2019重庆中考数学专题复习:二次函数综合题(10道)含答案
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1、二次函数综合题类型一 线段、周长最值问题1. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yx 2x2 的图象与 x 轴相交于点 A、 B,与 y 轴交于点 C,过直线 BC 的下方抛物线上一动点 P 作PQAC 交线段 BC 于点 Q,再过点 P 作 PEx 轴于点 E,交 BC 于点 D.(1)求直线 AC 的解析式;(2)求PQD 周长的最大值及此时点 P 的坐标;(3)如图,当 PQD 的周长最大值时,在 y 轴上有两个动点 M、N(M在 N 的上方),连接 AM,PN,若 MN1,求 PNMNAM 的最小值第 1 题图解:(1)令 y0,即 x2x20,解得 x1 1,x 22,A(1,0),
2、B(2 ,0),令 x0,则 y2,C(0,2) ,设直线 AC 的解析式为 ykxb(k0),直线过点 A、C, ,解得 ,2bk0k 2b 2)直线 AC 的解析式为 y2x2; (2)BO CO , BOC90,ABC45, ACO EPQ,tanEPQtanACO ,12如解图 ,过点 Q 作 QHPE,垂足为 H.设 QHa,则 PH2a,DHa,PD=PH+DH=3a,a PD,13B(2,0), C(0,-2),直线 BC 的解析式为 y=x-2,设 P(m,m 2m2),D(m,m2),PD=m-2-(m 2-m-2)=-m 2+2m,CPQDPQQD PD( 3)a PD,5
3、 25 2 33CPQD PD (m 22m ) (m1) 25 2 33 5 2 33 5 2 33,5 2 33当 m1 时, PQD 的周长最大,且最大值为 ,此时 P(1,2) ;5 2 33(3)把点 A 向下平移 1 个单位到点 A,则 A(1,1) ,如解图,连接 AP,AMMNPN 的最小值APMN 1.5第 1 题解图 第 1 题解图类型二 与面积有关的问题2.在平面直角坐标系中,抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,与321yxy 轴交于点 C,连接 BC. (1)求直线 BC 的解析式; (2)如图 ,点 P 是抛物线上位于第一象限内的一点,连接 PC,PB,当PBC 面
4、积最大时,一动点 Q 从点 P 出发,沿适当路径运动到 y 轴上的某个点 G 再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点 H 处,最后到达线段 BC 的中点 F 处停止.求当PBC 面积最大时 ,点 P 的坐标及点 Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长;(3)如图 ,在(2)的条件下 ,当 PBC 面积最大时,把抛物线 向右平移使它的图象经过点 P,得到新抛物线 ,在新抛物线321yx y上是否存在点 E,使ECB 的面积等于 PBC 的面积?若存在,请求出点 E的坐标;若不存在,请说明理由.第 2 题图解:( 1) 抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C, 31yx令 x=0
5、, 得 y=3,C(0,3),令 y=0,得 0= ,321x解得 x=- 或 x=3 ,B(3 , 0),2设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, ,3bk解得 ,2直线 BC 的解析式为 y=- x+3;2(2)如解图 ,设 P(m , ) ( 0m 3 ),312过点 P 作 PMy 轴交 BC 于点 M, 第 2 题解图直线 BC 的解析式为 y=- x+3,M(m,- m+3),2PM=- m2+ m+3-(- m+3)=- m2+ m=- (m- ) 2+ ,12131349SPBC= PMxB= - (m - ) 2+ 3 =- (m- ) 2+ ,134987当 m = 时,
6、S PBC 最大,最大值为 ,23 827点 P( , ),M ( , ),41523 B( ,0),C(0,3),23F( , ),点 M 和点 F 重合, 作点 P( , )关于 y 轴的对称点 (- , ),23415P23415再作点 F( , )关于 x 的对称点 ( ,- ),F连接 交 y 轴于点 G,交 x 轴于点 H,连接 PG,FH, P此时 PG +GH +HF 最小,最小值为 = ;P427(3) 如解图,在抛物线 =- (x- ) 2+4 中, 321yx1令 y = ,即 = ,4152x解得 x = 或 x= ,23由平移知,抛物线 y 向右平移到 ,则平移了 -
7、 = 个单位,y23 =- (x-2 ) 2+4=- x2+2 x,y211设点 E(n,- n2+2 n),过点 E 作 EQy 轴交 BC 于点 Q, 直线 BC 的解析式为 y =- x+3,2Q( n,- n+3),2EQ = = ,3-211625nECB 的面积等于PCB 的面积, EQxB= PMxB,21由(2)知 ,PM =- (m- ) 2+ ,21349PM 最大 = ,49EQ =PM 最大 , = ,216n5解得 n = 或 n= 或 n = 或 (舍),21215273E( )或( , )495, 42189或( , ).27第 2 题解图3.如图,在平面直角坐标
8、系中,抛物线 y x2- x+m 的图象交 x 轴于1B、C 两点,一次函数 y=ax+b 的图象过点 B,与抛物线相交于另一点A(4, 3).(1)求 m 的值及一次函数的解析式;(2)如图,若点 P 为抛物线上的一个动点,且在直线 AB 下方,过 P作 PQx 轴,且 PQ4(点 Q 在点 P 右侧)以 PQ 为一边作矩形PQEF,且点 E 在直线 AB 上点 M 是抛物线上另一个动点,且 4SBCM = 5S 矩形 PQEF,当矩形 PQEF 的周长最大时,求出此时点 P 和点 M 的坐标;(3)如图,在(2)的结论下,连接 AP、BP,设 QE 交 x 轴于点 D,现将矩形 PQEF
