBC2CD，E 为对角线 AC 的中点，F 为边 BC 的中点，连接 DE、EF（1）求证：四边形 CDEF 为菱形；（2）

35、连接 DF 交 BC 于点 G，若 DF2，CD ，求 AD 的长【分析】（1）由三角形中位线定理可得 EF AB，EF AB，CF BC，可得ABCDEF， EFCFCD，由菱形的判定可得结论；（2）由菱形的性质可得 DG1，DFCE ，EGGC，由勾股定理可得 EGGC ，可求 AGAE+CG4，由勾股定理可求 AD 的长【解答】证明：（1）E 为对角线 AC 的中点，F 为边 BC 的中点，EF AB，EF AB，CF BC，AE CEABCDABCDEF ，ABBC2CDEFCFCD，且 ABCDEF，四边形 DEFC 是平行四边形，且 EFCF四边形 CDEF 为菱形；（2）如图，设

36、 DF 与 EC 交于点 G四边形 CDEF 为菱形，DF2，DG1，DFCE，EGGC ，EGGC AECE2EGAGAE+CG4AD 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键22（5 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，在O 的切线 CM 上取一点P，使得 CPBCOA（1）求证：PB 是O 的切线；（2）若 AB4 ，CD6，求 PB 的长【分析】（1）根据切线的性质得到 OCPC ，求得OCP90，推出BOC+CPB180，求得 OBPB，于是得到结论；（2）连接 OP，根据已知条件得到 OCOB AB2 ，得到 CE

37、 CD3，根据三角函数的定义得到COE60，根据切线的性质得到CPOBPO，OCPOBP，于是得到结论【解答】（1）证明：PC 是 O 的切线，OCPC，OCP90，AOCCPB，AOC+BOC180，BOC+CPB180，PBO360CPB BOCPCO90，OBPB，PB 是O 的切线；（2）连接 OP，AB 是O 的直径，AB4 ，OCOB AB2 ，CDAB ，CD6，CE CD3，sinCOE ，COE60，PB，PC 是O 的切线，CPOBPO，OCPOBP，COPBOP60，PBOB tan606，【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形，正确的作出辅助线是解题

38、的关键23（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y2x+b 经过点 A（1，m）、B（1 ，1）（1）求 b 和 m 的值；（2）将点 B 向右平移到 y 轴上，得到点 C，设点 B 关于原点的对称点为 D，记线段 BC与 AD 组成的图形为 G直接写出点 C、D 的坐标；若双曲线 y 与图形 G 恰有一个公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围【分析】（1）把 B 的坐标代入即可求得 b，然后代入 A（1，m），即可求得 m，得出A（1，3）；（2） 根据平移的性质、轴对称以及中心对称的性质即可求得 C、D 的坐标；函数 y 的图象经过点 A，k3，函数 y 的图象经过点 D，k1，

39、此时双曲线也经过点 B，根据图象即可求得 k 的取值范围【解答】解：（1）直线 y2x+b 经过点 B（1，1），b1，直线 y2x+1，又直线 y2x +，1 经过点 A（1，m ），m3，A（1，3）；（2） B（ 1，1），将点 B 向右平移到 y 轴上，得到点 C（0，1），点 B 关于原点的对称点为 D（1，1）；函数 y 的图象经过点 A，k133，函数 y 的图象经过点 D，k111，此时双曲线也经过点 B，由图象可知：k 的取值范围是 0k1 或 1k 3【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式数形结合结合思想的运用是解题的关键2

40、4（6 分）如图 1，线段 AB 及一定点 C、P 是线段 AB 上一动点，作直线 CP，过点 A作 AQ CP 于点 Q，已知 AB7cm，设 A、P 两点间的距离为 xcm，A、Q 两点间的距离为 y1cm，P、Q 两点间的距离为 y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1、y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1、y 2 与 x 的几组对应值 x/cm 0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7y1/cm 0 0.28 0.49 0.79 1 1.4

41、8 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78y2/cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 3.02 4.20 5.33 6.41（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1），（x，y 2），并画出函数 y1， y2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APQ 中有一个角为 30时，AP 的长度约为 5.49或 2.50 cm【分析】（1）根据勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用数形结合的思想解决问题即可；【解答】解：（1）过点 A 作 AQCP 于点 Q，设 A、P

42、 两点间的距离为 xcm，A、Q两点间的距离为 y1cm，P、Q 两点间的距离为 y2cm ，当 x4，y 12.61， ，故答案为：3.02；（2）利用描点法画出函数图象如图所示：（3）当APQ 中有一个角为 30时，x2y 1， ，x5.49 或 2.50；故答案为：5.49 或 2.50【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的有关知识，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型25（6 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 400 名学生进入综合素

43、质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40x50，50x 60，60x 70，70x80，80x90，90x100）b甲学校学生成绩在 80x90 这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 8485 86 86.5 87 88 88.5 89 89c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下：平均数 中位数 众数 优秀率83.3 84 78

44、 46%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生 A，乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A （填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断 乙学校综合素质展示的水平更高 学校综合素质展示的水平更高，理由为 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）（3）若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选【分析】（1）求得甲校的中位数即可

45、得到结论；（2）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论；（3）求得每所学校被取了 50 名学生的综合素质展示的前 15 名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论【解答】解：（1）甲学校学生成绩的中位数为 81.25，乙学校学生成绩的中位数为 84，故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A，故答案为：A；（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；故答案为：乙学校，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校

46、相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多（3） 5015，故甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选，故答案为：88.5【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型26（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过点 A（0，3）和 B（3 ，0）（1）求 c 的值及 a、b 满足的关系式；（2）若抛物线在 A、B 两点间从左到右上升，求 a 的取值范围；（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点 M（1+m，n）、N（4m，n）？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和 n 的值，若不能，请说明理由【分析】（1）直接将 AB 两点代入解析式可求 C，以及 ab