2019浙江中考数学专题复习4:几何综合题(含答案)
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1、几何综合题类型一 与函数结合的证明与计算1. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,AB2, ABC120,动点 P 在线段 BD 上从点 B 向点 D 运动,PEAB 于点 E,四边形 PEBF 关于 BD 对称,四边形 QGDH 与四边形PEBF 关于 AC 对称设菱形 ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S1,BPx:(1)对角线 AC 的长为_ ;S 菱形 ABCD_;(2)用含 x 的代数式表示 S1;(3)若点 P 在移动过程中满足 S1 S 菱形 ABCD时,求 x 的值12第 1 题图解:(1)2 ;2 ;【解法提示】菱形 ABCD 的对角线 AC,BD
2、相交于点3 3O,AB2, ABC120,AOB 90 ,ABO 60,AOABsin60 ,BOABcos601,AC2AO2 ,BD 2BO2,S 菱形3 3ABCD 2 ,2322 3(2)由题意可得ABO60,BP x,PEB90,BEBPcos60 ,PEBPsin60 ,x23x2当 0x 1 时,S 1 4 ,12x 3x223x22当 1x2 时,S1 4 x2 ,12x3x222(x 1)2 33(x 1)23643x3233综上所述,S 1 ;3x22 0 x1 3x26 43x3 233 1 x2)(3)菱形的面积是 2 ,3令 x2 ,解得 x1 1(舍去),32 3
3、2x2 (舍去 ),2令 x2 x ,解得 x14 2(舍去),x 24 ,36433233 3 6 6即若点 P 在移动过程中满足 S1 S 菱形 ABCD时,x 的值是 4 .12 62. 如图,在 ABC 中,ACBC,ACB 90,点 P 是线段 BC 延长线上任意一点,以 AP 为直角边作等腰直角APD,且APD90,连接 BD.(1)求证: ;ACAPABAD(2)在点 P 运动过程中,试问PBD 的度数是否会变化?若不变,请求出它的度数,若变化,请说明它的变化趋势;(3)已知 AB ,设 CPx ,S PBDS.2试求 S 关于 x 的函数表达式;当 S 时,求 BPD 的外接圆
4、半径38第 2 题图(1)证明:如解图,设 AD 与 PB 交于点 K.CABC,ACB 90,ABC45 ,PAPD,APD90,PDKPAD ABK45,AKB DKP,AKBPKD, ,AKPKBKDK ,AKP BKD,AKKBPKDKAKPBKD,BDKAPK,PAKDBK45,ABD ABK DBK90,ABD ACP,ADBAPC,ABDACP, ;ACAPABAD(2)解: PBD 的度数是定值,恒为 45.理由:由(1)可知 AKPBKD,PAKDBK45 ,在点 P 运动过程中,PBD 的度数是定值,且PBD 45(3)解: 在 RtABC 中,AB ,2BCAC1,在 R
5、tACP 中,PA ,AC2 PC2 1 x2ABDACP, ,ACABPCBD ,12 xBDBD x,2SS ABDS APDS ABP x (1x)1 x2 x.1222121 x21 x2121212如解图,取 AD 的中点 O,连接 OB、OP.第 2 题解图ABD APD90 ,OBOAOPOD,点 O 是PBD 的外接圆的圆心,S ,38 x2 x ,121238解得 x 或 (舍去 ),1232PC ,12由(2)可知 BD x,2BD ,22在 RtABD 中,AD ,AB2 BD2(2)2 (22)2 102OD AD ,12104PBD 的外接圆的半径为 .1043. 如
6、图 ,点 P 在 MON 的平分线上,且 OP2,以 P 为顶点作APB, 与MON 的两边分别交于点 A、B,其中APB 绕点 P 旋转时,始终满足OAOBOP 2.(1)已知 MON,求APB 的度数(用含 的代数式表示);(2)如图 ,若MON90,求出四边形 OAPB 面积的最小值第 3 题图解:(1) OAOBOP 2, ,OAOPOPOBOP 平分MON,AOP POB,AOPPOB,PAO BPO,APBAPOBPOAPOPAO,在APO 中,由三角形内角和定理得:APO PAO180AOP,MON , AOP ,12APB180 ;12(2)( )2AO2 BO0,AO BO
7、AOBOAOBO2 2 4,AOBO OP2第 3 题解图如解图,过点 P 作 PGOM、PHON,垂足分别为 G、H,MON 90,OP 平分MON,PGPH,POH45,S 四边形 APBOS APOS POB OAPG OBPH (OAOB )PH,121212S 四边形 APBO 4PH2PH,12OP 平分MON,MON90,又PHO90,PO 2,PHOH , 2S 四边形 APBO2 ,2即四边形 APBO 面积的最小值为 2 .24. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1, P 是对角线 AC 上任意一点,E为 AD 上的点,且EPB90,PMAD, PNAB.(1)求证:
8、四边形 PMAN 是正方形;(2)求证: EMBN;(3)若点 P 在线段 AC 上移动,其他不变,设 PCx,AEy,求 y 关于 x的解析式,并写出自变量 x 的取值范围第 4 题图(1)证明: 四边形 ABCD 是正方形,BAD90,AC 平分BAD,PMAD,PNAB,PMPN,PMAPNA 90,四边形 PMAN 是矩形,PMPN,四边形 PMAN 是正方形;(2)证明: 四边形 PMAN 是正方形,PMPN,MPN 90,EPB90,MPENPB,在EPM 和BPN 中,PME PNBPM PNMPE NPB)EPMBPN(ASA),EMBN;(3)解:如解图,过 P 作 PFBC
9、 于 F,第 4 题解图四边形 ABCD 是正方形,ABC90 ,ABBC1,PCF45,AC ,PCF 是等腰直角三角形,12 12 2APAC PC x,BNPF x,222EMBN x,22PAM45,PMA90,APM 是等腰直角三角形,AP AM (AEEM),2 2即 x (y x),2 222解得 y1 x,2x 的取值范围为 0x ,22y1 x(0x )2225. 在ABC 中, BAC90,ABAC10 ,直线 MN 过点 A 且2MNBC,以点 B 为一锐角顶点作 RtBDE, BDE90,且点 D 在直线MN 上(不与点 A 重合 ),如图,DE 与 AC 交于点 P,
10、设BD x,DPBCy,cosADPz.(1)小强同学通过几何画板画图及测量得到以下近似数据:x 25 30 35 40y 45 50 55 60z 0.4 0.33 0.29 0.25猜想 y 关于 x 的函数表达式, z 关于 x 的函数表达式,并给出证明;(2)如图 ,DE 与 CA 的延长线交于点 P,以上 y 关于 x 的函数表达式仍成立吗?请证明;(3)如图 ,DE 与 AC 的延长线交于点 P,BD 与 AP 交于点 Q,若此时xBD20 ,求 SABQ的值2第 5 题图解:(1) y 关于 x 的函数表达式为 yx 20,z 关于 x 的函数表达式为z ,10x证明:如解图,过
11、点 D 作 DFAD 交 AB 于点 F,交 BC 于点 G,ADBC, ABC45,BAD AFD45 ,ADF 是等腰直角三角形, ADDF,DAP 4590135,DFB18045135 ,BDP ADF90 ,ADP FDB,在ADP 和FDB 中,ADP FDBAD FDDAP DFB)ADPFDB,DPBDx,ABAC 10 , BAC90,BC 20,2 AB2 AC2yx20 ,ADBC, DG AB 10 10,2222 2在 RtBDG 中,cos BDG ,DGDB10xADP BDG,zcos ADPcos BDG ;10x第 5 题解图(2)y 关于 x 的函数表达式
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