9、沿射线 DB 以每秒 1 个单位长度的速度平移,当点 D 到达点 时停止,记平移时间为 t,平移后的矩形 PQEF 为 ,且D PQEF分别交直线 AB、x 轴于点 N、 ,设矩形 与ABP 的重叠部E D分面积为 S,当 NA N 时,求 S 的值85图 图第 3 题图解:(1) 点 A(4,3)在二次函数 y x2- x+m 的图象上,1 16- 4+m =3,21解得 m =-3,则二次函数的解析式为 y= x2- x-3,令 y=0,得 x2- x-3=0,1解得 x1=-2,x 2=3,则点 B 的坐标为(-2,0 ),点 C 的坐标为(3,0).A(4,3), B(-2,0)在一次
10、函数 y=ax+b 的图象上, ,解得 ,0ba2341b2a一次函数的解析式为 y= x+1;(2)矩形 PQEF 的周长=2(PQ+EQ)=8+2EQ,要使周长最大,EQ 边长最大即可.设 P( a, a2 a3), -2a 4,1Q( a+4, a2 a3),E(a+4 , a+3),21EQ a+3( a2 a3) (a 1) 2+ ,3当 a1 时,EQ 最大,且最大值为 ,P(1, 3),此时矩形 PQEF 的面积为 4 =26,2设在BCM 中,BC 边上对应的高为 h,由 4SBCM =5S 矩形 PQEF,得 4 BCh=526,21BC=5,h=13.设 M 点的横坐标为
11、x,依题意得 =13,3x21解得 x= ,则点 M 的坐标为( ,13)或( ,13);2199219(3) 当点 N 在线段 AE 上时,如解图,有DDt,OD 5 t,D(5t ,0),N(5t , t+ ),过点 A 作217AHND,垂足为 H,第 3 题解图AHx 轴,NH t+ 3 t+ ,21721M(0,1),OM1,BM ,5sinMBO ,AHx 轴,NAHMBO,sinNAH ,51 ,NAHNA ( t+ ),521NA ND,8 ( t+ ) ( t+ ),52185217解得 t ,71BP 的解析式为 yx2,x J ,y J ,60J( , ),7M( ,-
12、),1MJ ,30同理:IP ,29SS 梯形 +SIPA (MJ+IP)|x PxM|+ IP|xAxM| ( + )121217309(1 )+ (41) ,769873当点 N 在 AB 上时,同理可得 S (2+ ) + (1+ )( 1) 23523067综上所述,S 的值为 或 .98761类型三 与特殊三角形有关的问题4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y x2+x+2 与 x 轴交于 A、B两点,交 y 轴于点 C.(1)求线段 AC 的长度;(2)P 为线段 BC 上方抛物线上的任意一点,点 E 为(0,1),一动点 Q 从点 P 出发运动到 y 轴上的点 G,再沿 y 轴
13、运动到点E当四边形 ABPC 的面积最大时,求 PG+ GE 的最小值;2(3)将线段 AB 沿 x 轴向右平移,设平移后的线段为 AB,直至 AP 平行于 y 轴(点 P 为第(2)问中符合题意的 P 点),连接直线 CB将AOC 绕着点 O 顺时针旋转,设旋转后 A、C 的对应点分别为 A、C,在旋转过程中直线 AC与 y 轴交于点 M,与线段 CB交于点 N当CMN 是以 MN 为腰的等腰三角形时,求 CM 的长度图 图 第 4 题图解:(1)令 y0,得 x2 或- ,令 x0,得 y2 ,2A( , 0),B (2 ,0),C(0,2 ),2AC ,1直线 BC 的解析式为 yx+2
14、 ;(2)如解图,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H,第 4 题解图设点 P 的横坐标为 m,则 P(m, m2+m+2 ),H(m , m+2 ),2PH= m2+m+2 -( m+2 )= m2+2m.S 四边形 ABPCS ABC+SPBC,S ABC 是个常量,四边形 ABPC 的面积最大时,只需 SPBC 最大即可,SPBC PHxB- m2+2 m=-(m- ) 2+2,21当 m 时,S PBC 取得最大值 2,此时 P( ,2 ),过点 E 作 REGR,使 RE 与 y 轴夹角为 45,则 GR GE,则 PG+ GEPG+GR,2当 P、 G、R 三点共线时,
15、PG+ GE 有最小值,2易得直线 ER 的方程为 y x1,则直线 PR 的解析式为 yx+ ,联立 ,2xy1解得 ,21yR( , ),则 PR ,26即 PG+ GE 的最小值为 ;2(3) 当 MNCM 时,如解图,过点 C 作 CHMN 于点 H,第 4 题解图设 MNCMa,CHx,tanMCN 2,CAB由勾股定理得,a 2x 2+(a x) 2,解得 x a,154则 tanCMH tan M ,HC34在 M 中, M COCM2 a, ,A A2tan 2,过点 O 作 K C,则 K sinA ,AM ,A5105则 CM2 ;5当 MNCN 时,如解图 ,过点 N 作
16、 NSCM 于点 S,第 4 题解图设点 N 的横坐标为 n,tanMCN = 2,CS n,CM n,CABSN21M MCCCMC MA, A M2 n ,CMn ;2综上所述,CM 的长度为 2 或 525. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y x2 x 与 y 轴交9313于点 A,点 B 在第一象限抛物线上,直线 y xb 与 x 轴交于点 C,33与 y 轴交于点 A,点 D 在 x 轴上,BD6,ODB120,连接 OB、CB.(1)求点 A、C 两点的坐标;(2)如图,设点 E 是第一象限 OB 上方抛线线上一动点,过点 E 作EFy 轴交 OB 于点 F,过点 E 在 EF
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- 2019 重庆 中考 数学 专题 复习 二次 函数 综合 10 答案
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